Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.5

Livro: Temas e Problemas - IMPA - cap.5

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Capıtulo 5

Uma Introducao ao Calculo de Volumes

Para introduzir o conceito de volume, o professor deve, antes de qualquer tentativa de uma definicao formal, apresentar uma ideia intuitiva e fornecer diversos exemplos para que os alunos possam compreender do que vai se falar. E qual e a primeira coisa que devemos dizer? Nao nos ocorre nenhuma outra frase melhor que a seguinte:

Volume de um solido e a quantidade de espaco por ele ocupada.

Com esta ideia, inumeras comparacoes provocativas podem ser feitas. Dadas duas caixas, qual delas tem maior volume? Quem tem maior volume: Maria ou Pedro? Observando uma panela pequena e uma garrafa, que objeto parece ter maior volume? Uma bola de futebol ou uma caixa de sapatos?

Muitas comparacoes sao obvias, outras nao. No caso da panela e da garrafa, pode-se encher a garrafa com agua e despejar dentro da panela. Para comparar volumes de objetos impermeaveis podemos mergulha-los, um de cada vez, em um reservatorio contendo agua ate o bordo e comparar a quantidade de agua que transbordou. Se tivermos um reservatorio cilındrico de vidro, podemos colar em sua parede uma escala de nossa escolha e, com ela medir volumes de pequenos objetos impermeaveis, como uma pedra de formato irregular, por exemplo.

Este tipo de experiencia e um elemento motivador para o estudo dos volumes e pode ate ser eventualmente de alguma utilidade pratica, mas na maioria dos problemas que teremos que enfrentar, e totalmente inutil. Por exemplo, o mestre de obras precisa

74 Temas e Problemas saber o volume de concreto que sera utilizado na construcao das colunas, vigas e lajes de um edifıcio. A forma e as dimensoes de cada um destes objetos estao na planta e o calculo do volume deve ser feito antes que o edifıcio exista. Alguns objetos sao pequenos demais, ou grandes demais, ou sao inacessıveis ou, simplesmente, nao existem concretamente. Sentimos entao a necessidade de obter metodos para o calculo de volumes, pelo menos de objetos simples, conhecendo sua forma e suas dimensoes.

Para medir estagrandeza chamada volume, devemos comparala com uma unidade e, tradicionalmente, a unidade de volume eo cubo cuja aresta mede uma unidade de comprimento, denominado de cubo unitario. Por exemplo, se um cubo tem 1cm de aresta, seu volume e a unidade chamada de centımetro cubico (cm ).

1 unidade de volume

Assim, o volume de um solido deve ser um numero que exprima quantas vezes ele contem o cubo unitario. Esta ea ideia que devemos ter para desenvolver o estudo dos volumes mas, convenhamos que ainda tem um significado muito vago. Por exemplo, quantos cubos unitarios de 1cm de aresta cabem dentro de uma panela? Nao saberıamos dizer. Entretanto, esta ideia inicial vai nos permitir calcular precisamente o volume de um paralelepıpedo retangulo, ou simplesmente, um bloco retangular.

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1 O volume do bloco retangular

Imaginemos inicialmente umm bloco retangular com dimensoes 4cm, 3cm e 2cm. Qual e o seu volume?

Observando o desenho, nao had uvida que este bloco pode ser dividido em 4×3×2 = 24 cubos unitarios e, portanto, seu volume e de 24cm . A maioria dos livros didaticos brasileiros usa um exemplo como este para “concluir” que o volume de um paralelepıpedo retangulo qualquer e o produto de suas dimensoes. Este chute e difıcil de aceitar. O que ocorre se as dimensao do bloco nao forem inteiras? Continua valendo o produto? Por que?

Esta certo que em muitas ocasioes o professor nao pode fazer em sala de aula uma demonstracao completa de cada um dos conteudos exigidos no programa do ensino medio. Mas, se nao o fizer, deve oferecer algo mais que a formula pronta ou o decreto publicado no livro didatico. Vejamos um exemplo.

Exemplo. Calcule o volume do bloco retangular de 5,6cm de comprimento, 4,7cm de largura e 2,0cm de altura (Figura 38).

Para resolver este problema, dividamos cada aresta do cubo unitario (com 1cm de aresta) em 10 partes iguais (Figura 39). Tracando pelos pontos de divisao planos paralelos as faces, dividimos esse cubo unitario em 1000 cubinhos de aresta 1/10.

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Naturalmente que o volume de cada cubinho e v = 1/1000,e ef acil contar quantos destes cubinhos enchem o bloco retangular dado: sao 54 × 47 × 20 cubinhos. Logo, o volume do bloco retangular e igual ao numero de cubinhos multiplicado pelo volume de

Este singelo exemplo confirma o produto das dimensoes para oc alculo do volume do bloco retangular e contem a essencia do que e necessario para a demonstracao no caso em que as medidas das arestas sao numeros racionais (veja o Problema 1 proposto no

Uma Introduc ao ao Calculo de Volumes 7 final deste capıtulo).

Para o caso geral, onde as medidas das arestas do bloco retangular sao numeros reais positivos quaisquer, o volume e ainda o produto dessas medidas e, para demonstrar, usaremos o teorema fundamental da proporcionalidade. O roteiro para a demonstracao esta no Problema 2.

Consideremos portanto estabelecido que o volume de um bloco retangular cujas arestas medem x, y e z, e dado por V = xyz.

2 A definic ao do volume

Chamaremos de poliedro retangular a todo solido formado pela reuniao de um numero finito de blocos retangulares justapostos.

O volume de um poliedro retangular e a soma dos volumes dos blocos retangulares que o constituem. Vamos entao definir o volume de um solido S qualquer utilizando os poliedros retangulares contidos em S.

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Seja V o volume de S e seja v(P) o volume de um poliedro retangular P contido em S.O numero V nao e ainda conhecido mas deve satisfazer a condicao v(P) ≤ V para todo poliedro retangular P contido em S. Para cada poliedro retangular P contido em S, mas nao igual a S, e possıvel sempre obter um poliedro retangular P′, maior que P e ainda contido em S. Basta acrescentar a P novos blocos retangulares que ainda estejam dentro de S. Portanto, v(P) <v (P′) ≤ V, o que quer dizer que v(P) e uma aproximacao por falta para o volume de S e v(P′) e uma aproximacao melhor para este resultado. Continuando este procedimento, obteremos aproximacoes cada vez melhores para o volume de S e essa ideia conduz a definicao: V = v(S) eu m numero real cujas aproximacoes por falta sao os volumes dos poliedros retangulares contidos em S (veja o Problema 3 para comentarios sobre esta definicao).

3S olidos semelhantes

Seja B(x,y,z) um bloco retangular de dimensoes x, y ez. Os blocos B(x,y,z) e B′(x′,y ′,z ′) sao semelhantes se, e somente se, x′ = kx, y′ = ky e z′ = kz para algum numero real positivo k, chamado razao de semelhanca (ou fator de ampliacao). Os volumes de B e B′ sao tais que v(B′)= kx · ky · kz = k xyz = k v(B), ou seja, multiplicando as arestas de B por k, seu volume ficou multiplicado por k (Figura 41). Este resultado vale naturalmente para poliedros retangulares semelhantes P e P′, e levando em conta a definicao de volume, vale tambem para dois solidos semelhantes quaisquer:

A razao entre os volumes de solidos semelhantes e o cubo da razao de semelhanca.

Os argumentos acima nao estao demonstrando este importantıssimo resultado. Eles estao apenas mostrando as ideias necessarias para a demonstracao. Para realiza-la, o conceito de semelhanca e fundamental e para conhecer ou rever este assunto, recomendamos a leitura do livro “Medida e Forma em Geometria” do prof. Elon Lages Lima (p. 3 e 5).

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x y z kx ky

4 O Princıpio de Cavalieri

Oc alculo dos volumes dos diversos solidos so vai avancar com esta nova ferramenta. Imagine inicialmente um solido qualquer S apoiado em um plano horizontal H. Imagine tambem que S tenha sido cortado por planos paralelos a H em fatias muito finas, todas de mesma altura. Observe entao que o solido S pode mudar de forma quando deslizamos ligeiramente cada fatia em relacao com a que esta abaixo dela. Podemos assim obter um outro solido S′, diferente de S, mas com o mesmo volume de S, uma vez que eles sao constituıdos das mesmas fatias (Figura 42).

H Figura 42

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Esta ideia inicial ja nos conduz a dois importantes resultados.

a) Dois prismas de mesma base e mesma altura tem mesmo volume (Figura 43).

b) Duas piramides de mesma base e mesma altura possuem mesmo volume (Figura 4).

As situacoes que acabamos de apresentar constituem um caso bastante particular do princıpio que vamos enunciar. Aqui, fatias que estao na mesma altura nos dois solidos sao congruentes. Mas, em uma situacao mais geral, considerando dois solidos quaisquer A e B (Figura 45), se as duas fatias que estiverem na mesma altura tiverem mesma area entao, como possuem mesma espessura, terao muito aproximadamente volumes iguais. Tanto mais aproximadamente quanto mais finas forem. Sendo o volume de cada solido a soma dos volumes das respectivas fatias, e a aproximacao entre os volumes das fatias podendo tornar-se tao precisa quanto se deseje, concluımos que os volumes de A e B sao iguais.

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O Princıpio de Cavalieri e enunciado da seguinte forma:

Sejam A e B dois solidos. Se qualquer plano horizontal secciona A e B segundo figuras planas de mesma area, entao estes solidos tem volumes iguais.

E preciso deixar claro ao leitor que o Princıpio de Cavalieri nao pode ser demonstrado com apenas os recursos da Matematica elementar. Ele deve ser incorporado a teoria como um axioma, mas os argumentos anteriores sao bastante intuitivos e convincentes. Os exercıcios que se seguem, complementam o texto, sugerem demonstracoes e algumas aplicacoes.

5 Comentario final

Nos livros didaticos brasileiros, este assunto e apresentado, em geral, de forma bastante insatisfatoria. Muitos sequer dizem o que significa calcular um volume e varios chutam, sem do nem piedade, todas as formulas. Alguns citam o Princıpio de Cavalieri, mas nao o utilizam corretamente, e outros nem isto fazem. O importantıssimo conceito de semelhanca nao e abordado por nenhum deles e, por consequencia, a teoria presente nesses livros e quase ininteligıvel.

Para referencias adequadas ao professor do ensino medio recomendamos:

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