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1 INTRODUÇÃO

O desígnio do trabalho é explicitar o número de Euler, instituído por Leonhard Euler um grandioso matemático, que desenvolveu cálculos em sua época os quais, de quão importantes, são empregados até o presente.

O número de Euler é uma constante matemática que engloba cálculos de nível superior, empregado, a título de exemplo, em: Cálculo de diferenciais e integradas.

2 O NÚMERO DE EULER

O número de Euler é assim chamado em homenagem ao matemático Suiço Leonhard Euler, é à base dos logaritmos naturais.

As variantes do nome do número incluem: número de Napier, constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por JakobBernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):

E vale aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

O número também pode ser escrito como a soma da série infinita:

Aqui n! representa o fatorial de n. Pode-se ainda definir e como sendo o único número x > 0 tal que:

O número e apresenta um interesse particular porque pode-se demonstrar que

Para todo real x, exp(x) = ex (e na potência x);

Assim, por exemplo, tem-se :

ou ainda

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.

Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.

Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler :

O desenvolvimento da fração contínua de e pode ser escrito sob a forma interessante :

Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra e são desconhecidas, mas talvez seja porque e seja a primeira letra da palavra exponencial.

Tem ainda a remarcável propriedade que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural.

Ou ainda, se se escolherem números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

O Número de Euler com as primeiras 200 casas decimais:

2.1 Vida e obra

Nasceu em Basiléia, filho do pastor calvinista Paul Euler (lê-se "Óilã") e de Marguerite Brucker, filha de um pastor. Teve duas irmãs mais novas: Anna Maria e Maria Magdalena.

Pouco depois do seu nascimento, sua família mudou-se para a cidade de Riehen, onde passou a maior parte da sua infância. Desprezando seu prodigioso talento matemático, determinou que ele estudasse Teologia e seguiria a carreira religiosa. Paul Euler era um amigo da família Bernoulli, e Johann Bernoulli - que foi um dos matemáticos mais importantes da Europa - seria eventualmente uma influência no pequeno Euler.

A sua instrução formal adiantada começou na terra natal para onde foi mandado viver com a sua avó materna. Aos 14 anos matricula-se na Universidade da Basiléia, e em 1723, recebe o grau de Mestre em Filosofia com uma dissertação onde comparava Descartes com Newton. Nesta altura, já recebia, aos sábados à tarde, lições de Johann Bernoulli que rapidamente descobriu o seu talento para a matemática.

Euler nesta altura estudava teologia, grego e hebreu, pela vontade de seu pai para mais tarde se tornar pastor. Porém Johann Bernoulli resolveu intervir e convenceu Paul Euler que o seu filho estava destinado a ser um grande matemático.

Em 1726, Euler completou a sua dissertação na propagação do som, e a 1727 incorporou a competição premiada do problema da Academia de Paris, onde o problema do ano era encontrar a melhor maneira de colocar os mastros num navio. Ganhou o segundo lugar, perdendo para Pierre Bouguer, mais tarde conhecido como “o pai da arquitetura naval”. Euler, entretanto, ganharia o prêmio anual 12 vezes.

2.2 O logaritmo natural

O logaritmo natural é o logaritmo de base e, onde e é um número irracional aproximadamente igual a 2,71828... (chamado Número de Euler). É, portanto, a função inversa da função exponencial.

O logaritmo natural é definido para todos os números reais estritamente positivos x, e admite uma extensão como uma função complexa analítica em

Em termos simples, o logaritmo natural é uma função que é o expoente de uma potência de e, e aparece freqüentemente nos processos naturais (o que explica o nome "logaritmo natural"). Esta função torna possível o estudo de fenômenos que evoluem de maneira exponencial.

Ele também é chamado de logaritmo neperiano, do nome de seu « inventor », o matemático escocês John Napier (ou John Naper).

A origem do logaritmo natural foi em uma época passada, antes do invento das calculadoras eletrônicas, fazer contas de multiplicar era muito difícil (quem aprendeu a regra deve se lembrar com horror dos exercícios tipo multiplicar 77323 por 48229), porém fazer contas de somar era mais simples.

Observando-se (ver exponenciação) que , se houvesse uma tabela que transformasse cada número u no expoente x, sendo u = ax, multiplicar u por v poderia ser feito através de uma soma:

O problema então é construir essa tábua de logaritmos.

Uma das soluções encontradas foi baseada na observação de que, se x for um número pequeno:

Sendo a constante k dependente apenas de a, mas não de x.

Por exemplo, para a = 2, e para a = 10, .

A relação entre a e k é precisamente o logaritmo natural, e se escolhermos a = e, temos que k = 1, o que simplifica a montagem das tábuas de logaritmos.

3 CONCLUSÃO

Conclui-se que o referido é de grande acuidade para com o desenvolvimento da matemática em épocas onde não existiam calculadoras, e estas, na sua grande maioria, labutam cálculos através dos logaritmos naturais. É importante ressaltar que apesar de sua idade o número de Euler é ferramenta essencial em cálculos variados, ou seja, é utilizado em várias áreas da ciência.

REFERÊNCIAS

Visita, no dia 06 de abril de 2008, aos sites a seguir:

http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo_diferencial

http://pt.wikipedia.org/wiki/Constante_de_Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/F%C3%B3rmula_de_Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Identidade_de_Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Leonhard_Euler

http://pt.wikipedia.org/wiki/Limites

http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo

http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo_natural

http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler

http://www.somatematica.com.br/biograf/euler.php

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