Notação científica ? Exponenciação - Radiciação

Notação científica ? Exponenciação - Radiciação

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Notação científica

A notação científica é uma forma concisa de representar números, em especial muito grandes (100000000000) ou muito pequenos (0,00000000001). É baseado no uso de potências de 10 (os casos acima, em notação científica, ficariam: 1 · 1011 e 1 · 10-11, respectivamente).

Introdução

Observe os números abaixo:

  • 600 000

  • 30 000 000

  • 500 000 000 000 000

  • 7 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000

  • 0,0004

  • 0,00000001

  • 0,0000000000000006

  • 0,0000000000000000000000000000000000000000000000008

A representação desses números na forma convencional torna-se difícil, em especial no quarto e oitavo exemplos. O principal fator de dificuldade é a quantidade de zeros extremamente alta para a velocidade normal de leitura dos números.

Pode-se pensar que esses valores são pouco relevantes e de uso quase inexistente na vida cotidiana. Mas este pensamento é incorreto. Em áreas como a Física e a Química esses valores são frequentes. Por exemplo, a maior distância observável do universo mede cerca de 740 000 000 000 000 000 000 000 000 metros, e a massa de um próton é aproximadamente 0,00000000000000000000000000167 gramas.

Para valores como esses, a notação científica é mais compacta. Outra vantagem da notação científica é que ela sempre pode representar adequadamente a quantidade de algarismos significativos. Por exemplo, a distância observável do universo, do modo que está escrito, sugere a precisão de 30 algarismos significativos. Mas isso não é verdade (seria coincidência demais 25 zeros seguidos numa aferição).

História

A primeira tentativa conhecida de representar números demasiadamente extensos foi empreendida pelo matemático e filósofo grego Arquimedes, e descrita em sua obra O Contador de Areia[1], no século III a.C.. Ele desenvolveu um método de representação numérica para estimar quantos grãos de areia existiam no universo. O número estimado por ele foi de 1 · 1063 grãos.

Foi através da notação científica que foi concebido o modelo de representação de números reais através de ponto flutuante. Essa ideia foi proposta independentemente por Leonardo Torres y Quevedo (1914), Konrad Zuse (1936) e George Robert Stibitz (1939). A codificação em ponto flutuante dos computadores atuais é basicamente uma notação científica de base 2.

A programação com o uso de números em notação científica consagrou uma representação sem números subscritos. 1,785 · 105 e 2,36 · 10-14 são representados respectivamente por 1.785E5 e 2.36E-14 (como a maioria das linguagens de programação são baseadas na língua inglesa, as vírgulas são substituídas por pontos).

Descrição

Um número escrito em notação científica segue o seguinte modelo:

m · 10 e

O número m é denominado mantissa e e a ordem de grandeza.

Notação científica padronizada

A definição básica de notação científica permite uma infinidade de representações para cada valor. Mas a notação científica padronizada inclui uma restrição: a mantissa deve ser maior ou igual a 1 e menor que 10. Desse modo cada número é representado de uma única maneira.

Como transformar

Para transformar um número qualquer para a notação científica padronizada devemos deslocar a vírgula obedecendo o príncípio de equlíbrio.

Vejamos o exemplo abaixo:

253 756,42

A notação científica padronizada exige que a mantissa esteja entre 1 e 10. Nessa situação, o valor adequado seria 2,5375642 (observe que a sequência de algarismos é a mesma, somente foi alterada a posição da vírgula). Para o exponente, vale o princípio de equilíbrio: "Cada casa decimal que diminui o valor da mantissa aumenta o expoente em uma unidade, e vice-versa".

Nesse caso, o expoente é 5.

Observe a transformação passo a passo:

253 756,42 = 25 375,642 · 101 = 2 537,5642 · 102 = 253,75642 · 103 = 25,375642 · 104 = 2,5375642 · 105

Um outro exemplo, com valor menor que 1:

0,0000000475 = 0,000000475 · 10-1 = 0,00000475 · 10-2 = 0,0000475 · 10-3 = 0,000475 · 10-4 = 0,00475 · 10-5 = 0,0475 · 10-6 = 0,475 · 10-7 = 4,75 · 10-8

Desse modo, os exemplos acima ficarão:

  • 6 · 105

  • 3 · 107

  • 5 · 1014

  • 7 · 1033

  • 4 · 10-4

  • 1 · 10-8

  • 6 · 10-16

  • 8 · 10-49

Operações

Adição e subtração

Para somardoisnúmeros em notação científica, é necessário que o expoente seja o mesmo. Ou seja, um dos valores deve ser transformado para que seu expoente seja igual ao do outro. A transformação segue o mesmo princípio de equilíbrio. O resultado possivelmente não estará na forma padronizada, sendo convertido posteriormente.

Exemplos:

4,2 · 107 + 3,5 · 105 = 4,2 · 107 + 0,035 · 107 = 4,235 · 107

6,32 · 109 - 6,25 · 109 = 0,07 · 109 (não padronizado) = 7 · 107 (padronizado)

Multiplicação

Multiplicamos as mantissas e somamos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:

Exemplos:

(6,5 · 108) . (3,2 · 105) = (6,5 · 3,2) · 108+5 = 20,8 · 1013 (não padronizado) = 2,08 · 1014 (convertido para a notação padronizada)

(4 · 106) · (1,6 · 10-15) = (4 · 1,6) · 106+(-15) = 6,4 · 10-9 (já padronizado sem necessidade de conversão

Divisão

Dividimos as mantissas e subtraímos os expoentes de cada valor. O resultado possivelmente não será padronizado, mas pode ser convertido:

Exemplos:

(8 · 1017) / (2 · 109) = (8 /2) . 1017-9 = 4 · 108 (padronizado)

(2,4 · 10-7) / (6,2 · 10-11) = (2,4 /6,2) · 10-7-(-11) ≈ 0,3871 · 104 (não padronizado) = 3,871 · 103 (padronizado)

Exponenciação

A mantissa é elevada ao expoente externo e o expoente da base dez é multiplicado pelo expoente externo.

(2 · 106)4 = (24) · 106 · 4 = 16 · 1024 = 1,6 · 1025 (padronizado)

Radiciação

Antes de fazer a radiciação é preciso transformar um expoente para um valor múltiplo do índice. Após feito isso, o resultado é a radiciação da mantissa multiplicada por dez elevado à razão entre o expoente e o índice do radical.

Exponenciação

Exponenciação ou potenciação é uma operação aritmética que indica a multiplicação de uma dada base por ela mesma tantas vezes quanto indicar o expoente, e é a operação matemática oposta à radiciação.

Nesse caso, a base seria a e o expoenten, sendo n um número natural maior do que 1.

A exponenciação é representada por um número e o expoente sobrescrito (por exemplo, 2³), ou com um circunflexo separando a base do expoente (2^3).

Definindo exponenciação

As potências são explicadas em uma série de passos envolvendo matemática básica. Todos esses passos se baseiam na generalização das leis seguintes, que podem ser facilmente provadas para n e m inteiros positivos:

Expoente zero

Para que

continue valendo para n = 0, devemos ter:

Expoentes inteiros negativos

Para que

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