Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.3

Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.3

(Parte 1 de 3)

Capıtulo 3

Funcoes Exponenciais e Logarıtmicas

Problema 1. Uma piscina tem capacidade para 100m de agua. Quando a piscina esta completamente cheia, e colocado 1kg de cloro na piscina. Agua pura (sem cloro) continua a ser colocada na piscina a uma vazao constante, sendo o excesso de agua eliminado atraves de um ladrao. Depois de 1 hora, um teste revela que ainda restam 900 g de cloro na piscina.

a) Que quantidade de cloro restara na piscina 10 horas apos sua colocacao? b) E apos meia hora da aplicacao? c) E apos t horas?

Uma resposta muitas vezes dada para a primeira pergunta e que, apos 10 horas, nao ha mais cloro na piscina. Esta resposta resulta da aplicacao do modelo mais simples de variacao de uma grandeza, expresso por uma funcao afim. Segundo este modelo, a variacao sofrida em cada intervalo de 1 hora e sempre a mesma. Assim, se na primeira hora foram eliminados 100g de cloro, o mesmo deveria ocorrer em cada uma das 10 horas seguintes, fazendo com que todo o cloro seja eliminado nestas 10 horas. O grafico da Figura 17 ilustra este raciocınio.

A solucao acima, entretanto, nao esta correta. Nao e razoavel admitir-se que a eliminacao de cloro se de a uma taxa constante. De fato, e muito mais razoavel que esta taxa dependa da quantidade de cloro presente na piscina: quanto maior a quantidade de

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Cloro (g)

Tempo (h) cloro, mais cloro e eliminado por unidade de tempo. Na verdade, parece intuitivo que a quantidade eliminada por unidade de tempo seja proporcional a quantidade existente de cloro. Para verificarmos esta conjetura, utilizaremos um recurso frequentemente utilizado para analisar problemas envolvendo grandezas que variam continuamente: vamos discretizar o problema. Ao inves de considerar que a agua ingressa na piscina e e dela eliminada de modo contınuo, vamos dividir o tempo em pequenos intervalos de comprimento ∆t e imaginar que, em cada um destes intervalos, o processo ocorra da forma descrita a seguir. Primeiro, ingressa na piscina, cujo volume representaremos por V, uma quantidade de agua pura igual a v∆t, onde v e a vazao (expressa, por exemplo, em m por hora); esta agua e adicionada a mistura existente de cloro e agua. A seguir, um volume igual a v∆t e retirado da mistura, restaurando o volume inicial (veja a Figura 18).

Vejamos o que ocorre com a quantidade c(t) de cloro em cada um destes intervalos. No inıcio do processo, esta massa esta uniformemente distribuıda em um volume V de lıquido. Apos o ingresso de agua pura, a quantidade de cloro nao se altera, mas passa a estar distribuıda em um volume igual a V + v∆t. Deste volume, retira-se v∆t , retendo-se um volume igual a V. Como o

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Piscina no instante t (volume V)

Água pura é acrescentada

(volume V+v t)

Água pura se mistura à água da piscina

Volume v t é retirado (volume V) cloro esta distribuıdo uniformemente, a quantidade de cloro que permanece na piscina e proporcional ao volume retido. Isto e, temos, o seguinte quadro:

Volume de lıquido Quantidade de cloro

O mais importante a observar e que a fracao e constante para cada intervalo de comprimento ∆t. Assim, em cada um destes intervalos, a quantidade de cloro e multiplicada por um valor constante. Note que o mesmo ocorrera em um intervalo maior, formado pela justaposicao de n intervalos de comprimento ∆t: a quantidade de cloro em um intervalo de tamanho n∆t e mul- tiplicada por ( ) . A variacao da quantidade de cloro, por sua vez, e obtida da equacao acima subtraindo-se a quantidade inicial c(t) em cada lado, o que fornece

v∆t

Uma outra forma de expressar o mesmo fato e dizer que a variacao relativa e constante e igual a − . Isto confirma o comportamento que tınhamos intuıdo anteriormente: a variacao

46 Temas e Problemas da quantidade de cloro em intervalos de mesmo comprimento e proporcional a quantidade existente no inıcio do intervalo.

Voltemos ao nosso problema. A analise acima mostra a inadequacao da primeira tentativa de solucao e aponta a solucao correta. A perda de cloro, nos perıodos consecutivos de 1 hora, nao e a mesma. O que e constante, em cada um destes perıodos, ea variacao relativa: se 10% do cloro foi eliminado na primeira hora, o mesmo ocorre em cada hora a seguir. Equivalentemente, se 90% do cloro permanece apos a primeira hora, o mesmo ocorre em cada hora a seguir. Logo, apos 10 horas da aplicacao, a quantidade de cloro tera sido multiplicada por (0,9) = 0,349. Portanto, neste instante havera 349 gramas de cloro na piscina. De modo geral, podemos expressar a quantidade de cloro ao final de n horas (onde n e natural) por:

Cl o r o

Observe que estas quantidades formam uma progressao geometrica. Na verdade, ao se considerar a quantidade de cloro em

Func oes Exponenciais e Logarıtmicas 47 instantes igualmente espacados, obtem-se sempreuma progressao geometrica, ja que aquela quantidade e multiplicada pela mesma constante em cada intervalo. Podemos usar este fato para responder a segunda pergunta do problema, subdividindo o perıodo de uma hora apos a aplicacao de cloro em dois perıodos de meia hora cada. Em cada um destes perıodos, a quantidade de cloro e multiplicada por uma constante k (Figura 20). Como ao final dos dois perıodos de meia hora a quantidade de cloro e multiplicada

dade de cloro apos 6 horas e igual a 1000×0,948 = 948g. Note que, se tivessemos usado o modelo afim da Figura 17, terıamos obtido 950g para a quantidade de cloro neste instante.

Podemos generalizar a solucao acima e calcular a quantidade de cloro a intervalos constantes de meia hora. De fato, para um

Novamente, estes valores formam uma progressao geometrica, ilustrada na Figura 21. Esta progressao e obtida a partir da progressao da Figura 19 “interpolando um meio geometrico” entre cada par de termos consecutivos.

para todo t da forma . Na verdade, podemos mostrar que a ex- pressao acima vale para todo t racional, aplicando o mesmo processo acima. De fato, seja t = p/q. Como este intervalo e formado

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Cl o r o

pela justaposicao de p intervalos de comprimento 1/q, a quantidade de cloro restante neste instante e dada por c(p/q)= c(0)k , onde k e a constante pela qual a quantidade de cloro e multiplicada em intervalos de tempo de comprimento 1/q. Mas q destes intervalos formam um intervalo de comprimento 1, em que c(t) e multiplicado por 0,9. Assim, k = 0,9 e k = 0,9 (veja a Figura 2).

Substituindo na equacao acima, obtemos

E para valores irracionais de t? A resposta e que todo t irracional pode ser aproximado, com precisao arbitraria, por uma

Func oes Exponenciais e Logarıtmicas 49 valores racionais. Os valores correspondentes de c fornecem, por sua vez, aproximacoes para c(t). Este e exatamente o mecanismo atraves do qual se define uma funcao exponencial, como veremos mais adiante. Assim, a funcao que fornece a quantidade de cloro que resta no instante t e dada por c(t)= 1000 · 0,9 , para todo t real. O grafico desta funcao e dado na Figura 23.

Cl o r o

O exemplo acima ilustra um modelo matematico de variacao que et ao importante quanto o modelo dado por uma funcao afim. As situacoes em que ele se aplica sao aquelas em que, ao inves da variacao absoluta f(x + h)− f(x) nao depender de x (depender, portanto, apenas de h), quem tem esta propriedade e a variacao relativa . Funcoes crescentes (ou decrescentes) com esta

Em resumo, temos o teorema abaixo, discutido em mais detalhes em “A Matematica do Ensino Medio”, vol. 1.

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Problema 2. Uma pessoa tomou 60mg de uma certa medicacao. A bula do remedio informava que sua meia-vida era de seis horas. Como o paciente nao sabia o significado da palavra, foi a um dicionario e encontrou a seguinte definicao:

Meia-vida: tempo necessario para que uma grandeza (fısica, biologica) atinja metade de seu valor inicial.

a) Apos 12 horas da ingestao do remedio, qual e a quantidade do remedio ainda presente no organismo? b) E apos 3 horas da ingestao do remedio? c) E apos t horas de sua ingestao?

Para respondermos a primeira pergunta, basta aplicar a definicao de meia-vida. Na verdade, esta definicao da uma importante informacao a respeito do fenomeno a que se refere: em qualquer perıodo de 6 horas, a quantidade da droga presente no organismo se reduz a metade do seu valor no inıcio deste perıodo. Deste

6 horas, este valor se reduz novamente a metade, passando a ser

Note que, como no problema anterior, nao e apropriado utilizarse uma funcao afim para modelar a variacao da medicacao. Tal modelo conduziria a conclusao equivocada de que, ao final das 12 horas, nao haveria mais droga presente no organismo (por este raciocınio, a quantidade de droga eliminada no segundo perıodo de seis horas seria igual a quantidade eliminada no primeiro, levando a eliminacao total em 12 horas). Mas por que este modelo e inadequado para esta situacao? Na verdade, o processo de eliminacao de uma droga do organismo ea nalogo ao processo de

Func oes Exponenciais e Logarıtmicas 51 eliminacao do cloro na piscina do problema anterior. Pode-se pensar na corrente sanguınea como sendo a piscina, na qual a droga esta presente. A medida que mais agua e ingerida, ela e adicionada a corrente sanguınea, sendo o excesso de lıquido eliminado atraves dos orgaos excretores. Como no caso da piscina, a quantidade de droga eliminada e maior quando a quantidade de droga presente e maior. Assim, e razoavel adotar-se, para a quantidade de droga no organismo, um modelo segundo o qual a variacao relativa em intervalos de tempo de mesma duracao e sempre a mesma, o que nos leva a um modelo expresso por uma funcao da forma f(x)= ba .

Para calcular a quantidade de droga no instante t = 3, basta observar, mais uma vez, que em cada intervalo de duracao 3 horas, a quantidade de droga e multiplicada por uma constante k. Como

restante de droga e igual a 60 × 0,707 = 42g, aproximadamente (compare com o valor que obterıamos com o modelo afim, que seria igual a 45g).

Para obter a quantidade de droga em um instante qualquer t, utilizaremos os valores f(0)= 60 e f(6)= 30 para calcular os coeficientes a e b de f(x)= ba . A primeira igualdade fornece b = 60 e

quantidade de droga apos t horas da ingestao e dada por

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