Equações Diefernciais Parciais

Equações Diefernciais Parciais

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Equações Diferenciais Parciais

Prof. Ulysses Sodré 6 de Maio de 2003; Arquivo: edp.tex

Conteúdo

1 Introdução às Equações Diferenciais Parciais 1

2.1 Equação Diferencial Ordinária2
2.2 Equação Diferencial Parcial2
2.3 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais2
2.4 Ordem e grau de uma Equação Diferencial Parcial3
2.5 Exemplos relacionados com ordem e grau de uma EDP3

2 Conceitos fundamentais em EDP 2

3.1 Equação diferencial parcial quase-linear3
3.2 Exemplo de EDP quase-linear sobre uma região3
3.3 Equação diferencial parcial Linear4
3.4 Exemplos de equações parciais lineares e não-lineares4
3.5 As EDP mais importantes4
3.6 EDP homogênea4

3 Equações Diferenciais Parciais Lineares 3

4.1 Solução de uma equação diferencial parcial5
4.2 Solução geral e soluções particulares de uma EDP5
4.3 Exercícios5
4.4 Exercícios6
4.5 Exercícios6
4.6 Relação entre ordem e número de constantes (EDO)6
4.7 Relação entre ordem e número de funções (EDP)6

4 Soluções de Equações Diferenciais Parciais 5

5.1 Problema de Valor Inicial - EDO7
5.2 Problema com Condições Iniciais ou de Contorno7

CONTEÚDO i

6.1 Equação Característica8
6.2 Exemplo de equações características de uma EDP8
6.3 Exemplo com mudança de variáveis8

6 Equação Característica e Mudanças de variáveis 8

7.1 Classificação de uma curva cônica9
7.2 Discriminante de uma EDP linear9
7.3 Tipos de EDP lineares10
7.4 Exemplos10
7.5 Movimento rígido no plano e mudança de variáveis10
7.6 Lema sobre o sinal do discriminante1
7.7 Teorema12

7 Classificação das EDP Lineares 9

8.1 A equação de Euler13
8.2 Exemplo com mudanças de variáveis15
8.3 Forma alternativa para obter mudanças de variáveis16
8.4 Observação sobre as equações características17
8.5 Exercício18

8 A Equação Diferencial Parcial de Euler 13

9.1 Equação unidimensional da Onda18
9.2 Solução geral da Equação Unidimensional da Onda20
9.3 Interpretação física da solução da equação da onda20
9.4 Primeiro problema de Cauchy21
9.5 Observação2
9.6 Exercício2
9.7 Exercício Piano versus cravo23

9 Equação Diferencial Parcial da Onda 18

10.1 O segundo Problema de Cauchy23
10.2 Exercício para descansar um pouco as equações25

10 O segundo Problema de Cauchy 23

1.1 O Problema Misto26
1.2 Unicidade de solução para o problema misto27

1 O Problema Misto 26

12.1 O método de Fourier e o problema misto28
12.2 Receita para usar o Método de Fourier29
12.3 Aplicação do método de Fourier à Equação da Onda29

LISTA DE FIGURAS i

13.1 A equação de Laplace bi-dimensional34
13.2 Solução da equação de Laplace por diferenças finitas34
13.3 Solução do problema com a Planilha Excel36

13 A equação diferencial parcial de Laplace 34

14.1 Solução da equação parabólica por diferenças finitas37

14 A equação diferencial parcial parabólica 37

1 Um elemento do cordão flexível19
2 Um elemento do cordão flexível2
3 Elementos geométricos do segundo problema de Cauchy24
4 Região retangular infinita para o problema misto27
5 Grade retangular representa a placa metálica35
6 Parte de uma planilha no Excel36

Seção 1 Introdução às Equações Diferenciais Parciais 1

1 Introdução às Equações Diferenciais Parciais

netismo, Mecânica, Fluídos, Biologia,, podem ser descritos através de

Muitos fenômenos que ocorrem na Ótica, Eletricidade, Ondulatória, Maguma equação diferencial parcial.

Na maioria das vezes faz-se a tentativa de transformar a equação diferencial parcial em uma ou mais equações diferenciais ordinárias, com o objetivo de simplificar os trabalhos na obtenção da solução do problema.

Uma equação diferencial ordinária possui derivadas de apenas uma variável enquanto que uma equação diferencial parcial possui derivadas parciais da função incógnita.

Muitas leis físicas como: Leis de Newton para o resfriamento dos corpos, Equações de Maxwell, Equações de Navier-Stokes e Equações da Mecânica Quântica de Schrödinger são escritas por equações diferenciais parciais que relacionam o espaço e suas derivadas com o tempo.

Nem todas as equações podem ser construídas a partir de modelos matemáticos reais como é o caso das Equações de Maxwell, mas o estudo de Modelos é fundamental para explicar como e porque funcionam muitas equações diferenciais parciais.

O uso intenso de derivadas e integrais neste contexto é fundamental e depende da interpretação feita para cada objeto matemático como: velocidade, força, aceleração, fluxo, corrente elétrica, taxa de variação, temperatura, etc.

Seção 2 Conceitos fundamentais em EDP 2

2 Conceitos fundamentais em EDP

2.1 Equação Diferencial Ordinária

Uma equação diferencial ordinária (EDO) na variável dependente y e na variável independente x, é uma equação que pode ser posta na forma

F(x, y, y′, y′′,, y(n)) = 0

onde F é uma função das variáveis indicadas e pelo menos uma derivada (ordinária) aparece nessa expressão.

2.2 Equação Diferencial Parcial

Uma Equação Diferencial Parcial (EDP) na variável dependente u e nas variáveis independentes x e y, é uma equação que pode ser posta na forma onde F é uma função das variáveis indicadas e pelo menos uma derivada parcial aparece nessa expressão.

2.3 Exemplos de Equações Diferenciais Parciais

2.4 Ordem e grau de uma Equação Diferencial Parcial 3

2.4 Ordem e grau de uma Equação Diferencial Parcial

A ordem de uma equação diferencial parcial é a ordem da mais alta derivada que ocorre na equação e o grau é o expoente da derivada mais alta quando a equação está escrita em uma forma semelhante a uma função polinomial em que as potências fazem o papel das derivadas da ordem respectiva.

2.5 Exemplos relacionados com ordem e grau de uma EDP

No exemplo anterior, as equações dos ítens 1, 2, 3, 4 e 5 são de segunda ordem, a do ítem 6 é de primeira ordem e a do ítem 7 é de terceira ordem.

3 Equações Diferenciais Parciais Lineares

3.1 Equação diferencial parcial quase-linear

Uma Equação Diferencial Parcial nas variáveis independentes x, y e na variável dependente u = u(x,y) é dita quase-linear de segunda ordem sobre um conjunto M ⊂ R2, se pode ser posta na forma:

onde os coeficientes A, B e C das derivadas duplas de u, somente dependem das variáveis independentes x e y, isto é:

3.2 Exemplo de EDP quase-linear sobre uma região

A equação parcial uxx = √ 1 − x2 − y2 uyy é quase-linear sobre o con-

3.3 Equação diferencial parcial Linear 4

3.3 Equação diferencial parcial Linear

Uma equação diferencial parcial quase-linear de 2a. ordem nas variáveis independentes x, y e na variável dependente u = u(x,y) é dita linear sobre M ⊂ R2, se pode ser posta na forma:

Auxx +Buxy +Cuyy +Dux +Euy +Fu+G = 0 onde todos os coeficientes A, B, C, D, E e F somente dependem das variáveis independentes x e y e para todo (x,y) ∈ M:

3.4 Exemplos de equações parciais lineares e não-lineares (1) Equações lineares

(2) Equações não lineares

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