Livro de Álgebra Linear e Geometria Analítica

Livro de Álgebra Linear e Geometria Analítica

(Parte 1 de 6)

álgebra vetorial e geometria analítica

9.ª edição (atualizada)

Este livro se encontra integralmente no site: w.geometriaanalitica.com.br com acesso gratuito.

jacirventuri@geometriaanalitica.com.br

© Copyright by Jacir J. Venturi

FICHA CATALOGRÁFICA Catalogação na fonte: Biblioteca Central UFPR

VENTURI, Jacir J., 1949 - Álgebra Vetorial e Geometria Analítica / Jacir J. Venturi - 9.ª ed. - Curitiba 242 p.: il. Inclui Bibliografia. ISBN 85.85132-48-5

1. Álgebra Vetorial.2. Geometria Analítica. I. Título.CDD 512.5 CDU 514.124

ISBN 85-85 132-48-5 REF. 072

Composição/Desenhos:Herica Yamamoto
Capa/Projeto Gráfico:Beatriz Susana

Impressão e Acabamento: Artes Gráficas e Editora Unificado grafica@unificado.com

Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si.

Jacir J. Venturi

Dedico às pessoas que procuram o melhor no outro e ao outro também oferecem o melhor de si.

Jacir J. Venturi

Índice CAPÍTULO1

CAPÍTULO2

CAPÍTULO3

CAPÍTULO4

Elementos primitivos
Pontoe reta impróprios
Reta orientada
Medida algébrica de um segmento
Razão simples de três pontos
Divisão áurea
Abscissas na reta
Distância entre dois pontos
Razão simples de três pontos
Sistema cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano oblíquo
Pares ordenados: operaçõese igualdade
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideum segmentonumarazãodada
Baricentro de um triângul o
Sistema polar
cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano ortogonal
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideum segmentonumarazãodada
Baricentro do triângulo
Sistema cilíndrico
Sistema esférico

Passagemdosistemapolarparao sistema

CAPÍTULO5

CAPÍTULO6 CAPÍTULO7

Sinopse histórica
Grandezas escalarese vetoriais
Definições, etimologiae notações
Paralelismo de vetores
Multiplicação de um vetor por umescala r
Coplanaridade de vetores
Adiçãod e vetores
Subtração de vetores
Combinação linear de vetores
Expressão cartesiana de umveto r
Condição de paralelismo de dois vetores
Condição de coplanaridade de vetores
Combinação linear de quatro vetores
Ângulo de dois vetores
Multiplicação interna ou escalar
Expressão cartesiana do produto escalar
Multiplicação vetorial ou externa
Área de um paralelogramoe de umtriângulo
Multiplicação mista
Duplamultiplicaçã o vetorial
Projeção de umveto r sobre umoutro vetor
Projeção de umpont o sobre umplan o
Distância de pontoa plano
Distância de umpont oa reta
Distância entre duas retas
Área de um triângulo
Áreadaprojeçãoortogonaldeumtriângulosobreumplano
de umtriângul o sobre umplan o
Co-senos diretores de umveto r
Equação do plano
Pertinência de pontoa plano

Áreadaprojeçãonãoortogonal

Índice CAPÍTULO1

CAPÍTULO2

CAPÍTULO3

CAPÍTULO4

Elementos primitivos
Pontoe reta impróprios
Reta orientada
Medida algébrica de umsegment o
Razão simples de três pontos
Divisão áurea
Abscissas na reta
Distância entre dois pontos
Razão simples de três pontos
Sistema cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano oblíquo
Pares ordenados: operaçõese igualdade
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideumsegmentonumarazãodada
Baricentro de umtriângul o
Sistema polar
cartesiano ortogonal
Sistema cartesiano ortogonal
Distância entre dois pontos
Pontoquedivideumsegmentonumarazãodada
Baricentro do triângulo
Sistema cilíndrico
Sistema esférico

Passagemdosistemapolarparao sistema

CAPÍTULO5

CAPÍTULO6 CAPÍTULO7

Sinopse histórica
Grandezas escalarese vetoriais
Definições, etimologiae notações
Paralelismo de vetores
Multiplicação de um vetor por um escala r
Coplanaridade de vetores
Adiçãod e vetores
Subtração de vetores
Combinação linear de vetores
Expressão cartesiana de um vetor
Condição de paralelismo de dois vetores
Condição de coplanaridade de vetores
Combinação linear de quatro vetores
Ângulo de dois vetores
Multiplicação interna ou escalar
Expressão cartesiana do produto escalar
Multiplicação vetorial ou externa
Área de um paralelogramoe de um triângul o
Multiplicação mista
Duplamultiplicaçã o vetorial
Projeção de um veto r sobre um outr o vetor
Projeção de um pont o sobre um plan o
Distância de pontoa plano
Distância de um pont oa reta
Distância entre duas retas
Área de um triângulo
Áreadaprojeçãoortogonaldeum triângulosobreum plano
de um triângul o sobre um plan o
Co-senos diretores de umveto r
Equação do plano
Pertinência de pontoa plano

Áreadaprojeçãonãoortogonal

04. Equação segmentária do plano
ortogonal a um vetor
06. Casos particulares da equação geral do plano
07. Paralelismo e ortogonalidade de dois planos
08. Equação do feixe de dois planos
09. Distância de um P a um plano α
10. Equação dos planos bissetores
1. Ângulo de dois planosA RETA NO E
01. Equações da reta
02. Posições relativas de duas retas
03. Condições de paralelismo e ortogonalidade de duas retas
04. Condição de coplanaridade de duas retas
05. lnterseção de reta e plano
06. lnterseção de duas retas
07. Condições de paralelismo e ortogonalidade de reta e plano
08. Distância de um ponto a uma reta
09. Distância entre duas retas reversas
10. Ângulo de duas retas
1. Ângulo de uma reta com um plano

03. lnterseção de um plano com os eixos coordenados ....................... 05. Equação do plano que passa por um ponto e CAPÍTULO 8

eAPÊNDICE - RECR ANDOi

lnterseçãodeumplanocomoseixoscoordenados
Equação segmentária do plano
ortogonala umveto r
Casos particulares da equação geraldo plano
Paralelismoe ortogonalidade de dois planos
Equação do feixe de dois planos
Distância de um P a umplan o
Equação dos planos bissetores
Ângulo de dois planos
Equações da reta
Posições relativas de duas retas
Condiçõesdeparalelismoe ortogonalidadededuasretas
Condição de coplanaridade de duas retas
lnterseção de retae plano
lnterseção de duas retas
Condiçõesdeparalelismoe ortogonalidadederetae plano
Distância de umpont oa uma reta
Distância entre duas retas reversas
Ângulo de duas retas
Ângulo de uma reta com umplan oa

Equaçãodoplanoquepassaporumpontoe CAPÍTULO8

APÊNDICE- RECR ANDOei

ÁLGEBRA VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi PREFÁCIO

O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da faculdadee para tanto sua linguagem teria que ser tão clarae didática quanto possível. Por vezes, preferiu-sea apresentação intuitiva aosrefinamentosteóricos.

Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordem crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, resolveremosdiversosexercíciosemaula,deixandoosdemaisa cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, enlevandoa interação aluno-professor.O aluno deve ter em mente queà resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimentodateoria.

Um grand e númer o de ilustraçõe s facilit ao entendimento do textoeé imprescindível quando se almejaa formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplicabilidade práticae sugestões paraa resolução de exercícios, no intuitodemotivaro alunonaquiloqueestáestudando.

Os quatros primeiros capítulos integramo programa da

Geometria Analítica na UFPRe foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina:reta,plano,cônicas,superfícies,etc.

Os capítulos5e6 tratam de vetores. Há inúmeros caminhos paraa resolução de problemas geométricos através da Álgebra, porémo tratamento vetorialéo mais indicado pela sua elegânciae simplicidade, além de ser assaz importantea outras disciplinas.A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitável conhecimentodoscapítulos5e 6.

Há que se tomar público que, faceà nossa formação acadêmicae relacionamento profissional,o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analíticae Vetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamosa todos os alunos que aspirama um aprofundamentoea um maior rigor noassunto.

Ademais, cumprimoso elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka, Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabee Ivo

J.Rieglersedispuserama lero manuscritoe apresentarsugestões. O mesmo preito de gratidão estendemosà plêiade de colegase amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro lustros.

Críticase sugestões hão de surgir.E serão bem-vindas.

Resta-noso consolo de ter envidado esforços para empregar utilmenteo nossotempo."Acensura quenosforfeita- sefazoportuno Souza Pinto- há de ser mitigada pelo censor se ele chegara ter consciênciadenossaboavontadeemacertar."

ÁLGEBRA VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi PREFÁCIO

O presente trabalho foi escrito tendo como norte uma premissa básica: que fosse acessível ao aluno do 1.º ano da faculdadee para tanto sua linguagem teria que ser tão clarae didática quanto possível. Por vezes, preferiu-sea apresentação intuitiva aosrefinamentosteóricos.

Contém 421 exercícios (com seus subitens) em ordem crescente de dificuldade. Para uma boa assimilação do texto, resolveremosdiversosexercíciosemaula,deixandoosdemaisa cargo do aluno. Propositalmente, não se inseriram no texto exercícios resolvidos (afora alguns exemplos de aplicação imediata da teoria) para uma maior valorização da aula, enlevandoa interação aluno-professor.O aluno deve ter em mente queà resolução dos exercícios deve preceder um bom conhecimentodateoria.

Um grand e númer o de ilustraçõe s facilit ao entendimento do textoeé imprescindível quando se almejaa formação de uma visão espacial na Geometria Analítica Tridimensional. Há sinopses históricas, indicações de aplicabilidade práticae sugestões paraa resolução de exercícios, no intuitodemotivaro alunonaquiloqueestáestudando.

Os quatros primeiros capítulos integramo programa da

Geometria Analítica na UFPRe foram abordados de maneira concisa para não penalizar importantes capítulos vindouros da disciplina:reta,plano,cônicas,superfícies,etc.

Os capítulos5e6 tratam de vetores. Há inúmeros caminhos paraa resolução de problemas geométricos através da Álgebra, porémo tratamento vetorialéo mais indicado pela sua elegânciae simplicidade, além de ser assaz importantea outras disciplinas.A um bom rendimento escolar em Geometria Analítica, com enfoque vetorial, atrela-se um respeitável conhecimentodoscapítulos5e 6.

Há que se tomar público que, faceà nossa formação acadêmicae relacionamento profissional,o presente trabalho recebeu preponderante influência do livro Geometria Analíticae Vetores, do Professor Leo Barsotti, que recomendamosa todos os alunos que aspirama um aprofundamentoea um maior rigor noassunto.

Ademais, cumprimoso elementar dever de gratidão pelo desprendimento com que os professores Florinda Miyaòka, Osny A. Dacol, Ana Maria N. de Oliveira, Luci C. Watanabee Ivo

J.Rieglersedispuserama lero manuscritoe apresentarsugestões. O mesmo preito de gratidão estendemosà plêiade de colegase amigos do Depto. de Matemática da UFPR, que nos propiciaram uma convivência de crescimento na disciplina, em mais de quatro lustros.

Críticase sugestões hão de surgir.E serão bem-vindas.

Resta-noso consolo de ter envidado esforços para empregar utilmenteo nossotempo."Acensura quenosforfeita- sefazoportuno Souza Pinto- há de ser mitigada pelo censor se ele chegara ter consciênciadenossaboavontadeemacertar."

ÁLGEBRA VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi

Prezado Universitário: motivaçãopeladisciplinanoEnsinoMédio.Esteembasamentorepresenta a para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto, a carência de tal embasamento levaa obstáculos que podem ser transpostos na interação aluno-professor.A nós, professores, importaa sensibilidadeà percepção de tais dificuldades bem comoa disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário.É frustrante observar que em certos cursos- em especial noturnos-o índice de desistência atinge 50% até ou logo apósa primeira avaliação. Se consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novela busca junto aos livros, professorese colegas. Atirar pedras no passado, pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio, não levaa nada. "O importante- afirma Jean Paul Sartre- nãoéo que fizeram de nós, maso quefazemosdoquefizeramdenós".

Ao ingressar na Universidade,o calouro sente-se perplexoe desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre o Ensino Médioea Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremase abstrações aquie quase nada lá. Cobra-se autodidatismoe raciocínio na faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio preponderantementeà base de memorizaçõese expedientes similares. Tal procedimento- argumenta Valmir Chagas- “desenvolve uma estranha metodologia de perguntase respostas tipificadase gera maus hábitos de estudo".É uma ledice enganosa transferira metodologia de ensino dos cursinhosaoEnsinoMédio.

Cabeà comunidade universitáriaa consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro. Nãoé só: faz-se mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal situação nãoé apanágio do momento atuale sim tão antiga quantoo próprio Brasil,a ressalva cabe ao conformismo apáticoe ao fatalismo de aceitarascoisascomoestãoe comosempreforam.

É papel precípuo da Universidade,e lhe cabea iniciativa, promover físicae socialmentea comunidade. Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemase muito menos de como resolvêlos.

O Autor conditio sine qua non

"Tinha 12 anos quando assistià demonstração de um teorema de geometriae senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabava dedescobriro universoplatônico,comsua ordemperfeita,comseusobjetoseternose incorruptíveis, de uma beleza perfeitae alheiaa todos os vícios que eu acreditava sofrer.Assim,apesardeminhavocaçã oser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantástica."

Neste excerto de entrevista, de 1987,o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômiosà Geometria e, por extensão,à Matemática "um mundo de infinita harmonia". Esteéo sentimento que nós, professores, devemos transmitir aosalunosdeboavontade.

A didática, de um lado, cobra do professora sensibilidade para percebero nível da classe e,a partir daí, iniciaro seu trabalho; queo professor dispaa postura herméticae estanque do ensinoà base de "quadro-negro, gize salivação"; que induzao seu discípuloa apreciara Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister queo aluno percebao seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmicae participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aulae ouvira explicação do professor.É impossível aprendera jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também coma Matemática:é necessário treino,exercíciose efetivaparticipaçãopessoal.

A Matemáticaé uma disciplina que propiciao encetamentoea formação do raciocínio.E paraa maioria das atividades profissionais (que exigemo nível secundário ou universitário)éo raciocínioa principal ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que nãoa utilizam, reconhecem quea Matemática ensejao apanágio da lógica, da têmpera racionaldamentee dacoerênciadopensamento.

Acreditamos queo estímulo ouo desestímulo pela Matemática ocorrea níveldoEnsinoFundamental.A essenível,talcomoumaestrutura geológica, os conhecimentos matemáticos se sedimentame se estratificam. Disso resulta, como maior legado,o entendimentoea

ÁLGEBRA VETORIALE GEOMETRIA ANALÍTICA Jacir. J. Venturi

Prezado Universitário: motivaçãopeladisciplinanoEnsinoMédio.Esteembasamentorepresenta a para um bom rendimento na Faculdade. Isto posto, a carência de tal embasamento levaa obstáculos que podem ser transpostos na interação aluno-professor.A nós, professores, importaa sensibilidadeà percepção de tais dificuldades bem comoa disposição de retornar aos níveis anteriores sempre que necessário.É frustrante observar que em certos cursos- em especial noturnos-o índice de desistência atinge 50% até ou logo apósa primeira avaliação. Se consciente da sofrível formação anterior, cabe ao universitário novela busca junto aos livros, professorese colegas. Atirar pedras no passado, pela malsã qualidade de ensino ou pela má qualificação de alguns professores do Ensino Fundamental ou Médio, não levaa nada. "O importante- afirma Jean Paul Sartre- nãoéo que fizeram de nós, maso quefazemosdoquefizeramdenós".

Ao ingressar na Universidade,o calouro sente-se perplexoe desamparado. Há, no sistema educacional brasileiro, uma dicotomia entre o Ensino Médioea Faculdade. Enfatizam-se demonstrações, teoremase abstrações aquie quase nada lá. Cobra-se autodidatismoe raciocínio na faculdade de quem cursou (salvo exceções) um Ensino Médio preponderantementeà base de memorizaçõese expedientes similares. Tal procedimento- argumenta Valmir Chagas- “desenvolve uma estranha metodologia de perguntase respostas tipificadase gera maus hábitos de estudo".É uma ledice enganosa transferira metodologia de ensino dos cursinhosaoEnsinoMédio.

Cabeà comunidade universitáriaa consciência das mazelas do sistema educacional brasileiro. Nãoé só: faz-se mister uma postura crítica e participativa diante das decisões administrativas e pedagógicas. Se tal situação nãoé apanágio do momento atuale sim tão antiga quantoo próprio Brasil,a ressalva cabe ao conformismo apáticoe ao fatalismo de aceitarascoisascomoestãoe comosempreforam.

É papel precípuo da Universidade,e lhe cabea iniciativa, promover físicae socialmentea comunidade. Esta geralmente não tem consciência de seus próprios problemase muito menos de como resolvêlos.

O Autor conditio sine qua non

"Tinha 12 anos quando assistià demonstração de um teorema de geometriae senti uma espécie de vertigem. Parecia que estava descobrindo um mundo de infinita harmonia. Não sabia, então, que acabava dedescobriro universoplatônico,comsua ordemperfeita,comseusobjetoseternose incorruptíveis, de uma beleza perfeitae alheiaa todos os vícios que eu acreditava sofrer.Assim,apesardeminhavocaçã oser a de escrever ou pintar, fui atraído durante muitos anos por aquela realidade fantástica."

Neste excerto de entrevista, de 1987,o renomado escritor argentino Ernesto Sábato sintetiza um dos mais conspícuos encômiosà Geometria e, por extensão,à Matemática "um mundo de infinita harmonia". Esteéo sentimento que nós, professores, devemos transmitir aosalunosdeboavontade.

A didática, de um lado, cobra do professora sensibilidade para percebero nível da classe e,a partir daí, iniciaro seu trabalho; queo professor dispaa postura herméticae estanque do ensinoà base de "quadro-negro, gize salivação"; que induzao seu discípuloa apreciara Matemática como disciplina autônoma, abstrata e, concomitantemente, utilitária em diversos setores. De outro lado, faz-se mister queo aluno percebao seu papel no processo, assumindo uma postura dinâmicae participativa. Não basta ao aluno sentar-se em sala de aulae ouvira explicação do professor.É impossível aprendera jogar tênis apenas assistindo de camarote. Assim também coma Matemática:é necessário treino,exercíciose efetivaparticipaçãopessoal.

A Matemáticaé uma disciplina que propiciao encetamentoea formação do raciocínio.E paraa maioria das atividades profissionais (que exigemo nível secundário ou universitário)éo raciocínioa principal ferramenta de trabalho. Mesmo profissionais que nãoa utilizam, reconhecem quea Matemática ensejao apanágio da lógica, da têmpera racionaldamentee dacoerênciadopensamento.

(Parte 1 de 6)

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