Apostila Geometria Descritiva Básica

Apostila Geometria Descritiva Básica

(Parte 1 de 8)

] Paulo Sérgio Brunner Rabello

Professor Adjunto da Universidade do Estado do Rio de

Janeiro

Ex-Professor Efetivo da Universidade Federal

Fluminense

Ex-Professor da Universidade Santa Úrsula

Livre-Docente em Construção Civil Especializado em Geometria e Representação Gráfica

Ao elaborar o presente trabalho nossa grande preocupação foi produzir um texto simples e abrangente o bastante para descrever com a maior clareza possível os princípios, os mecanismos e as aplicações da Geometria Descritiva.

Este livro destina-se, principalmente, aos alunos de graduação em matemática, engenharia e arquitetura, podendo ser utilizado em qualquer curso superior onde seja necessário conhecer formas e figuras geométricas através de suas projeções ou por qualquer outra pessoa que se interesse pelo assunto.

Aqui trataremos de assuntos que eram objeto de disciplina específica do antigo curso científico (posteriormente, segundo grau) que, por força da reforma do ensino de 1961, deixou de fazer parte do núcleo das disciplinas obrigatórias. Por esta razão, inicialmente são abordados os fundamentos da Geometria Euclideana sob um enfoque um pouco diferente do habitual, estabelecendo conceitos e proposições que, obedecendo rigorosamente os princípios euclideanos, tornam mais simples o seu entendimento.

As analogias feitas entre os conceitos considerados primitivos e as observações e fatos do dia-a-dia, permitem compreender em que bases a Geometria se apóia. São introduzidos, também, os conceitos de elementos impróprios que permitem esclarecer, sob outra ótica, a noção de paralelismo. É interessante observar que tal fato não altera, em essência, qualquer princípio estabelecido por Euclides.

com as sombras produzidas pelo Sol

Em seguida é explicado como se processa a projeção de uma figura numa superfície plana, procurando simplificar o entendimento do fenômeno geométrico através de comparações com projeções cinematográficas ou

A posição do centro projetivo (próprio ou impróprio) e o número de planos de projeção (um ou mais), utilizados nas projeções de uma figura determinam o sistema projetivo utilizado, que é específico para o conjunto de operações projetivas que se fizerem necessárias. A mudança de um centro projetivo ou de um plano de projeção faz com que o sistema seja outro, embora a base de ambos seja a mesma.

Métodos Projetivos, Descritivos ou de Representação Gráfica, são conjuntos de procedimentos que, utilizando um sistema projetivo específico, permite caracterizar e resolver problemas de uma figura através de suas projeções. São mencionados como exemplos de métodos descritivos, os métodos mongeano, das projeções cotadas e o método axonométrico.

Com base em tais conhecimentos, foi possível apresentar, de uma forma geral, os procedimentos que devem ser adotados para representar as projeções de figuras geométricas do espaço, sejam elas planas ou não.

No final, são estudados os métodos auxiliares que nada mais são do que procedimentos especiais que permitem trabalhar com figuras do espaço quando alguma de suas partes (ou toda a figura) não está projetada em verdadeira grandeza. É usual denominar tais métodos de descritivos o que não faz sentido, pois o método descritivo adotado é o próprio método mongeano.

Assim sendo, longe da pretensão de ser um tratado sobre o assunto, esperamos que as pessoas que se iniciarem no estudo da Geometria Descritiva encontrem nesse trabalho uma fonte confiável de consulta e aos mais experientes no assunto, que formulem suas críticas e sugestões para que possamos oferecer, no futuro, um trabalho melhor.

Finalizando, cabe um agradecimento especial aos ilustres professores Mendel Coifman, Léa Santos de Bustamante, Norbertino Bahiense Filho, Alcyr Pinheiro Rangel e José Luiz Marques Coelho da Silva pelo imenso saber e pelo entusiasmo repassado a todos os seus alunos e admiradores que, como nós, tiveram a honra de conhecê-los e de ter tido a oportunidade de absorver o que nos foi possível de seu vasto conhecimento.

Cabo Frio, 5 de junho de 2005

PARTE 1:

Fundamentos da Geometria Elementar

Sistemas Projetivos e Métodos de Representação Gráfica Método da Dupla Projeção Ortogonal PARTE 2:

PROJEÇÕES DE PONTOS E RETAS Projeções do Ponto

Estudo Descritivo da Reta Metodologia das Projeções da Reta

Verdadeira Grandeza de Segmentos de reta PARTE 3: PROJEÇÕES DE FIGURAS PLANAS

Estudo Descritivo do Plano Estudo Descritivo das Figuras Planas Verdadeira Grandeza de Figuras Planas

Capítulo I: FUNDAMENTOS DA GEOMETRIA ELEMENTAR

1 - PROPOSIÇÕES GEOMÉTRICAS

A Geometria é o ramo da Matemática que se propõe a estudar as figuras existentes na natureza através das propriedades de seus elementos, definindo, caracterizando e padronizando suas formas e dimensões, facilitando assim seu próprio desenvolvimento e o de outras áreas do conhecimento científico e tecnológico.

As figuras estudadas na Geometria são, de um modo geral, a associação de uma ou mais formas específicas, formas estas denominadas formas geométricas.

A Geometria, como qualquer outra ciência, fundamenta-se em observações e experiências para estabelecer os conceitos e as propriedades que embasam todo seu acervo científico. Tais conceitos e propriedades constituem as proposições geométricas.

Uma proposição geométrica pode ser aceita com ou sem comprovação. A proposição aceita sem comprovação pode ser entendida através de fatos e situações do cotidiano.

As proposições geométricas podem ser classificadas como conceitos primitivos ou como postulados.

Um conceito primitivo exprime a noção sobre algo que dispensa definição sob o ponto de vista geométrico. Assim sendo, são considerados primitivos os conceitos de forma e dimensão, como também o são os de ponto, reta, plano e espaço.

Forma e dimensão são conceitos que podem ser compreendidos melhor quando se fazem analogias a coisas conhecidas.

Quando se diz, por exemplo, que determinado objeto parece uma laranja, na verdade estamos dizendo que o objeto tem a "forma" de uma laranja. Quando se diz, por outro lado, que uma árvore é mais alta que outra, na verdade estamos dizendo que a altura (dimensão) de uma é maior que a (dimensão) da outra.

As noções de ponto, reta, plano e espaço são puramente intuitivas e, ao contrário do que ocorre com os conceitos de forma e dimensão, "emprestam" sua concepção para descrever determinadas situações. Por exemplo:

- Aqueles postes estão em linha reta.

- O tampo dessa mesa é plano.

- A mesa está ocupando o espaço do sofá.

Chama-se postulado a uma afirmação aceita consensualmente, sem restrições, e que dispensa demonstração. Os postulados fundamentam toda a Geometria e a simples contestação de um deles invalida qualquer proposição decorrente.

Se "três pontos não colineares determinam um plano", então pode-se afirmar que "duas retas coplanares determinam um ponto comum". A primeira proposição é um postulado e a segunda, uma proposição decorrente. Se a primeira não for verdadeira, a segunda fica prejudicada.

Teorema é uma proposição que exige comprovação, ou seja, tem que ser demonstrado. Chama-se corolário a um teorema proposto como conseqüência.

Problema é uma proposição que exige solução, solução esta decorrente da aplicação de proposições específicas - postulados, teoremas e corolários - conforme as exigências de cada caso.

2 - ELEMENTOS GEOMÉTRICOS FUNDAMENTAIS

São considerados elementos geométricos fundamentais: o ponto, a reta e o plano.

O ponto - o mais simples dos elementos - como se pode intuir, não tem forma e nem dimensão. Entretanto, qualquer forma geométrica pode ser obtida a partir do ponto. A linha, por exemplo, pode ser definida como uma sucessão contínua de pontos. Se a distância entre dois pontos não sucessivos quaisquer dessa linha for a menor possível, então essa linha é uma reta.

A forma da reta leva a outra idéia puramente intuitiva que é a noção de direção.

Dois pontos distintos - não coincidentes, portanto - determinam a direção da reta a qual pertencem. Por outro lado, a extensão de uma reta é ilimitada e o trecho situado entre dois pontos que podem determiná-la é um segmento dessa reta.

Um cordão flexível esticado entre as mãos dá uma idéia perfeita do que seja um segmento de reta (ou segmento retilíneo) e da direção da reta a qual este segmento pertence.

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