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Capítulo 03. Determinantes

Chamamos de determinante a teoria desenvolvida por matemáticos dos séculos XVII e XVIII, como Leibniz e Seki Shinsuke Kowa, que procuravam uma fórmula para determinar as soluções de um “sistema linear”, assunto que estudaremos a seguir.

Esta teoria consiste em associar a cada matriz quadrada A, um único número real que denominamos determinante de A e que indicamos por det A ou colocamos os elementos da matriz A entre duas barras verticais, como no exemplo abaixo:

1. Definições

1.1. Determinante de uma Matriz de Ordem 1

Seja a matriz quadrada de ordem 1:

A = [a11] Chamamos determinante dessa matriz o número

Exemplos

1.2. Determinante de uma Matriz de Ordem 2

Seja a matriz quadrada de ordem 2:

Chamamos de determinante dessa matriz o número:

Para facilitar a memorização desse número, podemos dizer que o determinante é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária. Esquematicamente:

Exemplos

1.3. Determinante de uma Matriz de Ordem 3

Seja a matriz quadrada de ordem 3

Capítulo 03. Determinantes39

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Capítulo 03. Determinantes Chamamos determinante dessa matriz o número:

Para memorizarmos a definição de determinante de ordem 3, usamos a regra prática denominada Regra de Sarrus:

1º) Repetimos a 1o e a 2o colunas à direita da matriz.

2º) Multiplicando os termos entre si, seguindo os traços em diagonal e associando o sinal indicado dos produtos, temos:

Exercícios Resolvidos 01. Calcule o determinante da matriz:

Resolução Utilizando a regra de Sarrus, teremos:

a) Repetir a 1a e a 2a colunas:

det A = 1 · 2 · 4 + 2 · 1 · 2 + 4 · 3 · 0 – 2 · 2 · 4 +

Resposta: det A = – 28 b) Repetir a 1a e a 2a linhas:

det A = 2 · 2 · 1 + 3 · 0 · 4 + 1 · 2 · 4 – 2 · 2 · 4 +

Resposta: det A = – 28

02. Resolver em R:

Resolução

Resposta: x = 18 Leitura Complementar:

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2. Propriedades

Apresentamos, a seguir, algumas propriedades que visam a simplificar o cálculo dos determinantes:

2.1. Propriedade 1

Exemplo

2.2. Propriedade 2

Exemplo

B foi obtida trocando-se a 1ª pela 2ª linha de A. det A = ad – bc det B = bc – ad = –(ad – bc) = –det A Assim, det B = – det A

2.3. Conseqüência da Propriedade 2

Justificativa

A matriz que obtemos de A, quando trocamos entre si as duas filas (linha ou coluna) “iguais”, é igual a A. Assim, de acordo com a propriedade 2, escrevemos que det A = – det A

Assim: det A = 0

2.4. Propriedade 3

2.5. Conseqüências da Propriedade 3

Exemplo

2a) Sendo A uma matriz quadrada de ordem n, a matriz k · A é obtida multiplicando todos os elementos de A por k, então:

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