Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

(Parte 6 de 8)

∀x,y,z∈A xGy ∧ y Gz =⇒ xGz (transitividade).

Sao relacoes de equivalencia, por exemplo, a relacao de “igualdade” (num conjunto qualquer), a relacao de paralelismo (no conjunto das rectas do espaco, e admitindo que se considera a coincidencia como caso particular do paralelismo), a relacao de “semelhanca” (entre triangulos, por exemplo), a relacao de “equipotencia”, entre subconjuntos de um conjunto arbitario (cf. exercıcio 13), etc. Nao sao relacoes de equivalencia: a relacao de “perpendicularidade”, entre rectas (nao e reflexiva, nem transitiva), as relacoes de “divisor” entre numeros naturais e de “contido” entre conjuntos (nao sao simetricas), a relacao de “maior” (nao e reflexiva, nem simetrica).

Fixada uma relacao de equivalencia G num conjunto A, diz-se que dois elementos a, b de A sao equivalentes (segundo G) sse aGb. Nas mesmas condicoes, sendo c um elemento qualquer de A, chama-se classe de equivalencia de c (segundo G) e designa-se usualmente por G[c], ou apenas [c], o conjunto de todos os elementos de A que sao equivalentes a c:

2.4. RELAC OES DE EQUIVALENCIA. RELAC OES DE ORDEM.

No caso da relacao de paralelismo, a classe de equivalencia de uma recta e o conjunto de todas as rectas que tem a mesma direccao do que a recta dada; para a relacao de igualdade num conjunto X, tem-se para qualquer elemento c ∈ X,[c] = {c} (isto e, a classe de equivalencia de c tem um unico elemento: o proprio c). Demonstraremos agora o seguinte:

Teorema. Seja G uma relacao de equivalencia no conjunto A, a e b elementos quaisquer de A. Tem-se entao:

Demonstracao:

1) Para provar que a pertence a sua propria classe de equivalencia, basta atender a definicao desta classe e ao facto de que, por hipotese, a e equivalente a si proprio (visto que a relacao G e reflexiva). Observe-se que de aqui resulta, em particular, que nenhuma classe de equivalencia e vazia.

2) Para provar que, se a e b sao equivalentes tem a mesma classe de equivalencia, suponha-se, de facto, aGb e observe-se que, se c e um elemento qualquer de [a] tem-se (por definicao de [a]) cGa e portanto tambem, pela transitividade de G, cGb, isto e c ∈ [b]. Fica assim provado que [a] ⊂ [b] e, como poderia provar-se da mesma forma que [b] ⊂ [a], pode concluir-se que [a] = [b]. Reciprocamente, se [a] = [b], tem-se, por (1), a ∈ [b] e portanto aGb.

3) Para reconhecer que as classes de equivalencia de dois elementos nao equivalentes sao disjuntas — ou, o que e o mesmo que, se [a] ∩ [b] 6= ∅, se tem necessariamente, aGb — basta notar que, sendo c ∈ [a] ∩ [b], ter-se-a cGa (visto que c ∈ [a]) e cGb (visto que c ∈ [b]). Logo, atendendo a simetria de G, ter-se-a tambem aGc e cGb e finalmente, pela transitividade, aGb. Em sentido inverso observe-se que, por (2), aGb =⇒ [a] = [b] e portanto, como uma classe de equivalencia nao pode ser vazia, [a] ∩ [b] 6= ∅.

Introduziremos ainda a seguinte definicao: Sendo G uma relacao de equivalencia num conjunto A, chama-se conjunto quociente de A (segundo G) e designa-se por A/G o conjunto formado pelas classes de equivalencia (segundo G) de todos os elementos de A. Por exemplo, no caso de G ser a relacao de igualdade no conjunto A, A/G e o conjunto de todas as partes de A que tem apenas um elemento. Se G for

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

a relacao de equivalencia, no conjunto das pessoas (nao apatridas), definida por: xGy ⇐⇒ x tem a mesma nacionalidade que y, cada uma das classes de equivalencia segundo G sera formada por todas as pessoas que tem uma determinada nacionalidade e o conjunto quociente correspondera, de certo modo, ao conjunto de todas as nacionalidades.

Nota. Como exemplo particularmente significativo da utilizacao da nocao de conjunto quociente em Matematica, indicaremos nesta nota o processo usualmente adoptado para definir o conjunto Z dos numeros inteiros (0, ±1, ±2,...) a partir do conjunto dos naturais, N, que, por agora, suporemos previamente conhecido. A definicao pode indicar-se em poucas palavras (mas so podera ser bem compreendida se se tiver em conta a motivacao que sera indicada posteriormente):

Considere-se o conjunto N2, de todos os pares ordenados de numeros naturais, N2 = {(a,b) : a,b ∈ N} e, neste conjunto, a relacao de equivalencia G definida da seguinte forma:

Nestas condicoes, o conjunto Z dos numeros inteiros e, por definicao, o conjunto quociente N2/G.

Qual a ordem de ideias que pode conduzir naturalmente a esta definicao?

Para a apreender comecemos por lembrar que a consideracao do conjunto Z e essencialmente motivada por uma “insuficiencia” do conjunto dos naturais: o facto de nem sempre ser possıvel em N a operacao de subtraccao. Na realidade, supondo a,b ∈ N, a equacao em x:

so tem solucao em N se for a < b.

Como esta limitacao e indesejavel, do ponto de vista algebrico, surge naturalmente a ideia de construir um sobreconjunto Z do conjunto N, no qual a equacao anterior ja tenha solucao, quaisquer que sejam a e b.

a qualquer dos pares (1,5),(2,6),(3,7),corresponde o mesmo natural, 4

Nesse sentido, observemos primeiramente que, quando a equacao considerada tem solucao em N — isto e, quando a < b — essa solucao e unica (x = b − a). Pode exprimir-se este facto dizendo que a cada par (a,b) de numeros naturais, que verifique a condicao a < b, corresponde um e um so natural x, que e solucao da equacao considerada. Note-se, porem, que a correspondencia assim estabelecida entre os numeros naturais x e os pares ordenados (a,b) ∈ N2, tais que a < b, nao e biunıvoca; por exemplo, (solucao comum das equacoes 1 + x = 5, 2 + x = 6,...).

2.4. RELAC OES DE EQUIVALENCIA. RELAC OES DE ORDEM.

Que condicao devem entao verificar dois pares (a,b) e (c,d) — com a < b e c < d — para que lhes corresponda o mesmo natural x? Facilmente se ve que tal condicao pode ser expressa pela igualdade a + d = b + c.

Assim, se utilizarmos esta igualdade para definir uma relacao g no subconjunto de N2 formado pelos pares com primeira coordenada inferior a segunda, isto e, se pusermos, no referido conjunto:

verificamos sem dificuldade que g e uma relacao de equivalencia e que as classes de equivalencia determinadas por esta relacao podem por-se em correspondencia biunıvoca com os numeros naturais.

O que se passara, porem, se considerarmos a relacao de equivalencia G, definida da mesma forma, nao no subconjunto de N2 acima indicado, mas em todo o conjunto N2? Alem das classes de equivalencia correspondentes aos numeros naturais (todas formadas por pares em que a primeira coordenada e menor do que a segunda) obteremos agora novas classes que, intuitivamente, poderemos supor corresponderem a numeros de novo tipo, precisamente os numeros de que necessitavamos para resolver equacoes da forma a + x = b, quando for a ≥ b.

Agora, para dar uma definicao matematicamente correcta dos objectos que constituem o novo conjunto numerico que alcancamos (por enquanto apenas intuitivamente) e que e precisamente o conjunto dos inteiros, o mais simples sera chamar numero inteiro a qualquer das classes de equivalencia determinadas em N2 pela relacao G. Uma tal definicao parecera certamente, a uma primeira vista, um tanto artificial: claro que, na pratica, ninguem pensara nunca, ao calcular com inteiros, que eles sao certas “classes de equivalencia de pares de numeros naturais”.

Porem, nao e de calculo que agora se trata, mas sim de procurar obter uma definicao rigorosa do conjunto Z, a partir de N e utilizando exclusivamente nocoes fundamentais da teoria dos conjuntos (tais como a de produto cartesiano e a de conjunto quociente) que, por sua vez, tenham ja sido definidas com o indispensavel rigor. Ora para este efeito, a definicao indicada e perfeitamente satisfatoria.

Designando por [a,b] a classe de equivalencia a que pertence o par (a,b) — com a e b naturais quaisquer — diremos que esta classe corresponde a um numero natural sse for a < b; nesta hipotese, o numero natural correspondente ao inteiro [a,b] e precisamente o numero b − a.

Quando for a ≥ b, a classe [a,b] e um inteiro que nao corresponde ja a nenhum numero natural.

Na pratica, cada numero natural e o numero inteiro correspondente — em princıpio, objectos matematicos distintos — sao mesmo “identificados”, passando-se a designa-los pelo mesmo sımbolo. Feita essa identificacao, podera dizer-se que o conjunto N e um subconjunto do conjunto Z.

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

Vejamos como se definem as operacoes algebricas fundamentais no conjunto Z, acabado de construir. A adicao de dois inteiros e definida pela igualdade 6:

Facilmente se verifica que todos os pares da forma (c,c), com c ∈ N), sao equivalentes entre si e que se tem, para qualquer inteiro [a,b]:

Assim, [c,c] e elemento neutro para a adicao: chama-se-lhe zero do conjunto Z e usa-se, para designa-lo, o sımbolo 0.

a forma usual de notacao dos inteiros: 0,±1,±2,).

Os inteiros [a,b] e [b,a], de soma igual a zero, sao inteiros simetricos; e facil reconhecer que qualquer inteiro diferente de zero ou e um numero natural ou e o simetrico de um numero natural (o que, em particular, sugere

No que respeita a multiplicacao de inteiros, limitar-nos-emos a indicar que ela pode ser definida pela igualdade a partir da qual e bastante simples (como o teria sido tambem no caso da adicao) deduzir as propriedades da multiplicacao de inteiros ja conhecidas do curso liceal.

Finalmente, e importante observar que pode construir-se o conjunto Q, dos numeros racionais, a partir do conjunto Z, por um processo inteiramente analogo ao que seguimos na passagem de N para Z. A ideia orientadora desta nova “ampliacao” e a de tornar resoluvel qualquer equacao da forma com a 6= 0, isto e, no fundo, a de tornar sempre possıvel a divisao, com divisor diferente de zero.

O conjunto Q pode entao ser definido pela forma seguinte: Considere-se o conjunto de todos os pares (a,b) com a,b ∈ Z e a 6= 0, isto e, o conjunto (Z\{0})×Z — que aqui representaremos abreviadamente por W —, e introduza-se em W a relacao de equivalencia S definida por

6Observe-se que, se os pares (a,b) e (c,d) forem respectivamente equivalentes a (a′,b′) e (c′,d′), tambem os pares (a′ +c′,b′ +d′) e (a+c, b+d) serao equivalentes, o que mostra que a igualdade em referencia permite realmente definir uma operacao no conjunto dos inteiros (isto e, uma aplicacao de Z × Z em Z).

2.4. RELAC OES DE EQUIVALENCIA. RELAC OES DE ORDEM.

O conjunto dos racionais Q e, por definicao o quociente W/S. Quanto as operacoes algebricas, designando por ba a classe de equivalencia a que per- tence o par (a,b) — o que, alias, podera lancar alguma luz sobre a razao que levou a definir a relacao S pela forma indicada...— por-se-a, por definicao:

Cada numero inteiro c sera “identificado” com um racional, precisa- mente o racional c1, passando entao a ter-se N ⊂ Z ⊂ Q. Tambem neste caso podem deduzir-se sem dificuldade as propriedades operatorias ja conhe- cidas, o que nao faremos.

Seja A um conjunto qualquer e suponhamos fixada uma relacao binaria no conjunto A, relacao que designaremos pelo sımbolo ≺ (que pode lerse “precede”). Diz-se que ≺ e uma relacao de ordem parcial sse forem verificadas as propriedades seguintes:

Se, alem destas propriedades, se tiver:

a relacao ≺ dir-se-a uma relacao de ordem total, ou simplesmente uma relacao de ordem. Como exemplos de relacoes de ordem, registaremos: a relacao de < (ou a de >), no conjunto dos reais, R (ou em qualquer dos conjuntos N, Z, Q) e a relacao determinada, no conjunto de todas as palavras da lıngua portuguesa, pela condicao “x precede alfabeticamente y”. Como exemplos de relacoes de ordem parcial (alem dos anteriores, visto que qualquer relacao de ordem total e tambem uma relacao de ordem parcial) indicaremos ainda a relacao de “inclusao estrita” — isto e, a relacao definida pela condicao X ⊂ Y ∧ X 6= Y — entre as partes de um conjunto qualquer, a relacao de “divisor estrito” no conjunto dos inteiros 7, a relacao de “descendente” no conjunto dos seres humanos, etc.

Um conjunto A diz-se ordenado (ou totalmente ordenado), quando estiver fixada uma relacao de ordem em A; da mesma forma, um conjunto no qual se tenha fixado uma relacao de ordem parcial e um conjunto parcialmente ordenado. Dada uma relacao de ordem ≺ (total ou parcial), num

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

conjunto A, chama-se relacao de ordem lata associada a ≺, a relacao ≺ definida pela forma seguinte:

Por exemplo, a relacao de ≤, no conjunto dos reais e a relacao de ordem lata associada a relacao <; as relacoes latas associadas as de “estritamente contido” e de “divisor estrito” sao as relacoes de “contido” e de “divisor”, respectivamente.

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