Geometria analitica - Planos

Geometria analitica - Planos

Planos

Equação geral do plano

Sejam A ( x1, y1, z1) um ponto de um plano e n = a i + b j + c k um vetor normal ao plano. O plano é o conjunto de todos os pontos P ( x, y, z ) do espaço tais que o vetor AP é ortogonal a n:

P

dedução da equação do plano:

( P - A ) . n = 0 ( x-x1, y-y1, z-z1 ) . ( a, b, c ) = 0

a (x-x1 ) + b ( y-y1 ) + c ( z-z1) = 0 a x+ b y + c z - a x1- a y1- a z1 = 0

a x+ b y + c z + d = 0, onde d = - a x1- a y1- a z1

equação geral ou cartesiana do plano : a x+ b y + c z + d = 0

Observações

1. Se n é um vetor normal a um plano, então todo vetor v colinear a n, v = k n, k0, também é normal ao plano.

2. Se n é um vetor normal a um plano, então n é ortogonal a todo vetor não-nulo do plano. Se u e v são vetores não-colineares do plano, então como n é simultâneamente ortogonal a ambos os vetores, segue que n é colinear ao vetor u x v.

3. Dado um plano a x+ b y + c z + d = 0, todos os planos paralelos a ele têm o mesmo vetor normal n = (a, b, c).

Exercícios

1.Dê a equação geral do plano que contém o ponto A (1, 2, 5) e cujo vetor normal é

u =( 3, 2,1) .

2.a) Dê um vetor normal ao plano 2x +5y -z +3=0

b) Verifique se os pontos A ( 0, 0, 3), B (1, 0, -1) e C ( 2, 1, 1) pertencem ao plano do item a)

3. a) Dê a equação geral dos planos paralelos ao plano 5x -y + 2z -1 = 0.

b) Dê a equação do plano que contém A( 0, 1,-3 ) e é paralelo ao plano 5x -y + 2z -1 = 0.

4. Dê a equação do plano que contém o ponto A ( 1,4, -2 ) e é perpendicular à reta

r:

Determinação de um plano

Existe apenas um plano que:

1. passa por um ponto A e é paralelo a dois vetores não-colineares u e v. Nesse caso, n = u x v .

ex: Dê a equação do plano que passa por A ( 1,0,2) e é paralelo aos vetores

u = ( 2, -3, 1) e v = ( 3, 1, -1 ).

2. passa por dois pontos A e B e é paralelo a um vetor u, não-colinear a AB.

Nesse caso, n = u x AB

ex: Dê a equação do plano que passa pelos pontos A ( -1,1,2) e B (0,0,3) e é paralelo ao vetor u = (1,2,2)

3.passa por três pontos não-colineares A, B e C. Nesse caso, n = AB x AC

ex: Dê a equação do plano que passa pelos pontos A ( -1,0,4) , B (0, 1, 3) e

C = ( 2,-2,0).

4.contém duas retas concorrentes. Nesse caso, n = u x v, sendo u e v os vetores diretores das retas.

Ex: Dê a equação do plano que contém as retas r: e s:

5. contém duas retas paralelas r e s. Nesse caso, n = u x AB, sendo u o vetor diretor de r

( ou s ), A r e B s.

ex: Dê a equação do plano que contém as retas r: s:

6. contém uma reta r e um ponto B r. Nesse caso, n = v x AB, sendo v um vetor diretor de r e A um ponto de r.

Ex: Dê a equação do plano que contém a reta r: e o ponto B(0,2,-1).

Planos paralelos aos eixos coordenados

a) Se o vetor normal a um plano é do tipo n = ( 0, b, c) então n . i = ( 0,b,c) . ( 1,0,0) = 0. Logo n é ortogonal a i, ou seja, n é ortogonal ao eixo ox. Daí o plano é paralelo ao eixo ox. Segue que a equação geral de um plano paralelo ao eixo ox é : by + cz + d = 0.

ex: O plano 2y + z -2 =0 intercepta os eixos oz e oy nos pontos A(0,0,2), B(0,1,0), não contém pontos do eixo ox ( pontos do tipo ( x,0,0) ) e possui vetor normal n = ( 0, 2, 1), ortogonal ao eixo ox. Veja a figura abaixo

Plano 2y + z –2 = 0

Analogamente, mostra-se que

b) a equação de um plano paralelo a oy é: ax +cz + d = 0

c) a equação de um plano paralelo a oz é: ax +by + d = 0

Ex: Dê exemplo de um planos paralelo ao eixo coordenado oy ( oz), determine sua interseção com os outros eixos e esboce-o.

Planos paralelos aos planos coordenados

a)O plano de equação z = t, t R, é paralelo ao plano xoy , pois tem vetor normal

n = ( 0,0,1)=k.

b)O plano de equação y = t, t R, é paralelo ao plano xoz, pois tem vetor normal

n = ( 0, 1,0)=j.

Ex: y = 3 passa pelo ponto A (0,3, 0), tem vetor normal n = j e é paralelo ao plano xoz.

c)O plano de equação x = t, t R, é paralelo ao plano yoz, pois tem vetor normal

n = ( 1,0,0)=i.

Ex: x = - 2 passa pelo ponto A (-2, 0,0), tem vetor normal n = i e é paralelo ao plano yoz.

Em particular os planos coordenados têm equações:

x = 0 (plano yz); y = 0 ( plano xz ) e z = 0 ( plano xy).

Condições de paralelismo e perpendicularismo entre dois planos

Sejam : a1x + b1y + c1z + d1 = 0 e : a2x + b2y + c2z + d2 = 0 dois planos com vetores normais n1 = (a1, b1, c1 ) e n2 = (a2, b2, c2 ).

a) Suponha que n1e n2sejam iguais ou paralelos, ou seja, que . Daí os planos são

coincidentes se ou paralelos se

b) Suponha que n1e n2 sejam ortogonais, ou seja que a1 a2 + b1 b2 + c1 c2 =0. Daí os planos são perpendiculares.

Ex: Em cada caso, dê o vetor normal aos planos e verifique se os mesmos são coincidentes, paralelos ou perpendiculares:

a) 2x - y + 2z -1 = 0; 4x - 2y + 4z - 2 = 0

b) 2x + 3y - z + 4 = 0; 4x + 6y - 2z - 1 = 0

c) y - z = 3; y - z = 1

d) x + 2 z - 1 = 0; 4 x + 5 y - 2z = 8

e) x = 5; z = 0

f) x - 3 y + z = -1; 2 x + y + 3 z +5 = 0

Reta e plano

Sejam r uma reta com vetor diretor u e um plano com vetor normal n. Então:

a) Se u e n são ortogonais, r e são paralelos.

b) Se u e n são paralelos, r e são perpendiculares.

c) Se u e n são ortogonais e existe um ponto A de r, que também pertence a , então a reta r está contida no plano .

Ex. 1. Verifique se a reta r e o plano são paralelos:

r: : 2x - y + ½ z -7 = 0

2. Verifique se a reta r está contida no plano .

a) r: : x + y + z - 1 =0

b) r: : x + 7/2 y + z - 2 =0

3. Verifique se a reta r e o plano são perpendiculares:

a) r: : 2x + 2 y -4 z - 3 = 0

b) r: : x + 2 y + z = 0

Interseção de reta e plano

A interseção de uma reta com um plano pode ser:

a) um ponto

b) o conjunto vazio, caso a reta e o plano sejam paralelos

c) a própria reta, caso a reta esteja contida no plano.

Ex. Obter a interseção da reta r: com o plano : x - y + z = 0

a) Substitui-se as coordenadas x, y e z da equação da reta, na equação do plano:

( 3 + t ) - t + ( -1 -2t) = 0 t = 1.

b) Substitui-se t = 1 na equação da reta: .Assim, o ponto de interseção é P (4, 1, -3)

Pode-se também proceder do seguinte modo: resolve-se o sistema cuja equações são a equação do plano e as equações reduzidas da reta. No nosso exemplo acima, as equações reduzidas de r são: r: . Logo bastaria resolver o sistema:

Interseção de dois planos

Consideremos os planos não-paralelos : 2x - y + z = 0 e : x + 3y - z + 1 = 0. A interseção desses planos é uma reta r cujos pontos são soluções do sistema : .

Este sistema é compatível indeterminado e , em termos de x, sua solução é:

Chamando x = t, e substituindo nas reduzidas, obtemos:

Poderíamos proceder de outro modo, obtendo um ponto A de r e seu vetor diretor u.

Como r é simultâneamente ortogonal aos vetores normais aos planos, seu vetor diretor é dado pelo produto vetorial desses vetores: n1 x n2 = ( -2,3,7). Para obter A, podemos atribuir um valor arbitrário para x ( ou y, ou z) e resol ver o sistema. Fazendo, por exemplo, x=0:

y = z =. Portanto,

A = ( 0, ,) é um ponto de r. Logo, r:

Interseção de um plano com os planos e eixos coordenados

Consideremos, por exemplo, o plano x + 3y - z + 1 = 0.

Interseção com o eixo ox.

Fazendo y = z = 0, obtemos o ponto A ( -1, 0, 0 ), que é a a interseção do plano com o eixo ox.

Interseção com o eixo oy.

Fazendo x = z = 0, obtemos o ponto A ( 0, -1/3, 0 ), que é a a interseção do plano com o eixo oy.

Interseção com o eixo oz.

Fazendo x = y = 0, obtemos o ponto A ( 0, 0, 1 ), que é a a interseção do plano com o eixo oz.

Sabendo as interseções do plano com os eixos coordenados, podemos facilmente esboça-lo.

Interseção com o plano x = 0.

Fazendo x =0, e substituindo na equação do plano, obtemos 3y - z + 1 = 0.

Assim, a interseção é dada pela reta cujas equações reduzidas são:

Interseção com o plano y = 0.

Fazendo y =0, e substituindo na equação do plano, obtemos x - z + 1 = 0.

Assim, a interseção é dada pela reta cujas equações reduzidas são:

Interseção com o plano z = 0.

Fazendo z =0, e substituindo na equação do plano, obtemos x+3y + 1 = 0.

Assim, a interseção é dada pela reta cujas equações reduzidas são:

Geometria Analítica

Prof. Maria Ignez Sampaio Salomão

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