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Vetores

Como propósitodegarantirumamaiorclarezaparao leitor,a abordagemdoestudode vetaresseráfeitapormeiodedoistratamentosquesecompletam:geométricoe algébri- co.A grandevantagemdaabordagemgeométricaé depossibilitarpredominantementea visualizaçãodosconceitosquesãoapresentadosparaestudo,o quefavoreceseuentendimento.Posteriormente,osmesmosassuntoseaindaoutrosserãoabordadossobopontode vistaalgébrico,maisformaleabstrato.

oTRATAMENTO GEOMÉTRICO

Noção Intuitiva Existemdoistiposdegrandezas:asescalareseasvetoriais.As escalaressãoaquelasque ficamcompletamentedefinidasporapenasumnúmeroreal(acompanhadodeumaunidade adequada).Comprimento,área,volume,massa,temperatura,densidade,sãoexemplosde grandezasescalares.Assim,quandodizemosqueumamesatem3mdecomprimento,queo volumedeumacaixaéde10dm3ouqueatemperaturaambienteéde30°C,estamosdeterminandoperfeitamenteestasgrandezas.

Existem,noentanto,grandezasquenãoficamcompletamentedefinidasapenaspelo seumódulo,ouseja,pelonúmerocomsuaunidadecorrespondente.Falamosdasgrandezas vetoriais,queparaseremperfeitamentecaracterizadasnecessitamosconhecerseumódulo (oucomprimentoou intensidade),suadireçãoe seusentido.Força,velocidade,aceleração,sãoexemplosdegrandezasvetoriais.

Antesdeapresentarumexemplomaispalpáveldegrandezavetorial,precisamoster bempresenteasidéiasdedireçãoedesentido.A Figura1.1(a)apresentatrêsretas.A reta fi determina,oudefine,umadireção.A retar2determinaoutradireção,diferentedadireçãoderI. Já aretar3,porserparalelaarj, possuiamesmadireçãoderI. Assima noção dedireçãoédadaporumaretaeportodasasquelhesãoparalelas.Querdizer,retasparalelastêmamesmadireção.

2 Vetarese GeometriaAnalítica

Na Figura1.1(b)adireçãoédefinidapelaretaquepassapelospontosA eB. O deslocamentodeumapessoanessamesmadireçãopodeserfeitodeduasmaneiras:nosentido deA paraB ounosentidocontrário,deB paraA. Portanto,acadadireçãopodemosassociardoissentidos.Ficaclaroentãoquesópodemosfalarem"sentidosiguais"ouem"sentidoscontrários"casoestejamosdiantedamesmadireção.

rI------------- r3 -------------

(a) A• (b)

Figura 1.1

Agoravamosaumexemplo.Consideremosumaviãocomumavelocidadeconstante

de400kmIh,deslocando-separanordeste,sobumângulode40°(nanavegaçãoaérea,as direçõessãodadaspeloânguloconsideradoapartirdonorte(N), emsentidohorário).Esta grandeza(velocidade)seriarepresentadaporumsegmentoorientado(umaflecha- Figura 1.2),sendoo seumódulodadopelocomprimentodosegmento(nocaso,4cm,ecada1cm correspondea 100kmIh),comadireçãoeo sentidodefinidospeloângulode400.O senti- doseráindicadoporumasetanaextremidadesuperiordosegmento.

Observemosquenocasodeo ânguloser2200(400+1800),adireçãocontinuasendo a mesma,porém,o sentidoéo oposto.Esteexemplodegrandezavetorialsugerea noção devetor.

Figura 1.2

Abstendo-sedaidéiadegrandezasvetoriais,diríamosqueo vetoré representado porumsegmentoorientado(umsegmentoestáorientadoquandoneleseescolheumsentidodepercurso,consideradopositivo).

Capo 1 Vetores 3

Dois ou maissegmentosorientadosdemesmocomprimento,mesmadireção(são paralelosoucolineares)emesmosentidosãorepresentantesdeummesmovetor.Na Figura1.3todosos segmentosorientadosparalelos,demesmosentidoemesmocomprimento deAB, representamomesmovetor,queseráindicadopor

AB ou B-A ondeA éaorigemeB aextremidadedosegmento.O vetortambémcostumaserindicadoporumaletraminúsculaencimadaporumaflecha,talcomov .

Figura 1.3

Quandoescrevemosv = AB (Figura1.4),estamosafIrmandoqueo vetorv édeterminadopelosegmentoorientadoAB. Porém,qualqueroutrosegmentodemesmocom-

primento,mesmadireçãoe mesmosentidodeAB representatambémo mesmovetorv.

Assimsendo,cadapontodoespaçopodeserconsideradocomoorigemdeumsegmentoorientadoqueérepresentantedovetorv. Estaéarazãodeovetortambémserchamadovetor livre,nosentidodequeorepresentantepodetersuaorigemcolocadaemqualquerponto.

Ainda,dadosumvetorv = AB eumpontoP, existeumsópontoQ (Figura1.5)talqueo segmento orientadoPQ temo mesmocomprimento,a mesma direçãoe o mesmosentidodeAB. Portanto,temos- - tambémv = PQ, o quevemreforçaro fatodeque umrepresentantede v podetersuaorigememqualquerpontoP doespaço.

Figura 1.5

4 Vetorese GeometriaAnalítica

O módulo,adireçãoeo sentidodeumvetorv éomódulo,adireçãoeo sentidode- - - qualquerumdosseusrepresentantes.Indica-seomódulodev porIv Iou11viI.

CasosParticularesdeVetores

o mesmosentido,enquantou e v, têmsentidocontrá-- rio aodew.

- - a) Dois vetoresu e v sãoparalelos, e indica-sepor- - uliv , seosseusrepresentantestiverema mesmadire-- - - -- ção.Na Figura1.6,tem-seulivliw , ondeu e v têm

-b) Dois vetoresu e v sãoiguais,e indica-sepor u=v, setiveremiguaisomódulo,adireçãoeo sentido.

c) Qualquerpontodoespaçoérepresentantedovetorzero(ouvetornulo),queéindicado- - por O ou A (aorigemcoincidecoma extremidade).Pelofatodestevetornãopos- suirdireçãoesentidodefinidos,considera-seovetorzeroparaleloaqualquervetor.

d) A cadavetornão-nulov correspondeum vetoroposto- -

~v, demesmomóduloemesmadireçãodev, porém,de- - -

sentidocontrário(Figura1.7).Se v=AB , ovetorBA é- -- oopostodeAB, istoé, BA =-AB .

- - - A cadavetor v, v *- O, é possívelassociardois

IuI=1-uI= 1.O vetoru quetemo mesmosentido- - - de v échamadoversordev.Na verdadeo vetoru

Figura 1.8- nãoé versorsó dev , massimdetodosos vetores paralelosedemesmosentidodev emedidoscomamesmaunidade.

f) Dois vetoresu e v (Figura 1.9(a» são- - ortogonais,eindica-sepor u 1- v , seal-- gum representantede u formar ânguloretocomalgumrepresentantede v .

A Figura 1.9(b)apresentadoisrepre-- - sentantesde u e v, comorigemnoponto

A, formandoânguloreto. Considera-seo vetor zero ortogonala qualquervetor.

g) Dois ou maisvetoressãocoplanaresse existir algumplano ondeestesvetores estãorepresentados.É importanteobser-- - var que dois vetoresu e v quaisquer sãosemprecoplanares,poisbastaconsiderarumpontoP no espaçoe, comori-

gemnele,traçarosdoisrepresentantesde- - u e v pertencendoao plano1t (Figura

1.10)quepassaporaqueleponto.

(b) Figura 1.9

- - No casode u e v seremnãoparaleloscomonestafigura,estesvetoresdeterminam a"direção"doplano1t,queéamesmadetodososplanosquelhesãoparalelos. Trêsvetorespoderãosercoplanares(Figura1.1(a» ounão(Figura1.1(b».

(a) (b) Figura 1.1

6 Vetorese GeometriaAnalítica

Exemplos 1) A Figura1.12éconstituídadenovequadradoscongruentes(demesmotamanho).De- cidirseéverdadeiraoufalsacadaumadasseguintesafIrmações: A B C D

p O L a)AB =OF h)AC 1 HI o)PN .1AM- --- - -b) AM = PH i)JO 1 LD p)IACI =IFPI

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