Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.3

Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.3

(Parte 3 de 3)

b) Qual e a taxa instantanea de escoamento de cloro no instante inicial?

Repetindo o processo acima, temos

A taxa de variacao de cloro no instante inicial e obtida multiplicando a quantidade entao existente (1000) multiplicada pela constante k (−0,10536). Logo, o cloro esta se escoando a taxa instantanea de 105g por hora. Note que isto nao significa que 105g de cloro serao eliminadas na primeira hora, pois a taxa instantanea nao e constante.

Func oes Exponenciais e Logarıtmicas 61

Problemas Propostos∗

1. Estima-se que a populacao de uma cidade cresca 2% a cada 5 anos.

a) Qual e o crescimento estimado para um perıodo de 20 anos? b) E em um perıodo de t anos?

2. As bacterias emum recipiente se reproduzem de forma tal que o aumento do seu numero em um intervalo de tempo de comprimento fixo e proporcional ao numero de bacterias presentes no inıcio do intervalo. Suponhamos que, inicialmente, haja 1000 bacterias no recipiente e que, apos 1 hora, este numero tenha aumentado para 1500. Quantas bacterias havera cinco horas apos o inıcio do experimento?

3. A lei do resfriamento de Newton estabelece que, quando um corpo e colocado em um ambiente mantido a temperatura constante, sua temperatura varia de modo a ser a mesma do ambiente, a uma taxa proporcional a diferenca de temperatura entre o corpo e o ambiente. Uma peca de metal a 120◦ e colocada sobre a bancada do laboratorio, mantido a temperatura constante de 20◦. Dez minutos depois, verificou-se que a temperatura da peca tinha se reduzido para 80◦.

a) Qual sera a temperatura da peca uma hora depois de ter sido colocada na bancada? b) Esboce o grafico que exprime a temperatura da peca ao longo do tempo.

4. A meia vida do isotopo radioativo do carbono (C ) e de 50 anos. Que percentual da massa original de C restara em uma amostra apos 10000 anos?

62 Temas e Problemas

5. Qual e a meia vida de um material radioativo que sofre desintegracao de 20% de sua massa em um perıodo de 1 ano?

6. O corpo de uma vıtima de assassinato foi descoberto as 23 horas. O medico da polıcia chegou as 23:30 e imediatamente tomou a temperatura do cadaver, que era de 34,8◦. Uma hora mais tarde ele tomou a temperatura outra vez e encontrou 34,1◦. A temperatura do quarto era mantida constante a 20◦. Use a lei do resfriamento de Newton para estimar a hora em que se deu a morte. Admita que a temperatura normal de uma pessoa viva e 36,5◦.

7. A agua de um reservatorio se evapora a taxa de 10% ao mes. Em quanto tempo ela se reduzira a um terco do que era no inıcio?

8. Em uma caverna da Franca, famosa pelas pinturas feitas por homens pre-historicos, foram encontrados pedacos de carvao vegetal, nos quais a radioatividade de C era 0,145 vezes a radioatividade num pedaco de carvao feito hoje. Calcule a idade do carvao ed e uma estimativa para a epoca em que as pinturas foram feitas.

9. Foram injetadas 20mg de uma certa droga em um paciente. A taxa instantanea de eliminacao da droga, imediatamente apos a injecao, e de 5mg por hora. Qual e a meia-vida da droga? (Cuidado! A resposta nao e 2 horas.)

10. Og rafico da funcao da Figura 29 foi desenhado utilizando-se uma escala logarıtmica para o eixo Y (ou seja, as ordenadas no grafico representam o logaritmo decimal dos valores da funcao).

a) Mostre que o grafico de uma funcao f neste tipo de representacao e uma reta se e somente se ela e do tipo exponencial (f(x)= ba ).

b) Qual e a funcao representada pelo grafico da figura?

1. No problema da piscina (Problema 1), verifique que a taxa instantanea de variacao da quantidade de cloro no instante t e determine com que vazao a agua pura ingressa na piscina.

Func oes Exponenciais e Logarıtmicas 63

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