Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

Elemento de Logica Matematica e Teoria de Conjuntos

(Parte 7 de 8)

Facilmente se verifica que, sendo ≺ uma relacao de ordem parcial no conjunto A, a relacao de ordem lata associada a ≺ tem as propriedades:

e que, se ≺ for uma relacao de ordem total, se tem ainda:

Consideremos agora um conjunto (totalmente) ordenado A e, para maior comodidade, designemos pelo sımbolo <, que leremos mesmo “menor”, a relacao de ordem fixada em A. Introduzamos ainda as habituais convencoes de notacao:

Nestas condicoes, sendo a e b elementos de A tais que a ≤ b, chama-se intervalo fechado de extremos a e b (no conjunto A) e designa-se por [a,b], o conjunto:

Define-se analogamente o intervalo aberto de extremos a e b:

2.4. RELAC OES DE EQUIVALENCIA. RELAC OES DE ORDEM.

Seja agora X um subconjunto qualquer de A. Diz-se que um elemento c de A e um minorante de X sse

Evidentemente, se c for um minorante de X, qualquer elemento c′ ∈ A tal que c′ ≤ c sera tambem um minorante de X.

Diz-se que o conjunto X e minorado (ou limitado inferiormente) sse X tiver pelo menos um minorante; assim, dizer que X e minorado equivale a afirmar que

Analogamente, chama-se majorante de X a qualquer elemento d ∈ A tal que e diz-se que o conjunto X e majorado (ou limitado superiormente) sse

Um conjunto X ⊂ A que seja minorado e majorado diz-se um conjunto limitado; portanto, X e limitado sse

Exemplos: (considerando sempre como conjunto ordenado — isto e, no lugar do conjunto A das definicoes precedentes — o conjunto R, com a relacao de ordem < usual): N e um conjunto minorado (qualquer numero real ≤ 1 e um minorante) mas nao majorado nem, portanto, limitado; o conjunto Q−, dos racionais negativos e majorado (sao majorantes os reais ≥ 0) mas tambem nao e limitado; e limitado o conjunto dos reais que verificam a condicao x2 < 4, que e precismente o intervalo ] − 2,2[ e que tem por minorantes os reais ≤ −2 e por majorantes os reais ≥ 2.

Dado um subconjunto X do conjunto ordenado A pode existir ou nao em X um elemento menor do que todos os outros, isto e, um elemento a tal que:

E facil, porem, reconhecer que, se existir um elemento a nas condicoes indicadas, esse elemento e unico: basta observar que, se a e a′ verificam as condicoes (1) e (2), se tem necessariamente a′ ≤ a e a ≤ a′, donde resulta a = a′. Um tal elemento a (quando existe) e chamado o mınimo do conjunto X e designado por minX. Define-se de forma analoga o maximo de X (maxX): b e maximo de X sse

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

Evidentemente, um conjunto X ⊂ A pode ter ou nao ter maximo. Por exemplo, no conjunto R, com a relacao de ordem habitual, nao tem maximo nem mınimo o intervalo ]0,1[ e os conjuntos Z,Q,R; tem mınimo (= 1) mas nao maximo, os conjuntos N, [1,3[; tem maximo (= 5) e mınimo (= 2), os conjuntos {2,3,5} e [2,5], etc. Seja de novo X um subconjunto do conjunto ordenado A, mas admitamos agora que X e majorado, e designemos por V o conjunto de todos os majorantes de X. Chama-se supremo de X (supX) ao mınimo de V (se V nao tiver mınimo, diz-se tambem que X nao tem supremo). Assim, o supremo de X (quando existe) e o elemento s ∈ A caracterizado pelas condicoes seguintes:

2) ∀v∈V s ≤ v (nao ha majorantes de X menores do que s).

Convem observar que esta ultima condicao poderia tambem exprimir-se da seguinte maneira:

Isto e, qualquer elemento de A menor do que s e tambem menor de que algum elemento de X (e portanto ja nao e um majorante deste conjunto). De forma analoga, suponhamos agora que X e um subconjunto minorado de A e designemos por U o conjunto dos minorantes de X. Chama-seınfimo de X (inf X) ao maximo de V , se tal maximo existir; nesta hipotese, o ınfimo de X sera o elemento r ∈ A caracterizado por:

2) ∀u∈U u ≤ r (nao ha minorantes de X maiores do que r), podendo ainda esta ultima condicao traduzir-se por:

E facil reconhecer que um conjunto X que tenha maximo tem tambem supremo, tendo-se entao, precisamente, supX = maxX; a existencia do supremo nao garante, porem, que exista maximo: o supremo de X e efectivamente maximo sse pertencer ao conjunto X. Evidentemente, sao validas afirmacoes analogas a respeito do mınimo e do ınfimo. Exemplos (uma vez mais em R, com a ordenacao habitual): os intervalos [1,3], [1,3[, ]1,3] e ]1,3[ tem todos o mesmo ınfimo, 1, e o mesmo supremo, 3; o ınfimo e mınimo apenas no caso dos dois primeiros intervalos, o supremo so e maximo para

2.4. RELAC OES DE EQUIVALENCIA. RELAC OES DE ORDEM.

o 1o e o 3o. Finalmente, o conjunto X formado pelos inversos de todos os numeros naturais,

tem por supremo 1 (que e maximo) e por ınfimo 0 (que nao e mınimo).

1. Indique se gozam das propriedades: 1) reflexiva, 2) simetrica, 3) transitiva, as relacoes formadas por todos os pares (x,y) ∈ R2 tais que:

2. Questao analoga a anterior, para as relacoes determinadas, no conjunto dos seres humanos, pelas condicoes:

x e pai de y, x e mais velho do que y, x e y tem a mesma residencia.

3. Dada uma aplicacao f : A → B, seja ϕ a relacao no conjunto A definida pela forma seguinte:

Mostre que se trata de uma relacao de equivalencia. Quais sao as classes de equivalencia, se f for injectiva?

4. Escolhido um ponto O no espaco ordinario, considere-se a relacao θ definida por

P θQ ⇐⇒ existe uma recta que contem O, P e Q.

onde P e Q designam pontos quaisquer do espaco. Mostre que θ nao e uma relacao de equivalencia, mas que o seria sem em vez de considerarmos todos os pontos do espaco, considerassemos todos os pontos distintos do ponto O. Quais seriam as classes de equivalencia correspondentes?

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS.

5. Sendo A um conjunto qualquer, chama-se particao de A a qualquer conjunto P de partes de A nao vazias, disjuntas duas a duas e cuja reuniao seja A; a relacao ρ, no conjunto A, definida por e uma relacao de equivalencia. Qual e o conjunto quociente, A/ρ?

Prove tambem que qualquer relacao de equivalencia em A determina, por sua vez, uma particao de A, formada pelas correspondentes classes de equivalencia.

6. Prove que, para que uma relacao binaria ≺ num conjunto A seja uma relacao de ordem (total), e necessario e suficiente que sejam satisfeitas as duas propriedades seguintes:

2a — sendo x e y elementos quaisquer de A, verifica-se necessariamente uma e uma so das condicoes: x ≺ y, x = y, y ≺ x.

7. No conjunto ordenado R com a ordenacao usual, verifique se sao majorados, minorados e limitados os conjuntos considerados nos exercıcios 8 e 9 da seccao 2.1 e, se possıvel, determine maximos, mınimos, supremos e ınfimos dos mesmos conjuntos.

8. Questoes analogas as do exercıcio 7, para os conjuntos de numeros reais definidos pelas formulas:

onde se supoe que n assume todos os valores naturais.

9. Considere como conjunto ordenado total o conjunto Q, dos racionais, com a usual relacao de <, e verifique que o subconjunto X de Q definido por: X = {x : x ∈ Q ∧ x2 < 2} e majorado mas nao tem supremo.

10. Prove que, se X e Y sao subconjuntos limitados de um conjunto ordenado A, X ∩ Y e X ∪ Y sao tambem limitados.

2.4. RELAC OES DE EQUIVALENCIA. RELAC OES DE ORDEM.

1. Sendo X e Y partes de um conjunto ordenado A, tais que X ⊂ Y e supondo que existem supX e supY , prove que supX ≤ supY .

CAPITULO 2. ELEMENTOS DE TEORIA DOS CONJUNTOS. 46

Bibliografia

[1] T. Apostol. Calculus, volume I. Editorial Reverte, 1972. [2] T. Apostol. Mathematical Analysis. Addison-Wesley, 1978.

[3] J. Dieudonne. Foundations of Modern Analysis. Addison Wesley, 2a edicao, 1969.

[4] P. Halmos. Naive Set Theory. Van Nostrand, 1960.

[5] S. Lipschutz. Theory and Problems of General Topology. Schaum Publ. Co., 1965.

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