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Software GeoGebra

1ª Parte - Conhecendo o Software GeoGebra

Trata-se de um programa livre, desenvolvido por Markus Hohenwarter, disponível, em

http://w.geogebra.at/

português, no endereço eletrônico

O GeoGebra é um software matemático que junta Geometria, Álgebra e Cálculo. Para tanto, há duas janelas de visualização: a janela algébrica e a geométrica. Cada objeto visualizado na janela geométrica tem sua representação algébrica mostrada na janela algébrica.

Nesta seção apresentamos algumas informações básicas sobre a utilização do software GeoGebra. Outras informações poderão ser obtidas no “ajuda” do programa (em inglês) ou no endereço eletrônico anteriormente citado.

Ao abrir o software, visualizamos a seguinte tela:

Nela podemos observar as duas janelas: a janela algébrica (à esquerda) e a janela geométrica (à direita). A janela algébrica pode ser fechada, clicando no x que aparece em seu canto direito superior. Para visualizá-la novamente, clique em Exibir (no alto da tela) e selecione Janela de álgebra, conforme mostrado a seguir:

Ainda em Exibir, observe que a opção Eixo está ativada, por isso aparecem os eixos cartesianos na janela geométrica. Para retirá-los basta desmarcar essa opção. Se desejar que a janela geométrica fique quadriculada, selecione Malha. Essas alterações podem ser feitas também clicando com o botão direito do mouse sobre a janela geométrica. Isso faz abrir uma caixa com algumas opções, conforme figura a seguir.

Nos itens abaixo, descrevemos algumas opções encontradas na barra de botões:

Em todos os botões aparece uma setinha no canto inferior direito. Esta, ao ser clicada, permite visualizar as opções existentes.

Clicando na setinha do botão , visualizamos as seguintes opções:

Novo ponto - selecionando esta ferramenta e clicando na janela geométrica, cria-se um novo ponto. Quando um ponto é criado, suas coordenadas aparecem na janela algébrica. Clicando em um segmento, em uma reta ou em uma seção cônica, cria-se um ponto nesse objeto.

Interseção de dois objetos - o ponto de interseção entre dois objetos pode ser criado de duas maneiras: i) selecionando dois objetos: dessa forma todas as interseções existentes são marcadas (a ordem na qual clicamos nos dois objetos é indiferente); i) clicando em uma interseção desses objetos: somente esse ponto de interseção será marcado.

Ponto médio ou centro – para utilizar essa ferramenta, clique em: i) dois pontos para obter seu ponto médio; i) em um segmento para obter seu ponto médio; i) em uma seção cônica para obter seu centro.

Clicando na setinha do botão , visualizamos as seguintes opções:

Reta definida por dois pontos – marcando-se dois pontos, traça-se a reta definida por eles.

Segmento definido por dois pontos – marcando-se dois pontos, determinam-se as extremidades do segmento a ser traçado. Na janela algébrica é mostrado o comprimento do segmento traçado.

Segmento com dado comprimento a partir de um ponto – marca-se a origem do segmento e digita-se a medida desejada para o mesmo, em uma janela que se abre automaticamente.

pontos– traça-se uma semi-reta a partir

Semi-reta definida por dois do primeiro ponto determinado, contendo o segundo ponto marcado.

Vetor definido por dois pontos – marcando-se dois pontos, traça-se o vetor com origem no primeiro ponto determinado e ponto final no segundo.

Vetor a partir de um ponto – essa ferramenta permite que, tendo um vetor v já construído, construa-se um outro representante de v, a partir de um ponto considerado. Para tanto, marca-se um ponto (que será a origem do outro representante de v), seleciona-se esta ferramenta, clica-se sobre o vetor v já construído e, depois, sobre o ponto considerado.

Polígono – para construir um polígono, marca-se ao menos 3 pontos e clica-se no primeiro ponto novamente (para “fechar” o polígono). A janela algébrica mostrará a área do polígono construído.

Clicando na setinha do botão , visualizamos as seguintes opções:

Reta perpendicular – clicando-se em uma reta e em um ponto fora dela, constrói-se uma reta perpendicular à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta. A ordem na qual clicamos nos dois objetos (reta e ponto ou ponto e reta) é indiferente.

Reta paralela – clicando-se em uma reta e em um ponto fora dela, constrói-se uma reta paralela à reta considerada, passando pelo referido ponto. O mesmo pode ser feito considerando-se um segmento de reta, ou semi-reta. A ordem na qual clicamos nos dois objetos é indiferente.

Mediatriz – clicando-se nas extremidades de um segmento de reta, constrói-se uma reta perpendicular a este passando pelo seu ponto médio.

Bissetriz – marcando-se três pontos A, B e C, constrói-se a bissetriz do ângulo

CBAˆ . Clicando-se sobre duas linhas concorrentes, já traçadas, constrói-se as bissetrizes dos ângulos determinados pelas linhas.

Tangentes – as tangentes a uma cônica podem ser construídas de duas maneiras: i) selecionando-se um ponto A e uma cônica c (nesse caso, são traçadas todas as tangentes a c por A); i) selecionando-se uma linha g e uma cônica c (nesse caso, constrói-se todas as tangentes a c, que são paralelas a g).

Reta polar ou diametral – a reta polar ou diametral a uma cônica pode ser construída de duas maneira: i) selecionando-se um ponto e uma cônica; i) selecionando-se uma linha ou um vetor e uma cônica.

Clicando na setinha do botão , visualizamos as seguintes opções:

Círculo definido pelo centro e um de seus pontos – marcando-se um ponto A e um ponto B, traça-se o círculo com centro A, passando por B.

Círculo dados centro e raio – marca-se o centro A e digita-se a medida desejada para o raio, em uma janela que se abre automaticamente.

Círculo definido por três pontos – marcando-se três pontos não-colineares, traça-se o círculo que passa por eles.

Semicírculo dados dois pontos – marcando-se dois pontos A e B , traça-se o semicírculo de diâmetro _ AB.

Arco circular dados o centro e dois pontos - marcando-se três pontos A, B e C, traça-se o arco circular com centro A, começando no ponto B e terminando no ponto C (obs.: o arco é traçado mesmo que o ponto C seja marcado fora do arco).

Arco circumcircular dados três pontos – essa ferramenta permite traçar um arco circular por três pontos não colineares.

Setor circular dados o centro e dois pontos - marcando-se três pontos A, B e C, traça-se o setor circular com centro A, começando no ponto B e terminando no ponto C (obs.: o arco é traçado mesmo que o ponto C seja marcado fora setor).

Setor circumcircular dados três pontos - marcando-se três pontos não colineares, traça-se um setor circular por esses pontos.

Cônica definida por cinco pontos – marcando-se cinco pontos constrói-se a cônica que passa por eles (a cônica só será definida se quaisquer quatro dos cinco pontos não forem colineares).

Clicando na setinha do botão , visualizamos as seguintes opções:

interiores de um polígono

Ângulo – com essa ferramenta traçam-se ângulos: i) entre três pontos; i) entre dois segmentos; i) entre duas retas (ou semi-retas); iv) entre dois vetores; v)

Ângulo com amplitude fixa – marcam-se dois pontos e digita-se a medida desejada para o ângulo, em uma janela que se abre automaticamente.

Distância - essa ferramenta fornece, na janela algébrica, a distância entre: i) dois pontos; i) duas linhas; ii) um ponto e uma linha.

2ª Parte – Atividades Iniciais

A segunda parte desta apostila contém atividades elementares, elaboradas por Gilmara

Teixeira Barcelos e Silvia Cristina Freitas Batista, com a finalidade de favorecer o reconhecimento das funções de algumas ferramentas.

Atividades a. Crie dois pontos livres. b. Construa um segmento de reta com extremidades nos pontos criados no item anterior.

c. Apague o segmento construído, inclusive as extremidades (para apagar um objeto, clique sobre ele com o botão direito do mouse e, a seguir, clique em Apagar).

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