Distribuição Exponencial

Definição: Seja X uma variável aleatória continua no intervalo 0 ≤ x <∞, onde a sua função densidade de probabilidade é dada por:

Ou seja

Onde λ é alguma constante positiva.

Notação: X ~ Exp( λ )

Graficamente, temos:

Propriedade

iv) Falta de memória ou falta de desgaste

Para explicarmos a propriedade de falta de memória, vamos considerar um componente que tem distribuição de tempo de vida exponencial, se ele durou até um instante t, então a probabilidade condicional dele durar mais s unidades de tempo além do instante t, é a mesma que um componente novo venha a durar s unidades de tempo, onde X é o tempo de vida desse componente.

APLICAÇÃO

A densidade de distribuição exponencial tem importante aplicação em tempos de vida de determinados tipos de equipamento, ou como intervalo de tempo entre eventos que ocorrem em seqüência aleatórias, como por exemplo, chamadas telefônicas em um centro telefônico, demandas de serviço de computador, chegadas sucessivas de raios cósmicos, teoria das filas e linha de espera para medir o tempo de ocorrido entre chegadas de clientes em locais de prestação de serviços, como caixas eletrônicos, chegadas de pacientes em um pronto-socorro, buscas em um site de internet.

Exemplo

O tempo entre paralisações não-programadas, em uma usina de energia elétrica, tem uma distribuição exponencial, com uma média aritmética de 20 dias. Encontre a probabilidade de que o tempo entre duas paralisações não programáveis seja:

    1. Menor do que 14 dias.

    2. Maior do que 21 dias.

    3. Menor do que 7 dias.

Solução:

X~Exp (20)

X: tempo entre paralisações não-programadas (em dias).

Problemas

  1. Um acidente de trabalho ocorre uma vez a cada 10 dias, em média, em uma montadora de automóveis. Qual a probabilidade de que o próximo acidente de trabalho irá ocorrer em

    1. 10 dias

    2. 5 dias

    3. 1 dia

  2. Chamadas telefônicas chegam à central de informações de uma grande companhia de software a uma taxa de 15 por hora.

    1. Qual a probabilidade de que a próxima chamada chegue dentro de 3 minutos?

    2. Qual a probabilidade de que a próxima chamada chegue dentro de 15 minutos?

    3. Suponha que a companhia tenha acabado de lançar uma versão atualizada de seus programas de software, e as chamadas telefônicas estejam chegando agora a uma taxa de 25 por hora. Sendo conhecida esta informação, quais seriam as suas respostas para a (a) e (b)?

  3. O tempo de vida (em horas) de um transistor é uma variável aleatória T com distribuição exponencial. O tempo médio de vida do transistor é de 500 horas.

    1. Calcule a probabilidade de o transistor durar mais do que 500 horas.

    2. Calcule a probabilidade de o transistor durar entre 300 e 1000 horas.

    3. Sabendo que o transistor já durou 500 horas, calcule a probabilidade de ele durar mais 600 horas?

  4. Suponha que um componente eletrônico tenha um tempo de vida X, (em unidades de 1000 horas) que é considerado uma variável aleatória com função densidade de probabilidade . Suponha também que o custo de fabricação de um item seja R$2,00 e o preço de venda seja R$5,00. O fabricante garante devolução total do dinheiro se . Qual o lucro esperado do fabricante por item produzido?

  5. O tempo (em horas) necessário para reparar uma máquina é uma variável aleatória exponencialmente distribuída com parâmetro . Determine:

    1. A probabilidade de que o tempo de vida de reparo exceda 2 horas.

    2. A probabilidade condicional de que o tempo de reparo será maior que onze horas dado que a duração excede nove horas.

  6. Uma máquina funciona se pelo menos três de cinco dos seus componentes estiverem funcionando. Cada componente, independentemente dos demais, funciona por um tempo que é uma variável aleatória com função de probabilidade dada por , x em horas. (a) Determine a probabilidade de que a máquina funcione por mais de cinco horas. (b) Determine o número médio de componentes funcionando dez horas após a máquina ser ligada.

Resolução

  1. X~Exp (10)

X: ocorrência de acidente de trabalho (em dias)

  1. X~Exp (15)

X: chamadas telefônicas (em uma hora)

  1. X~Exp (15)

X: o tempo de vida (em horas) de um transistor

5) X~Exp (1)

X: tempo de vida do componente (em unidade de 1000 horas)

6) X~Exp (1/2)

X: Tempo (em horas) para reparar uma máquina

7) X~Exp (1/5)

X: vida útil do componente

A máquina funciona quando, pelo menos três componentes funcionam.

a) Y=nº. de componentes funcionando depois de 5 horas.

= probabilidade de que um componente funcione depois de 5 horas.

Y~Bin (5,p)

Logo =

b) Y= nº de componentes funcionando após 10 horas.

Y~Bin (5,p)

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