Introdução analise em Rn

Introdução analise em Rn

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Introducao a Analise em Rn

J. Campos Ferreira 3 de Junho de 2004

Indice

Introducao 5

1.1 Introducao7
1.2 Exemplos de funcoes de duas variaveis reais8
1.3 Graficos e linhas de nıvel10
1.4 Exemplos de funcoes13

1 Generalidades e primeiros exemplos 7

2.1 Produto interno, norma e distancia17
2.2 Sucessoes em Rm26
2.3 Nocoes topologicas em Rm32
3.1 Continuidade43
3.2 Limite61

3 Continuidade e limite 43

4.1 Introducao83
4.2 Calculo diferencial de primeira ordem86
4.3 Calculo diferencial de ordem superior a primeira117
4.4 Teoremas das funcoes implıcitas e da funcao inversa129
4.5 Extremos147

4 Calculo diferencial 83 Indice Remissivo 159

Introducao

Uma grande parte deste trabalho e o resultado de uma revisao do texto intitulado Introducao a Analise em Rn, que redigi ha mais de vinte anos para os alunos que entao frequentavam no Instituto Superior Tecnico a disciplina de Analise Matematica I. Decidi-me a efectuar essa revisao — e ate a acrescentar diversos complementos cuja redaccao esta em curso — porque alguns colegas e amigos me asseguraram que o trabalho poderia ter ainda hoje alguma utilidade, como texto de apoio a uma parte das suas aulas da referida disciplina.

Gostaria de deixar aqui expresso o meu reconhecimento aos Professores Francisco Teixeira, Joao Palhoto de Matos e Pedro Girao e ao Engenheiro Paulo Abreu pelas suas valiosas contribuicoes para a concretizacao deste projecto.

Lisboa, Novembro de 2002

Jaime Campos Ferreira

Capıtulo 1 Generalidades e primeiros exemplos

Foi estudada anteriormente a nocao geral de funcao. De forma intuitiva, pode pensar-se que uma funcao f associa a cada elemento x de um dado conjunto A, chamado domınio de f, um e um so elemento f(x) de um conjunto B; o subcon- junto de B formado por todos os valores f(x) e, como sabemos, o contradomınio de f.

No caso geral, A e B podem ser conjuntos com elementos de natureza qualquer. No entanto, quase todo o nosso trabalho anterior incidiu sobre um caso particular, alias muito importante: o de tanto A como B serem subconjuntos do conjunto R, dos numeros reais (dizia-se entao, como vimos, que as funcoes consideradas eram funcoes reais de (uma) variavel real).

Vamos iniciar agora uma generalizacao desse estudo, de enorme interesse em toda a especie de aplicacoes: estudaremos funcoes reais de m variaveis reais, (com m inteiro positivo), isto e, funcoes cujo contradomınio e ainda um subconjunto de R mas cujo domınio e uma parte do conjunto Rm = R × R × · × R (produto cartesiano de m factores todos iguais a R). As funcoes deste tipo sao tambem designadas por funcoes reais de variavel vectorial (expressao relacionada com a designacao de vectores, dada correntemente aos elementos de Rm). Mais geralmente ainda, varios aspectos do nosso estudo incidirao sobre funcoes vectoriais de variavel vectorial (funcoes com domınio A ⊂ Rm e contradomınio B ⊂ Rn , com m e n inteiros positivos).

Neste quadro geral, estudaremos varias nocoes fundamentais — como as de limite e continuidade — e abordaremos o estudo do calculo diferencial, bem como algumas das suas aplicacoes mais importantes.

Recordemos que, antes de iniciarmos o estudo das funcoes reais de uma variavel real, tivemos necessidade de organizar convenientemente os nossos conhecimentos sobre o proprio conjunto R; da mesma forma, teremos agora de comecar por estruturar de forma adequada o conjunto Rm, para que possamos assentar numa base solida o estudo que vamos empreender. Esse trabalho sera feito no Capıtulo 2, dedicando-se os restantes paragrafos deste capıtulo a consideracao de exemplos e

Capıtulo 1. Generalidades e primeiros exemplos a exposicao de algumas ideias muito simples, que convem abordar nesta fase introdutoria do nosso trabalho.

1.2 Alguns exemplos de funcoes de duas variaveis reais

Uma funcao real de duas variaveis reais, f, definida numa parte A de R2, faz corresponder a cada par ordenado de numeros reais, (x,y), pertencente ao conjunto A, um unico numero real, f(x,y). Vejamos alguns exemplos concretos.

no conjunto de todos os pontos (x,y) ∈ R2.

Trata-se de uma funcao de duas variaveis, aqui designadas por x e y; convem lembrar, no entanto, que as letras escolhidas para variaveis sao inteiramente secundarias: a mesma funcao poderia ser definida, por exemplo, pela formula:

Convem tambem observar desde ja que, se «fixarmos» uma das variaveis num determinado valor, obteremos uma funcao de uma so variavel (a variavel «nao fixada»); assim, por exemplo, fixando y no valor 2 obter-se-ia a funcao parcial (que designamos por ϕ):

Analogamente, atribuindo a x o valor −1 obter-se-ia uma nova funcao parcial: ψ(y) = f(−1,y) = y2 + 1, x ∈ R.

2. Considere-se agora a funcao g definida pela formula:

no conjunto de todos os pontos (x,y) para os quais tem sentido (no conjunto R, onde g toma valores) a expressao que figura no 2o membro.

Trata-se de uma funcao de duas variaveis reais cujo domınio pode repre- sentar-se no plano xy pela coroa circular determinada pelas circunferencias de centro na origem e raios 1 e 3 (incluindo os pontos que pertencem as proprias circunferencias).

1.2. Exemplos de funcoes de duas variaveis reais

PSfrag replacements y

Neste caso, se fixarmos por exemplo a variavel x no valor 2, obteremos a funcao parcial:

cujo domınio e o intervalo [−√ ou x = 3, obteremos respectivamente as funcoes:

O domınio da primeira e o conjunto [−3, −1] ∪ [1, 3] e o da segunda tem apenas um ponto (o ponto 0).

3. Seja h a funcao definida pela formula h(x,y) = arcsin x no conjunto de todos os pontos (x,y) ∈ R2 tais que arcsinx/y ∈ R.

PSfrag replacements y x

E facil reconhecer que o domınio de h e o conjunto representado geometricamente pelos dois angulos verticalmente opostos que tem por lados as

Capıtulo 1. Generalidades e primeiros exemplos bissectrizes dos quadrantes pares e dos quadrantes ımpares, e que nao con- tem o eixo das abcissas (os lados dos angulos referidos pertencem ainda ao domınio, mas nao o seu vertice comum).

4. Convem observar que, tal como no caso das funcoes de uma so variavel, para definir uma funcao de duas variaveis reais nao e necessario dar uma expressao analıtica. Assim, por exemplo, definir-se-ia tambem uma funcao de duas variaveis reais por meio de qualquer dos enunciados seguintes:

(a) Seja f a funcao definida em R2 e tal que f(x,y) = 0 se x e y sao numeros inteiros f(x,y) = 1 se x ou y nao sao inteiros.

(b) Seja g a funcao cujo domınio e o cırculo definido pela desigualdade e tal que

Adiante faremos mais algumas referencias as funcoes mencionadas neste exemplo, a proposito da nocao de grafico de uma funcao de duas variaveis reais, considerada no paragrafo seguinte.

1.3 Graficos e linhas de nıvel

Consideremos no «espaco ordinario» um referencial cartesiano ortonormado. Por um processo bem conhecido, cada ponto P do espaco determina entao um terno ordenado de numeros reais (x,y,z), designados respectivamente por abcissa, ordenada e cota do ponto P; reciprocamente, cada terno ordenado de numeros reais — isto e, cada elemento de R3 — determina um ponto do espaco ordinario.

Assim, fixado um referencial, fica estabelecida uma bijeccao entre o conjunto

R3 e o espaco ordinario, considerado como conjunto de pontos.

Nestas condicoes, sendo z = f(x,y) uma funcao de duas variaveis reais, de- finida num conjunto A ⊂ R2, chama-se grafico da funcao f no referencial considerado o conjunto de todos os pontos (x,y,z) cujas coordenadas verificam a condicao z = f(x,y) (poderia tambem dizer-se que o grafico de f e o conjunto de todos os pontos da forma ( x, y, f(x, y)) , com (x,y) ∈ A).

1.3. Graficos e linhas de nıvel

PSfrag replacements z y x

Trata-se, como e evidente, de uma generalizacao natural da nocao de grafico bem conhecida para as funcoes de uma variavel real. No caso destas funcoes, os graficos eram geralmente «linhas» (pelo menos se as funcoes consideradas tivessem «regularidade» suficiente). Para funcoes de duas variaveis os graficos serao, na generalidade dos casos que nos interessara considerar, «superfıcies», contidas no espaco ordinario.

Na Fig. 1.4 tenta-se dar uma ideia do grafico da funcao z = x2+y2, considerada em 1.2, no exemplo 1. A superfıcie em causa e um paraboloide de revolucao, que pode obter-se fazendo rodar em torno do eixo dos z a parabola situada no plano dos yz e cuja equacao neste plano e z = y2.

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