Exercícios com gabarito - Equações diferenciais

Exercícios com gabarito - Equações diferenciais

Universidade de Brasılia Departamento de Matematica

Equacoes Diferenciais 1 Lista de Exercıcios – Semana 02 1.o/2008

1) Denote por s(t) o saldo de uma caderneta de poupanca t anos apos a sua abertura, aberta com saldo de s(0) = s0 reais. Suponha que a caderneta renda juros de 6% ao ano capitalizados continuamente, e que sejam feitas retiradas anuais de R reais. Nesse caso, o

C E a) A equacao satisfeita pelo saldo possui o fator integrante e−0,06t.

C E c) Um saldo inicial de R$ 180.0,0 e suficiente para manter as retiradas anuais para sempre.

C E d) Se o saldo inicial for de R$ 160.0,0, entao o saldo s(t) ira se anular em algum instante futuro.

C E e) Para manter as retiradas anuais por exatos 20 anos, com s(20) = 0, o saldo inicial deve ser inferior a R$ 150.0,0.

2) Em um ponto (x,y(x)) do grafico de uma funcao derivavel y(x), as retas tangente e normal tem inclinacoes dadas por y′(x) e −1/y′(x), respectivamente. Considere o caso em que y(x) tem a propriedade de que as retas normais passam todas pelo ponto (2,0).

normal a) Determine a inclinacao da reta que passa pelos pontos (2,0) e (x, y(x)).

Resposta:

b) Usando o item anterior, obtenha uma equacao diferencial satisfeita por y(x).

Resposta:

c) Determine a funcao y(x) sabendo que seu grafico passa pelo ponto (2,3). Resposta:

3) Segundo a lei de resfriamento de Newton, a temperatura de um objeto varia a uma taxa proporcional a diferenca entre a sua temperatura e a temperatura do meio ambiente. Indique por y(t) a temperatura do objeto no instante t e por T a temperatura do meio ambiente.

a) Determine a equacao diferencial satisfeita pela funcao y(t). b) Esboce o campo de direcoes da equacao acima.

c) Use o campo de direcoes do item anterior para esbocar o grafico da solucao y(t) com a condicao inicial y(0) > T. Repita o procedimento para a condicao y(0) < T.

d) Resolva a equacao do item a). Em seguida, calcule e interprete o limite lim t→∞ y(t).

4) Nos itens a seguir, resolva o PVI usando separacao de variaveis.

5) No estudo dos fogos de artifıcio, suponha que v(t) seja a velocidade de uma bomba lancada verticalmente com velocidade inicial v(0) = 50 m/s. Suponha ainda que a bomba tenha massa m = 1 kg, que a aceleracao da gravidade seja g = 10 m/s2 e que a forca de resistencia do ar seja modelada por −0,1v(t). Nessas condicoes, a resultante das forcas sobre a bomba e F = −1 × 10 − 0,1v(t) e a sua aceleracao e a(t) = v′(t). Se necessario, use as aproximacoes ln(2) = 0,7 e ln(3) = 1,1.

C E a) Usando a 2.a lei de Newton obtem-se que a aceleracao da bomba depende apenas de sua altura.

C E b) A velocidade da bomba e solucao de uma equacao diferencial que pode ser resolvida por fator integrante.

C E c) A velocidade pode ser expressa na forma v(t) = A e−0,1t +B, onde A e B sao constantes positivas.

C E d) A bomba alcanca a altura maxima em menos de 4,5 segundos.

C E e) Caso a resistencia do ar fosse desconsiderada, e a forca resultante fosse F = −10, entao a bomba iria alcancar a altura maxima em mais de 4,5 segundos.

6) Suponha que 1 g de uma substancia quımica A combine com 3 g de outra substancia B para formar o composto C, e que hajam inicialmente 50 g de A e 3 g de B. Denotando por Q(t) a quantidade de C no instante t, tem-se que Q(t)/4 correspondem a massa da substancia A e 3Q(t)/4 correspondem a de B. Assim, as quantidades remanescentes de A e B apos t segundos sao, respectivamente, 50 − Q(t)/4 e 3 − 3Q(t)/4. Suponha ainda que a taxa Q′(t) de formacao do composto C seja proporcional ao produtos das quantidades remanescentes. Nesse caso, indicando por k ou K a constante de proporcionalidade, segue-se que Q(t) satisfaz a equacao a) Esboce o campo de direcoes da equacao, indicando as solucoes de equilıbrio estavel e de equilıbrio instavel, caso existam.

b) Obtenha a solucao geral usando separacao de variaveis e fracoes parciais.

c) Determine a solucao que satisfaz a condicao inicial Q(0) = 0.

d) Calcule e interprete o valor do limite lim t→∞ Q(t)

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