Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.4

Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.4

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Capıtulo 4 Aplicacoes da Trigonometria

Os livros didaticos para o ensino medio dedicam muitas paginas ao ensino da trigonometria. Entretanto, nao fica claro nem para o aluno, nem para o professor, para que serve este abundante material. Vamos mostrar aqui algumas aplicacoes em situacoes reais e, para resolver os problemas, necessitaremos apenas das relacoes trigonometricas no triangulo retangulo, da lei dos cossenos e da lei dos senos.

Nestas aplicacoes estaremos calculando senos, cossenos e tangentes de angulos e cabe aqui um esclarecimento ao leitor. Quando escrevemos por exemplo sen 30◦, queremos dizer seno do angulo cuja medida e 30◦, ou seja, estamos identificando o angulo com sua medida. Isto ep ratico e natural. Para angulos agudos, estas funcoes trigonometricas sao definidas atraves das tradicionais razoes entre lados de um triangulo retangulo e, para qualquer angulo obtuso x (quer dizer: angulo cuja medida x esta entre 90◦ e 180◦), definimos senx = sen(180◦ − x) e cosx =− cos(180◦ − x). E isto e tudo o que precisamos.

Desde a antiguidade e ate hoje, o homem sempre teve a necessidade de avaliar distancias inacessıveis. Na verdade, sao muito poucas as distancias que podem ser medidas diretamente, com uma trena, por exemplo. Praticamente tudo que o desejamos saber sobre distancias no mundo em que vivemos e calculado com o auxılio da trigonometria.

O problema basico, e que estara sempre presente em todas as situacoes, e o da resolucao de um triangulo. Mas, o que significa isto? Os elementos principais de um triangulo sao seus lados e seus angulos. Resolver um triangulo significa determinar 3 desses elementos quando os outros 3 sao dados (desde que nao sejam os tres angulos). Este problema basico, dependendo dos dados, pode

Aplicac oes da Trigonometria 65 ter uma unica solucao, pode ser impossıvel ou pode ter mais de uma solucao e voce podera verificar isto nos problemas que vamos discutir.

Para medir uma distancia inacessıvel necessitaremos de uma trena, que nada mais e que uma fita metrica comprida que possa medir distancias relativamente pequenas no plano horizontal e de um teodolito. Um teodolito e um instrumento que mede angulos, tanto no plano horizontal quanto no plano vertical. Trata-se de uma luneta, apoiada em um tripe que pode fornecer os seguintes dados:

a) Se o observador T ve um objeto P, ele pode determinar o angulo que a reta TP faz com o plano horizontal.

6 Temas e Problemas b) se o observador T ve um objeto A e girando a luneta veu m objeto B, ambos no plano horizontal, ele pode determinar o angulo ATB.

A trena e o teodolito sao instrumentos equivalentes ar egua graduada e ao transferidor quando trabalhamos no papel. A trena de hoje e a da antiguidade diferem apenas do material em que foram construıdas mas essencialmente, sao o mesmo instrumento. Entretanto, o teodolito de hoje e muito mais sofisticado que o equivalente antigo. E neste ponto esta a diferenca. Hoje, podemos medir angulos com uma precisao muitıssimo maior do que antigamente.

Varios problemas que vamos abordar fazem referencia a cidade do Rio de Janeiro. O morro do Corcovado, o morro do Pao de Acucar, o aterro do Flamengo e sua vista a cidade de Niteroi do outro lado da Baıa de Guanabara forneceram situacoes interessantes de medidas inacessıveis. Nestes problemas as medidas sao todas reais.

Problema 1. Medir a altura do Pao de Acucar.

Medir a altura de um morro distante em relacao a um plano horizontal proximo e umproblema permanente emtoda a historia. Ele fica facilitado se o observador puder andar neste plano horizontal, em direcao ao morro, uma razoavel distancia, o que nem

Aplicac oes da Trigonometria 67 sempre e possıvel. Mas, no caso do Pao de Acucar o aterro do Flamengo fornece um plano horizontal especial para este objetivo.

Enunciado: Um observador esta em um ponto A do aterro do Flamengo e veoP ao de Acucar segundo um angulo de 10◦ com o plano horizontal (medido com o teodolito). Ele anda em direcao ao seu objetivo ate um ponto B distante 650m de A e agora veo Pao de Acucar segundo um angulo de 14◦. Qual e a altura do Pao de Acucar em relacao ao plano de observacao?

Problema 2. Medir a distancia de um ponto do Rio de Janeiro a um ponto visıvel de Niteroi.

O segundo problema importante e o de medir a distancia de um ponto a outro inacessıvel no plano horizontal. Para calcular a distancia de um ponto A (onde esta o observador) a um ponto P, inacessıvel, e preciso que este observador possa se locomover para um ponto B no plano horizontal de onde possa tambem ver P.

Enunciado: De um ponto A na praia do Flamengo no Rio de Janeiro, avista-se um ponto P na praia de Icaraı em Niteroi (estes dois pontos estao em lados opostos do canal de entrada da Baıa de Guanabara). De um ponto B na Praia do Flamengo, distante 1km de A tambem se avista o ponto P (Figura 32). Um observador no Rio de Janeiro mediu os angulos BAP = 119◦ e ABP = 52◦. Qual e a distancia entre A e P?

Problema 3. Medir a distancia entre dois pontos, ambos inacessıveis.

O problema anterior resolveu o caso de medir uma distancia entre um ponto (acessıvel) a um outro inacessıvel. Vamos agora tratar de medir uma distancia no plano horizontal entre dois pontos inacessıveis ao observador.

Enunciado: De uma praia e possıvel ver duas ilhas X e Y. Um observador assinala nesta praia dois pontos A e B distantes 1km entre si, e com seu instrumento mede os seguintes angulos:

68 Temas e Problemas

Flamengo

IcaraíRIO DE JANEIRO

Baíad e Guanabara

Problema 4. Medir o raio da Terra.

Desde a antiguidade, este problema esteve presente na cabec¸a dos matematicos. Diversas solucoes apareceram mas os resultados frequentemente nao eram bons pois se exigia a medida entre dois pontos muito afastados, o que era muito difıcil de fazer com precisao, ou a medida de angulos muito pequenos, o que era mais difıcil ainda. Em meados do seculo X ja havia instrumentos que podiam medir angulos com precisao de 1 centesimo de grau, mas hoje os instrumentos eletronicos tem precisao inimaginavel. O problema a seguir, exige apenas um instrumento relativamente antigo.

Enunciado: A montanha onde esta o Cristo Redentor no Rio de Janeiro esta a 703m de altura em relacao ao nıvel do mar. Lad e cima, um observador ve o horizonte (no mar) segundo um angulo

Aplicac oes da Trigonometria 69 de 0,85◦ com o plano horizontal. Encontre uma medida aproximada para o raio da Terra.

Problema 5. Ainda o raio da Terra.

Uma bela tentativa de medir o raio da Terra deve-se a

Eratostenes no terceiro seculo antes de Cristo. Medidas foram feitas nas cidades de Assua e Alexandria, no Egito, que estao aproximadamente no mesmo meridiano terrestre, e por rara felicidade, Assua esta quase sobre o tropico de Cancer. Isto quer fizer que no primeiro dia do verao, ao meio dia, os raios solares sao perfeitamente verticais. Naquele tempo, uma unidade comum para medir distancias grandes era o estadio. O estadio era o comprimento da pista de corrida utilizada nos jogos olımpicos da antiguidade (de 776 a 394 aC.) e era equivalente a 1/10 de milha, ou seja, aproximadamente 161m.

Enunciado: No dia do solstıcio de verao, Eratostenes verificou que, ao meio dia, o sol brilhava diretamente dentro de um poc¸o profundo em Assua e, em Alexandria, a 5000 estadios ao norte de Assua, alguem mediu o angulo que os raios solares faziam com a vertical, encontrando 1/50 do cırculo. Com base nestes dados, calcule o raio da Terra.

Problema 6. O problema da corrida.

Os dados e o objetivo deste interessante problema sao os seguintes. Um corredor A esta sobre uma reta r e corre sobre ela no sentido AX. Um corredor B nao estae m r e, correndo em linha reta, pretende alcancar A (Figura 3). Sendo a partida simultanea, que direcao deve tomar B se as velocidades de ambos sao conhecidas?

Enunciado:

1) Considere BAX = 110◦, velocidade de A igual a 8m/s e velocidade de B igual a 9m/s. Determine o angulo que a trajetoria de B deve fazer com a reta BA para que o encontro seja possıvel.

70 Temas e Problemas r XA

2) Considere BAX = 110◦, velocidade de A igual a 8m/s, velocidade de B igual a 8,1m/s e AB = 50m. Sendo B um corredor inteligente, determine que distancia ele percorreu ate alcancar A.

Problema 7. Novamente a corrida, mas um fato muito estranho acontece.

Enunciado: Considerando ainda a Figura 3, seja BAX = 60◦. O corredor A tem velocidade 15% maior que a de B.P orem, o corredor B e inteligente, planejou cuidadosamente sua trajetoria, e alcancou o corredor A no ponto C da reta r. Calcule o angulo ABC.

Observacao: voce vai encontrar dois valores para o angulo ABC. Ambos sao possıveis? Por que ocorre isto?

Problemas Suplementares∗

1. No problema da corrida, se os corredores A e B tiverem velocidades iguais, como B deve planejar sua trajetoria?

2. No problema da corrida, BAX = 50◦, velocidade de A = 9m/s e velocidade de B = v. Determine para que valores de v o encontro e possıvel.

Aplicac oes da Trigonometria 71

3. Uma estrada que esta sendo construıda em um plano horizontal e sera formada pelos trechos retos XP, PQ e QY como mostra a Figura 34. No trecho PQ sera construıdo um tunel para atravessar a montanha. Os engenheiros devem saber tanto em P quanto em Q, que direcao devem tomar para construir o tunel AB de forma queotrechoPABQseja reto. Elesentaofixaram umpontoCdo plano horizontal, visıvel tanto de P quanto de Q e determinaram as seguintes medidas: CP = 1,2km, CQ = 1,8km e PCQ = 27◦. Calcule os angulos CPQ e CQP.

x y A

Para calcular a altura do morro do Corcovado no Rio de Janeiro nao foi possıvel utilizar o metodo utilizado no Problema 1, quando medimos a altura do Pao de Acucar. Nao ha como se aproximar do Corcovado caminhando em sua direcao em um plano horizontal. Temos entao que buscar uma outra solucao.

4. Na Figura 35, vocev e uma pequena parte do bairro do Jardim Botanico do Rio de Janeiro. Na avenida Borges de Medeiros, a beira da Lagoa Rodrigo de Freitas, e portanto quase ao nıvel do mar, fixamos dois pontos A e B de onde se avista o ponto C,

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