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PRIMEIRO SEMESTRE DE 2006 – PRIMEIRA PARTE

Prezados Alunos, sejam bem-vindos ao nosso curso de Cálculo Numérico.

Desejo que vocês possam desfrutar destas notas de aula. O sabor coloquial com que procurei “temperar” estas anotações certamente facilitará a aprendizagem da matéria. Um agradecimento muito especial aos autores de livros, excelentes mestres Ruggiero e Lopes como também ao professor Barroso. Desde que desejamos aprimorar este trabalho ao longo do tempo, sugestões e críticas serão bem vindas. Email: amferraznovaes@ig.com.br ou ataualpa@im.ufba.br. Página na Internet: http:// geocities.yahoo.com.br/magnoferraz/ Telefones: 3353-4784 ou 9179-1925

HUMES, A. F. P. C.; MELO, I. S. H.; YOSHIDA, L. K.;MARTINS, W. T. Noções de Cálculo numérico. São Paulo: McGraw-Hill, 1984.

RUGGIERO, M. A. G.;LOPES, V. L. R. Cálculo numérico: aspectos teóricos e computacionais. São Paulo: Makron Books, 1996.

O que é o Cálculo Numérico?

O Cálculo Numérico corresponde a um conjunto de métodos usados para se obter a solução de problemas científicos na maioria das vezes de forma aproximada, usando técnicas matemáticas e o computador.

Porém, o profissional que se defrontar com o problema terá que tomar uma série de decisões antes de resolvê-lo. E para tomar essas decisões, é preciso ter conhecimento de métodos numéricos. O profissional terá que decidir, dentre outras coisas:

Pela utilização ou não de um método numérico ( se existirem métodos numéricos para se resolver o tal problema. ); Escolher o método a ser utilizado, procurando aquele que é mais adequado para o seu problema. Analisar quais vantagens cada método oferece e as limitações que eles apresentam; Saber avaliar a qualidade da solução obtida. Para isso, é importante ele saber exatamente o que está sendo feito pelo computador ou calculadora, isto é, como determinado método é operacionalizado.

Os principais objetivos do nosso curso são:

• Apresentar diversos métodos numéricos para a resolução de diferentes problemas matemáticos. Pretende-se esclarecer a importância desses métodos, mostrando:

a essência de um método numérico; a diferença em relação a soluções analíticas; as situações em que eles devem ser aplicados; as vantagens de se utilizar um método numérico; as limitações na sua aplicação e confiabilidade na solução obtida.

• Melhorar a familiarização e “intimidade” do aluno com a matemática, mostrando seu lado prático e sua utilidade no dia-a-dia de um cientista. Rever conceitos, exercitá-los e utilizá-los de maneira prática.

Erros Numéricos

Vamos supor o seguinte problema: como calcular o valor de 2 ( ou, por exemplo uma dízima como 2

3 )? Provavelmente, a primeira resposta que vem à mente de qualquer pessoa esclarecida será:

utilizando uma calculadora ou um computador. Indiscutivelmente, essa é a resposta mais sensata e prática. Porém, um profissional que utilizará o resultado fornecido pela calculadora para projetar, construir ou manter pontes, edifícios, máquinas, sistemas, dispositivos eletrônicos, etc., não pode aceitar o valor obtido antes de fazer alguns questionamentos ( pelo menos uma vez na sua vida profissional! ). Será que esse resultado é confiável? ( por exemplo, será que a ponte pode desabar? )

Essa pergunta faz sentido pois 2 é um número irracional, isto é, não existe uma forma de representá-lo com um número finito de algarismos. Portanto, o número apresentado pela calculadora é uma aproximação do valor real de 2, já que ela não pode mostrar infinitos algarismos. E quão próximo do valor real está o resultado mostrado?

O erro cometido ao se calcular o valor de 2, se refere à inevitável limitação na representação de números irracionais e é apenas um tipo de erro que pode surgir ao se resolver um problema real. Esse tipo de erro é chamado de erro de arredondamento. Outros tipos de erros também podem aparecer devido a outros tipos de problemas ou limitações.

Tipos de Erros

A solução matemática de um determinado problema envolve diversas etapas. A solução do problema se inicia com a criação de um modelo matemático que melhor se ajuste ao problema em questão. Esse modelo sempre apresentará aproximações e limitações. Esse tipo de erro é chamado de erro na simplificação do modelo matemático. Além disso, na grande maioria das vezes, dados experimentais ( alguns autores o chamam de erro inerente ao modelo matemático utilizado ) serão utilizados para se obter a solução. Como toda medida experimental apresenta uma incerteza, a solução do problema será influenciada pela mesma. Esse tipo de erro é chamado de erro de entrada de dados. Portanto, logo de início, existem diversos fatores que introduzem erros na solução numérica do problema. Vamos considerar um outro tipo de erro que pode surgir ao realizarmos determinadas operações.

Digamos que precisamos calcular o valor de xe. Mais uma vez, iremos utilizar uma máquina digital ( calculadora ou computador ). Como esse equipamento irá realizar essa operação? Sabemos, do Cálculo Diferencial, que a exponencial é uma função que pode ser representada por uma xe n x e na prática é impossível calcular seu valor

exato. Portanto, mais uma vez, teremos que fazer uma aproximação, que levará a um erro no resultado final de ex .

Por exemplo, se considerarmos 2 1 x x ex=++ estaremos fazendo um truncamento dessa série, e o erro gerado no valor de ex é chamado de erro de truncamento ( é claro que estamos nos referindo à função xe de um modo geral, pois para 0x= não há erro algum ).

Podemos criar algumas definições a fim de facilitar as discussões e trocas de informação sobre esse problema. Vamos definir o módulo da diferença entre o valor real da grandeza que queremos calcular e o valor aproximado que efetivamente calculamos como sendo o erro absoluto , ou seja:

Erro Absoluto = EA = | valor real – valor aproximado | Quanto menor for esse erro, mais preciso será o resultado da operação.

Porém, se estivermos trabalhando com números muito grandes, o erro pode ser grande em termos absolutos, mas o resultado ainda será preciso. E o caso inverso também pode ocorrer: um erro absoluto pequeno, mas um resultado impreciso. Por exemplo, digamos que o resultado de uma operação nos forneça o valor 2.123.542,7 enquanto o valor real que deveríamos obter é 2.123.544,5. O erro absoluto neste caso é 1,8. Comparada com o valor real, essa diferença ( o erro absoluto ) é bem pequena, portanto, podemos considerar o resultado preciso. Em um outro caso, digamos que o resultado da operação seja 0,234 e o resultado correto era 0,128. Desta vez o erro absoluto será igual a 0,106, porém o resultado é bastante impreciso.

A fim de evitar esse tipo de ambigüidade, podemos criar uma nova definição. Podemos definir o erro relativo como sendo o quociente entre o erro absoluto e o valor real da grandeza a ser calculada, ou seja:

valor real valor aproximado erro relativo valor real

O erro relativo é uma forma mais interessante de se avaliar a precisão de um cálculo efetuado. No exemplo acima, teremos um erro relativo de 0,0000008 ou 0,00008% no primeiro caso e um erro relativo igual a 0,83 ou 83% no segundo caso.

Propagação e Condicionamento de Erros Numéricos

Vamos supor que queremos calcular o valor de 2 – e3 . Como vimos anteriormente, ao calcularmos o valor de 2, teremos que realizar um arredondamento, que leva ao um resultado aproximado de 2, ou seja, existe um erro de arredondamento associado ao resultado. Para calcularmos o valor de e3 teremos que fazer um truncamento, que também irá gerar um erro de truncamento ( ao usarmos a função x e ) no resultado obtido. Portanto, o resultado da operação de subtração entre 2 e e3 apresentará um erro que é proveniente dos erros nos valores de 2 e e3 separadamente. Em outras palavras, os erros nos valores de 2 e e3 se propagam para o resultado de 2

– e3 . Podemos concluir então que, ao se resolver um problema numericamente, a cada etapa e a cada operação realizada, devem surgir diferentes tipos de erros gerados das mais variadas maneiras, e estes erros se propagam e determinam o erro no resultado final obtido.

Representação Numérica

Introdução

A fim de realizarmos de maneira prática qualquer operação com números, nós precisamos representá-los em uma determinada base numérica. Podemos escrevê-lo na base decimal, por exemplo, que é a base mais usada atualmente pela humanidade ( graças à nossa anatomia ).

Voltemos ao número 2. O valor de 2 na base decimal pode ser escrito como 1,41 ou 1,4142 ou ainda 1,41421356237. Qual é a diferença entre essas várias formas de representar 2? RESPOSTA: A diferença é a quantidade de algarismos significativos usados em cada representação.

Em uma máquina digital, como uma calculadora ou um computador, os números não são representados na base decimal. Eles são representados na base binária, ou seja, usam o número 2 como base ao invés do número 10.

1) Converta os números da base 10 para a base 2:

2) Converta os números da base 2 para a base 10:

f) 10100 g) 10101 h) 0,10 i) 0,1j) 0,101

Ponto Fixo e Ponto Flutuante

A princípio, toda vez que escrevemos um número, deveríamos mencionar a base numérica a qual estamos nos referindo. Obviamente, isso não se faz necessário na prática, pois estamos sempre representando os números na base decimal, portanto sabemos exatamente o seu significado. Por exemplo, quando escrevemos o número 1532, o que realmente queremos dizer? Estamos dizendo que esse número representa uma quantidade equivalente a 1×1000 + 5×100 + 3×10 + 2, ou, escrevendo a base de outra

Na base binária, o mecanismo é o mesmo, porém, ao invés de potências de 10, utilizamos potências de 2. Portanto, um número binário como 1011 ( lembre-se, do ginásio, que na base binária só

Um número inteiro apresenta a chamada representação de ponto fixo, onde a posição do ponto “decimal” está fixa e todos os dígitos são usados para representar o número em si, com exceção do primeiro dígito usado para representar o sinal desse número. A figura abaixo ilustra essa representação.

Sinal Dígitos

Para um número real qualquer ( inteiro ou não inteiro ) é utilizada a representação de ponto flutuante normalizado ( ou simplesmente, representação de ponto flutuante ), que é dada pela expressão: ± (0.d1d2d3...dt) × eβ onde:

0.d1d2d3...dt é uma fração na base β, também chamada de mantissa, com 0 ≤ di ≤ β – 1, para todo i = 1,2,3,...,t e 1d0≠ sendo t o número máximo de dígitos da mantissa ( também chamado de número de algarismos significativos ) que é determinado pelo comprimento da palavra do computador; e é um expoente que varia em um intervalo dado pelos limites da máquina utilizada, assim meM−≤≤, onde m é o limite inferior e M é o limite superior da máquina. Esse tipo de representação é chamado de ponto flutuante, pois o ponto da fração “flutua” conforme o número a ser representado e sua posição é expressa pelo expoente e.

Alguns exemplos da representação de ponto flutuante podem ser vistos na tabela a seguir: Número na base decimal Base Representação em ponto flutuante Mantissa Expoente

Arredondamento em Ponto Flutuante

Introdução

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