Geometria analitica - Produto Vetorial

Geometria analitica - Produto Vetorial

Produto Vetorial

Dados os vetores u = x1 i + y1j + z1k e v = x2 i + y2j + z2k , chama-se produto vetorial dos vetores u e v o vetor denotado por u x v, dado pelo determinante formal

u x v = = ( y1 z2 - z1y2 ) i - ( x1 z2 - z1x2 ) j + ( x1 y2 - y1x2 ) k

Exercício: Calcule o produto vetorial u x v, sendo u = ( 0, 1, 5) e v = ( 2, 3, 0).

Vamos usar a Regra de Sarrus para calcular o determinante

  • 1. Repetimos as duas primeiras colunas ao lado da terceira.

  • 2. Obtemos a soma S1 dos produtos dos elementos das diagonais paralelas à diagonal principal da matriz:

S1 = (ix1x 0) + ( jx5x2) + ( kx0x3) = 10 j

  • 3. Obtemos a soma S2 dos produtos dos elementos das diagonais paralelas à diagonal secundária da matriz:

S2 = ( kx1x2 ) + ( ix5x3) + ( j x 0 x 0) =

2 k + 15 i

  • 4. Efetuamos a subtração S1 - S 2 : S1 - S 2 = 10 j - 2 k + 15 i

Assim, u x v = 15 i + 10 j - 2 k

Propriedades do produto vetorial

1. u x u = 0 ( resulta: i x i = j x j = k x k = 0 ).

2. u x v = - ( v x u ) = -v x u ( resulta:

i x j = -j x i , i x k = -k x i, j x k = -k x j ).

3. u x ( v + w) = u x v + u x w

4. m ( u x v ) = (mu) x v = u x (mv)

5. u x v = 0 se e somente se , um dos vetores é nulo, ou são vetores colineares.

6. u x v é ortogonal simultâneamente aos vetores u e v.

7 Identidade de Lagrange.

8.

Interpretação geométrica do módulo do produto vetorial de dois vetores

C

D

h

v

A

B

u

Área ABCD =

Exercícios

1.a) Determinar um vetor unitário ortogonal simultâneamente aos vetores u = ( 1,-5,-1) e

v = (0,2,1).

b) Determinar um vetor de norma 3 , que seja ortogonal simultâneamente aos vetores

u = ( 1,-5,-1) e v = (0,2,1).

2. Dados os vetores u = ( 1,3,2) e v = (0,2,1), determinar a área do paralelogramo determinado pelos vetores:

a) u e v.

b) 2u e u + v.

3. a) Mostre que os pontos A (0,-2,1), B (1,-1,4) e C(-1,-3,5) são não colineares.

b) Calcular a área do triângulo de vértices A BC.

4. Sejam os vetores u = (3,1,-1) e v = (a,0,2). Calcular o valor de a para o qual a área do paralelogramo determinado por u e v seja igual a .

5. Mostre que o produto vetorial não é associativo, isto é: em geral, tem-se,

u x ( v x w) (u x v) x w .

Prof. Maria Ignez F.S. Salomão

Geometria Analítica

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