Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

(Parte 3 de 8)

A nocao de conjunto e uma das nocoes primitivas da Matematica Moderna, isto e, um dos conceitos adoptados como ponto de partida e que servem de base para a definicao dos outros conceitos introduzidos no desenvolvimento da teoria. Intuitivamente, um conjunto e encarado como uma coleccao de objectos de natureza qualquer, os quais se dizem elementos do conjunto. Representa-se simbolicamente por x ∈ X a proposicao “x e um elemento do conjunto X” que tambem se le “x pertence a X”1. A negacao desta proposicao escreve-se x /∈ X. Assim, sao verdadeiras as proposicoes:

Para designar o conjunto que tem a, b e c por unicos elementos usa-se correntemente o sımbolo {a,b,c}. Da mesma forma, o conjunto dos numeros naturais menores do que 5 pode ser designado por {1,2,3,4}, etc. Frequentemente, um conjunto e definido por uma certa condicao, p(x): os elementos do conjunto sao entao precisamente os objectos que convertem p(x) numa

1Em estruturacoes rigorosas da teoria dos conjuntos, a nocao expressa pelo sinal “∈” e tambem adoptada como nocao primitiva da teoria.

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

proposicao verdadeira. Em tal hipotese, recorre-se, para designar o conjunto, ao sımbolo {x : p(x)}, que pode ler-se “conjunto dos x que verificam a condicao p(x)” ou “conjunto dos x tais que p(x)”. Assim, o conjunto dos naturais menores do que 5 poderia tambem ser designado de qualquer das formas seguintes:

Sendo A e B dois conjuntos, diz-se que A esta contido em B ou que A e uma parte ou um subconjunto de B sse todos os elementos de A pertencem tambem a B, isto e, sse

Para afirmar que A esta contido em B escreve-se A ⊂ B e para o negar, A 6⊂ B. Nestas condicoes a proposicao A 6⊂ B e equivalente a

Nota. Em vez de ∃x(x ∈ A ∧ x /∈ B) pode tambem escrever-se ∃x∈A x /∈ B (existe um x pertencente a A que nao pertence a B); analogamente, a expressao ∀x(x ∈ A =⇒ x ∈ B), pode abreviar-se para ∀x∈A x ∈ B (todo o x pertencente a A pertence a B). Esta simplificacao de notacoes, que usaremos na sequencia em casos analogos e, por vezes, de grande comodidade.

Com o mesmo significado de A ⊂ B e tambem usual escrever-se B ⊃ A, e dizer-se que B contem A ou e um sobreconjunto de A. Convem notar que o facto de se verificar a relacao A ⊂ B nao exclui a possibilidade de se ter tambem B ⊂ A; quando estas duas relacoes sao conjuntamente verificadas os conjuntos A e B tem precisamente os mesmos elementos e diz-se entao que sao iguais (ou que sao o mesmo conjunto), podendo escrever-se

Quando se tem A ⊂ B, mas nao A = B, diz-se que A e uma parte estrita ou uma parte propria de B.

Chama-se conjunto singular a qualquer conjunto com um so elemento; o conjunto singular que tem a por unico elemento e habitualmente representado por {a}. Convem notar que neste caso, seria incorrecto escrever a = {a}: um objecto e o conjunto que o tem por unico elemento nao sao, de forma alguma, o mesmo objecto. Assim, por exemplo, enquanto a proposicao 1 ∈ {1} e obviamente verdadeira, as proposicoes sao ambas falsas. Uma condicao impossıvel — isto e, que nao seja verificada por nenhum objecto — define tambem um conjunto, que se chama

2.1. CONJUNTOS. OPERAC OES FUNDAMENTAIS.

conjunto vazio e se designa usualmente por ∅. Trata-se, evidentemente, de um conjunto sem elemento algum. Tem-se assim, por exemplo:

Dados dois conjuntos, A e B, a interseccao de A com B, designada por

A∩B, e o conjunto formado pelos elementos comuns a A e a B; a reuniao de A com B e o conjunto A∪B, formado por todos os elementos que pertencem a um, pelo menos, dos conjuntos A e B. Simbolicamente:

Se A∩B = ∅, isto e, se A e B nao tem elementos comuns, diz-se que sao conjuntos disjuntos.

Chama-se diferenca dos conjuntos A e B, ou complementar de B em A, ao conjunto A \ B formado pelos elementos de A que nao pertencem a B:

E evidente que se tem A \ B = ∅ sse A ⊂ B. No estudo de diversas questoes sucede, por vezes, poder fixar-se de inıcio um conjunto U, tal que todos os conjuntos que interessa considerar no desenvolvimento da teoria sao subconjuntos de U. Quando esta assim fixado um conjunto universal, e usual chamar apenas complementar de um dado conjunto A (tal que A ⊂ U evidentemente!) ao conjunto U \A, que entao se designa de preferencia pelo sımbolo C(A). Pode tambem escrever-se, nessa hipotese (e so nessa):

2. Mostre que se tem

3. Recorrendo a equivalencia das proposicoes A 6⊂ B e ∃x(x ∈ A∧x /∈ B), mostre que o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto.

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

4. Indique quais das proposicoes seguintes sao verdadeiras:

Indique algumas proposicoes verdadeiras que exprimam relacoes de inclusao (isto e, da forma X ⊂ Y ) e relacoes de pertenca (X ∈ Y ) entre dois dos conjuntos dados.

6. Indique dois conjuntos A e B para os quais seja verdadeira a proposicao A ∈ B ∧ A ⊂ B.

7. Sendo A um conjunto qualquer, chama-se conjunto das partes de A e designa-se por P(A) o conjunto cujos elementos sao, precisamente, todos os subconjuntos de A. Por exemplo, se A = {1,2} e a) Quantos elementos tem os conjuntos b) Verifique que as relacoes x ∈ X e {x} ∈ P(X) sao equivalentes.

c) Prove, por inducao, que, sendo A um conjunto com n elementos, o numero de elementos de P(A) e 2n.

e designando em geral por Mn e Dn, respectivamente, o conjunto dos multiplos e o conjunto dos divisores do numero natural n, determine os conjuntos

9. a) Interprete geometricamente (como subconjuntos de R) os seguintes conjuntos:

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELAC OES.

10. a) Interprete geometricamente, como subconjuntos do “plano” R2, os seguintes:

1. Verifique que qualquer das condicoes seguintes e equivalente a A ⊂ B:

12. Um conjunto X = {a,b,...} e duas operacoes designadas, por exemplo, pelos sımbolos ∪ e ∩, constituem uma algebra de Boole sse forem verificados os seguintes axiomas:

Prove que, sendo A um conjunto arbitario, o conjunto P(A) e as operacoes de reuniao e interseccao de conjuntos, constituem uma algebra de Boole. Quais sao os elementos 0 e 1 dessa algebra?

2.2 Pares ordenados. Sequencias. Produto cartesiano. Rela c~oes.

Observemos em primeiro lugar que, sendo a e b dois objectos quaisquer, se tem, evidentemente {a,b} = {b,a}.

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

Na realidade, segundo a definicao atras indicada, considera-se que dois conjuntos sao iguais sse tiverem os mesmos elementos, sem que haja que atender a quaisquer outras circunstancias. Em contrapartida, na Geometria Analıtica plana, se a e b sao numeros reais, as notacoes (a,b) e (b,a) referemse a dois pontos distintos (a nao ser que a = b). Por exemplo, os pares (2,5) e (5,2) nao correspondem, num dado referencial, ao mesmo ponto do plano. Em casos como este e costume dizer que se trata de pares ordenados.2 De uma forma geral, sendo a e b objectos quaisquer, designaremos por (a,b) o par ordenado que tem a por primeira coordenada (ou primeira projeccao) e b por segunda coordenada (ou segunda projeccao). Assim, os sımbolos {a,b} e (a,b) designam objectos matematicos distintos (pode dizer-se que o primeiro e um par, se for a 6= b; o segundo, em qualquer hipotese, e um par ordenado. Em particular, deve notar-se que dois pares ordenados so sao considerados iguais se forem iguais tanto as suas primeiras como as suas segundas coordenadas, isto e:

De uma forma analoga, sendo a,b e c tres objectos quaisquer, designaremos pelo sımbolo (a,b,c) o terno ordenado que tem a por primeira coordenada, b por segunda e c por terceira. A nocao de terno ordenado pode ser definida a partir da de par ordenado: basta dizer que o termo ordenado (a,b,c) e precisamente o par ordenado ((a,b),c), que tem (a,b) por primeira coordenada e c por segunda. Ter-se-a assim, por definicao:

Desta definicao resulta facilmente que a igualdade (a,b,c) = (a′,b′,c′) equivale a conjuncao das tres igualdades a = a′, b = b′, c = c′. As nocoes de par ordenado e terno ordenado podem generalizar-se facilmente: sendo n um

numero natural maior do que 13 e a1,a2,an objectos quaisquer, designa-
remos pelo sımbolo (a1,a2,an) a sequencia cuja primeira coordenada e
a1,e cuja na coordenada e an. A nocao de sequencia pode ser definida

por inducao: para n = 2, a sequencia de primeira coordenada a1 e segunda

2Pode dar-se uma definicao de par ordenado, usando apenas nocoes ja introduzidas.

Uma definicao possıvel (que indicamos apenas a tıtulo de curiosidade) e a que se exprime pela igualdade seguinte:

Contudo, esta definicao, embora permita efectuar as deducoes logicas em que intervem a nocao em causa, parecera certamente demasiado abstracta - por excessivamente afastada da nocao intuitiva de par ordenado - a quem inicia o estudo da teoria dos conjuntos. Parece-nos por isso preferıvel nao definir aqui a nocao de par ordenado, a qual podera ser encarada como nocao primitiva.

3No caso n = 1, a sequencia (a1), de primeira (e unica) coordenada a1 e geralmente identificada com o proprio objecto a1.

2.2. PARES ORDENADOS. SEQUENCIAS. PRODUTO CARTESIANO. RELAC OES.

(a1, a2,, an) = ((a1, . . . , an−1), an).

Reconhece-se sem dificuldade que a igualdade de sequencias:

(a1, a2,, an) = (b1, b2, . . . , bn)

e equivalente a conjuncao das n igualdades

a1 = b1,a2 = b2,,an = bn.

Sejam agora A e B dois conjuntos quaisquer. Chama-se produto cartesiano de A e B, e designa-se pelo sımbolo A × B, o conjunto de todos os pares ordenados (a,b) tais que a ∈ A e b ∈ B. Simbolicamente:

Se, em particular, e A = B, o produto cartesiano A × B (ou A × A) chama-se quadrado cartesiano de A e designa-se usualmente por A2.

2. Sendo R o conjunto dos reais, o conjunto R2 e formado por todos os pares ordenados (x,y), tais que x,y ∈ R (isto e, x ∈ R e y ∈ R). Cada um de tais pares pode, como sabemos, ser “identificado” com um ponto de um plano no qual tenha sido instituıdo um referencial; e esse o ponto de vista adoptado na Geometria Analıtica plana. Numa outra ordem de ideias, o par (x,y) pode tambem “identificar-se” com um numero complexo, precisamente o complexo que, mais correntemente, e designado por x + yi.

(Parte 3 de 8)

Comentários