Baixe Lajes maciças de concreto armado e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu N. Carvalho Maringá, 2007 Sumário 1 LAJES...........................................................................................................................1 1.1 Introdução .............................................................................................................1 1.2 Vão teórico de lajes ou placas - (NBR-6118 - item 14.7.2.2.) .............................1 1.3 Ações usuais em lajes de edifícios........................................................................2 1.4 Classificação .........................................................................................................3 1.5 Lajes Armadas em Duas Direções ........................................................................4 1.5.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas ...............................................4 1.5.2 Determinação dos Momentos Fletores..........................................................6 1.5.3 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz.................10 1.6 Lajes Armadas em Uma Direção ........................................................................16 1.6.1 Determinação dos esforços..........................................................................16 1.7 A altura útil e a altura mínima ............................................................................18 1.7.1 Altura útil mínima .......................................................................................21 1.8 Determinação das flechas em lajes e seus valores limites ..................................24 1.8.1 Flecha imediata (elástica)............................................................................26 1.8.2 Flecha diferida no tempo.............................................................................29 1.8.3 Exemplo de aplicação: determinar as alturas para as lajes abaixo..............30 1.9 Extensão e qualidade dos apoios. .......................................................................31 1.10 Furos e abertura em lajes - NBR 6118 - item 13.2.5.2 .....................................32 2 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. ............................................34 2.1 Dispositivos auxiliares de cálculo.......................................................................34 2.2 Determinação dos esforços. ................................................................................35 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados) ..........................39 2.2.2 Compensação dos momentos fletores .........................................................39 2.3 Dimensionamento e detalhamento da armadura.................................................41 2.3.1 Armaduras mínimas ....................................................................................42 2.4 Detalhes de Formas e armação de lajes ..............................................................47 2.5 Cisalhamento em lajes ........................................................................................50 3 Anexo 1 - Momentos de Engastamento Perfeito........................................................51 Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 3 1.4 Classificação De acordo com a relação entre os vãos, uma laje pode ser classificada como: Laje Armada em Uma Direção, quando a relação entre os lados for maior que 2, ou Laje Armada em Duas Direções (Armada em Cruz), quando a relação entre os lados for menor ou igual a 2. Vamos entender melhor esta classificação e porque o 2 como divisor, analisemos como se realiza a transferência de cargas para os apoios, em uma grelha. A figura abaixo apresenta duas grelhas, simplesmente apoiadas, sendo uma de vãos ℓ1=ℓ2 e a outra com ℓ3=2ℓ2, ambas submetidas a uma carga concentrada “P” aplicada no cruzamento das vigas (“nó”, cruzamento da “longarina” com a “transversina”). Figura 1.1 – Grelhas submetidas à ação de uma carga concentrada. Na grelha da esquerda todas as reações são iguais a 1/4 da carga “P” enquanto na grelha da direita o cálculo nos fornece 1/18 P para as reações do lado maior e 8/18 P para as reações do lado menor, ou seja, para os vão iguais há uma transferência da carga na razão de 50% em cada direção e, para ℓ3 = 2ℓ2 aproximadamente 11% da carga é transferida na direção do vão maior e 89% na direção do vão menor. À medida que a relação entre os vãos aumenta (ℓ3 >> ℓ2) maior será a transferência de carga para os apoios do vão menor, ou seja, para uma relação de vãos entre 1 e 2 tem-se uma transferência bidirecional de cargas e para relação de vãos maior do que 2 tende-se para uma transferência unidirecional das cargas A transferência bidirecional de cargas é típica dos elementos bidimensionais (as lajes) enquanto a transferência unidirecional das cargas é típica dos elementos unidimensionais (as vigas). Sendo "r", a relação entre os vãos, vamos convencionar: • r > 2 → Laje armada em uma direção • r ≤ 2 → Lajes armada em duas direções (em Cruz) P P ℓ2 ℓ1 ℓ3 ℓ1 = ℓ2 ℓ3 = 2 ℓ2 DEC - CTC - UEM 4 1.5 Lajes Armadas em Duas Direções 1.5.1 Distribuição das Cargas - Teoria das Grelhas O cálculo aproximado e feito supondo-se a laje composta por uma série de faixas de 1,0 m de largura, independentes entre si, submetidas a uma carga suposta uniformemente distribuída.Sendo "p" a carga por metro quadrado que atua na laje, temos inicialmente que parte desta carga "p" atua em uma direção e, a outra parte, na outra direção. x yp p p= + 1.1 A determinação dos quinhões (px e py ) é feita admitindo-se a Teoria das Grelhas, a partir da hipótese de que a laje é composta por vigas fictícias, independentes entre si, de 1,0 m de largura. Para a laje Armada em Cruz, suposta isolada e apoiada em seus quatro lados, conforme a figura abaixo, tem-se os seguintes valores para as flechas, em cada direção: Na figura abaixo foram adotados os eixos horizontal e vertical (x, y) posteriormente será adotada uma convenção própria para adotá-los. 45 . 384 x x x p lf EI = 1.2 45 . 384 y y y p l f EI = 1.3 como se trata de uma grelha x yf f= 1.4 4 4. .x x y yp l p l= 1.5 Figura 1.2 – Vigas fictícias em uma laje armada em cruz. e dessa forma obtém-se os quinhões de carga para as direções x e y: 4 4 4 y x x y l p p l l = + 4 4 4 x y x y lp p l l = + 1.6 px py ℓx ℓy fx fy y x Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 5 No caso de Lajes Continuas Armadas em Cruz, o cálculo dos quinhões de carga recai no caso das Lages isoladas, supondo que cada viga ou apoio interno funcione como engastamento perfeito, e cada viga ou apoio externo funcione como apoio simples. Mas é preciso ter cuidado com esta explicação acima. Ela é muito boa para em uma planta de forma determinar de imediato o tipo de laje, mas, é preciso entender que a laje não está engastada na viga. Um painel de laje normalmente é engastado em outro painel de laje, ou seja, a continuidade, o engastamento, se dá entre lajes. Nada impede o engastamento de uma laje em uma viga, alias, esta é uma situação característica das lajes de marquize, mas nesse caso, cuidado!!!, a viga passa a sofrer a ação de momento torçor e precisa ser dimensionada e armada para esta solicitação. O exposto acima pode ser extrapolado para as vigas. Em uma viga contínua, a continuidade, o engastamento, ocorre entre os tramos da viga, sem a participação dos apoios que nesse caso seriam os pilares. Também para as vigas, nada impede que sejam engastadas nos pilares, mas se assim o fizéssemos, teríamos um pórtico. Alterando-se a vinculação de cada um dos apoios, por engastamento perfeito, tem-se um total de 6 (seis) tipos de lajes armadas em cruz: Laje "Tipo 1" com todas as bordas simplesmente apoiadas, Laje "Tipo 2" com uma borda engastada, Laje "Tipo 3" com duas bordas, adjacentes, engastadas, Laje "Tipo 4" com duas bordas, opostas, engastadas, Laje "Tipo 5" com três bordas engastadas, Laje "Tipo 6" com todas as bordas engastadas. Observe que os quinhões de carga determinados anteriormente correspondem à laje “Tipo 1”. Para a determinação dos quinhões de carga para os demais tipos, em cada caso deve-se usar as flechas correspondentes à vinculação das vigas fictícias. A seguir são apresentadas as equações das flechas para vigas submetidas a cargas uniformemente distribuídas, considerando os três tipos de vinculações: simplesmente apoiadas, apoiadas em uma borda e engastadas na outra e bi-engastadas. 6 4 5 1 2 3 DEC - CTC - UEM 8 2. . x x x x x pM i k α = ⇒ ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 2. x x x pM m = 1.15 2 2 2. . . .x x x x x x x xx x p k p pX X j nj k = − = − = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.16 2 2 2 2 2 2 2 . . . . . . . . . y y x x y y yy y yx y y y y x y y p p p pM M mi i i k k kα α α λ = = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ 1.17 2 2 2 2 2 2 . . . .. . y y x x x y y y x yy y p k p pX X j nj k λ = − = − = − ⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 1.18 onde: jx e jy assumem os valores 8 ou 12, de acordo com a vinculação, engaste-apoio ou engaste-engaste. Os coeficientes de Marcus (αx e αy) são dados pelas expressões abaixo: 2 2 20. .20.1 1 3.3. . yx x y yx kk ii λ α α λ = − = − 1.19 Obs.: Apenas os momentos fletores positivos são corrigidos pelos coeficientes αx e αy. Os momentos fletores negativos NÃO!!! Em resumo: 2 2 2 2. . . .x x x x x y x y x y x y p p p pM M X X m m n n = = = − = − sendo, os coeficientes mx, my, nx, e ny, tabelados em função de λ. Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 9 TABELA DE MARCUS Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny 0,50 141 45 59 137 50 50 146 71 108 36 0,52 126 43 52 124 48 45 216 68 94 34 0,54 113 42 46 112 47 40 192 65 83 32 0,56 102 40 41 103 46 36 171 62 73 31 0,58 93 39 36 96 45 33 153 59 65 29 0,60 85 38 33 88 45 31 139 57 58 28 0,62 79 37 30 82 44 28 126 56 53 27 0,64 73 37 27 76 44 26 115 54 48 26 0,66 68 36 25 71 44 25 106 53 44 25 0,68 63 35 23 67 44 23 98 52 40 25 0,70 59 35 21 64 44 22 91 51 37 24 0,72 56 35 20 60 44 21 84 50 34 24 0,74 52 35 19 58 45 20 79 49 32 23 0,76 50 34 18 55 45 19 74 49 30 23 0,78 47 34 17 53 46 18 70 49 28 23 0,80 45 34 16 50 46 18 66 48 27 23 0,82 43 34 15 49 47 17 63 48 25 23 0,84 41 34 14 47 48 17 60 48 24 23 0,86 39 35 14 45 48 16 57 48 23 23 0,88 37 35 13 44 49 16 55 48 22 23 0,90 36 35 13 42 50 16 53 49 21 23 0,92 34 35 12 41 51 15 51 49 20 23 0,94 33 36 12 40 52 15 49 49 20 23 0,96 32 36 12 39 53 15 47 50 19 23 0,98 31 36 11 38 55 15 46 50 19 24 1,00 27 27 30 37 11 37 37 16 16 37 56 14 44 51 18 24 56 56 24 24 1,02 26 27 29 37 11 36 37 15 16 37 57 14 43 51 18 24 54 56 23 24 1,04 25 27 28 38 11 34 37 15 16 36 58 14 42 52 17 25 52 56 22 24 1,06 24 27 27 38 11 33 37 14 16 35 60 14 41 52 17 25 50 56 22 24 1,08 24 27 27 39 10 32 37 14 16 35 61 14 40 53 16 26 48 56 21 24 1,10 23 27 26 39 10 31 38 13 16 34 63 14 39 54 16 26 47 57 20 24 1,12 22 27 25 40 10 30 38 13 16 34 64 14 38 55 16 26 45 57 20 25 1,14 21 27 25 41 10 29 38 13 17 33 66 13 37 56 16 27 44 57 19 25 1,16 21 27 24 41 10 28 38 12 17 33 67 13 37 57 15 27 43 58 19 25 1,18 20 27 24 42 10 28 39 12 17 32 69 13 36 58 15 28 42 58 18 25 1,20 19 27 23 43 10 27 39 12 17 32 71 13 35 59 15 29 41 59 18 26 1,22 19 27 23 43 9 26 39 12 17 32 72 13 35 60 15 29 40 59 17 26 1,24 18 27 22 44 9 26 40 11 18 31 74 13 34 61 15 30 39 60 17 26 1,26 18 27 22 45 9 25 40 11 18 31 76 13 34 62 14 30 38 61 17 27 1,28 17 29 22 46 9 25 40 11 18 31 78 13 33 63 14 31 38 62 16 27 1,30 17 29 21 47 9 24 41 11 18 30 80 13 33 64 14 32 37 62 16 27 1,32 17 29 21 47 9 24 41 11 19 30 82 13 32 65 14 32 36 63 16 28 1,34 16 29 21 48 9 23 42 10 19 30 84 13 32 67 14 33 36 64 16 28 1,36 16 29 21 49 9 23 42 10 19 30 86 13 32 68 14 34 35 65 16 29 1,38 16 30 20 50 9 22 43 10 19 29 88 13 31 69 14 35 35 66 15 29 1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30 DEC - CTC - UEM 10 TABELA DE MARCUS - continuação Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ mx my mx my nx mx my nx ny mx my nx mx my nx ny mx my nx ny 1,40 15 30 20 51 9 22 43 10 20 29 90 13 31 70 14 35 34 67 15 30 1,42 15 30 20 52 9 22 44 10 20 29 92 13 31 72 13 36 34 68 15 30 1,44 15 30 20 53 9 21 45 10 20 29 94 13 30 73 13 37 33 69 15 31 1,46 14 31 19 54 9 21 45 10 21 29 96 13 30 75 13 38 33 70 15 31 1,48 14 31 19 55 9 21 46 10 21 28 98 13 30 76 13 39 32 71 15 32 1,50 14 31 19 56 9 21 46 10 22 28 101 12 30 78 13 40 32 72 14 32 1,52 14 32 19 57 9 20 47 9 22 28 103 12 29 79 13 40 32 73 14 33 1,54 13 32 19 58 9 20 48 9 22 28 105 12 29 81 13 41 31 74 14 34 1,56 13 32 19 60 9 20 48 9 23 28 108 12 29 82 13 42 31 76 14 34 1,58 13 33 18 61 9 20 49 9 23 28 110 12 29 84 13 43 31 77 14 35 1,60 13 33 18 62 8 19 50 9 24 28 113 12 29 86 13 44 31 78 14 35 1,62 13 33 18 63 8 19 51 9 24 28 115 12 29 87 13 45 30 79 14 36 1,64 13 34 18 64 8 19 51 9 24 27 118 12 28 89 13 46 30 81 14 37 1,66 12 34 18 66 8 19 52 9 25 27 120 12 28 91 13 47 30 82 14 37 1,68 12 34 18 67 8 19 53 9 25 27 123 12 28 93 13 48 30 84 14 38 1,70 12 35 18 68 8 19 54 9 26 27 125 12 28 94 13 49 29 85 13 39 1,72 12 35 18 69 8 18 55 9 26 27 128 12 28 96 13 50 29 86 13 40 1,74 12 36 17 71 8 18 55 9 27 27 131 12 28 98 13 51 29 88 13 40 1,76 12 36 17 72 8 18 56 9 27 27 134 12 28 100 13 52 29 89 13 41 1,78 12 37 17 73 8 18 57 9 28 27 136 12 27 102 13 53 29 91 13 42 1,80 11 37 17 75 8 18 58 9 28 27 139 12 27 104 13 54 29 92 13 43 1,82 11 38 17 76 8 18 59 9 29 27 142 12 27 106 13 55 28 94 13 43 1,84 11 38 17 77 8 18 60 9 29 27 145 12 27 108 13 57 28 96 13 44 1,86 11 39 17 79 8 18 61 9 30 26 148 12 27 110 13 58 28 97 13 45 1,88 11 39 17 80 8 18 62 9 31 26 151 12 27 112 12 59 28 99 13 46 1,90 11 40 17 82 8 17 63 9 31 26 154 12 27 114 12 60 28 100 13 47 1,92 11 40 17 83 8 17 64 9 32 26 157 12 27 116 12 61 28 102 13 47 1,94 11 41 17 85 8 17 65 9 32 26 160 12 27 118 12 62 28 104 13 48 1,96 11 41 17 86 8 17 66 9 33 26 163 12 27 120 12 64 27 106 13 49 1,98 11 42 17 88 8 17 67 9 33 26 166 12 27 122 12 65 27 107 13 50 2,0 11 42 16 89 8 17 68 9 34 26 168 12 27 124 12 66 27 109 13 51 1.5.3 Determinação das Reações de Apoio - Lajes armadas em Cruz A NBR 6118, item 14.7.6, permite o cálculo das reações de apoio de lajes maciças retangulares com cargas uniformemente distribuídas, considerando-se para cada apoio carga correspondente aos triângulos e trapézios obtidos, traçando-se a partir dos vértices, na planta da laje, retas inclinadas de: • 45º entre dois apoios do mesmo tipo • 60º a partir do apoio engastado quando o outro for livremente apoiado • 90º a partir do apoio quando a borda vizinha for livre. Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 13 CÁLCULO DAS REAÇÕES DE APOIO NBR 6118 - item 14.7.6 Tipo de Laje λ kx k’x ky k’y 1 λ≥1,00 1,000 0,500 − λ 0,500 λ 2A λ≤0,73 0 500, λ 0 865, λ 1,000 − 0682λ 2B λ≥0,73 0 730 0 267 , , − λ 1 270 0 463 , , − λ 0,365 λ 3 λ≥1,00 0 730 0 365 , , − λ 1 270 0 635 , , − λ 0 365, λ 0 635, λ 4A λ≤0,58 0 865, λ 1 000 0865, − λ 4B λ≥0,58 1 000 0 290 , , − λ 0 290, λ 5A λ≥0,79 1 000 0 395 , , − λ 0 290, λ 0 500, λ 5B λ≤0,79 0 635, λ 0 730 0463, − λ 1 270 0807, − λ 6 λ≥1,00 1 000 0 500 , , − λ 0 500, λ ' ' ' '. .. .. . . . 2 2 2 2 y yx x x x y y x x y y p pp pV k V k V k V k= = = = y Ky K’x K’x Ky y Ky K’x K’x Ky y Ky Kx K’x Ky x Kx Ky Ky Kx y Ky Kx K’x Ky x K’x Ky K’y Kx x K’x Ky K’y K’x x K’x Ky K’y K’x x K’x K’y K’y K’x DEC - CTC - UEM 14 REAÇÕES DE APOIO Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ kx ky kx k’x ky kx k’x ky k’y k’x ky k’x ky k’y k’x k’y 0,50 0,25 0,43 0,66 0,43 0,57 0,32 0,50 0,87 0,52 0,26 0,45 0,65 0,45 0,55 0,33 0,49 0,85 0,54 0,27 0,47 0,63 0,47 0,53 0,34 0,48 0,83 0,56 0,28 0,48 0,62 0,48 0,52 0,36 0,47 0,82 0,58 0,29 0,50 0,60 0,50 0,50 0,37 0,46 0,80 0,60 0,30 0,52 0,59 0,52 0,48 0,38 0,45 0,79 0,62 0,31 0,54 0,58 0,53 0,47 0,39 0,44 0,77 0,64 0,32 0,55 0,56 0,55 0,45 0,41 0,43 0,75 0,66 0,33 0,57 0,55 0,56 0,44 0,42 0,42 0,74 0,68 0,34 0,59 0,54 0,57 0,43 0,43 0,42 0,72 0,70 0,35 0,61 0,52 0,59 0,41 0,44 0,41 0,71 0,72 0,36 0,62 0,51 0,60 0,40 0,46 0,40 0,69 0,74 0,37 0,64 0,49 0,61 0,39 0,47 0,39 0,67 0,76 0,38 0,66 0,48 0,62 0,68 0,48 0,38 0,66 0,78 0,39 0,68 0,47 0,63 0,37 0,50 0,37 0,64 0,80 0,40 0,69 0,46 0,64 0,36 0,51 0,36 0,63 0,82 0,40 0,71 0,45 0,65 0,35 0,52 0,35 0,61 0,84 0,41 0,72 0,43 0,65 0,35 0,53 0,35 0,60 0,86 0,42 0,73 0,42 0,66 0,34 0,54 0,34 0,58 0,88 0,43 0,74 0,41 0,67 0,33 0,55 0,33 0,57 0,90 0,43 0,76 0,41 0,68 0,32 0,56 0,32 0,60 0,92 0,44 0,77 0,40 0,68 0,32 0,57 0,32 0,54 0,94 0,45 0,78 0,39 0,69 0,31 0,58 0,31 0,53 0,96 0,45 0,79 0,38 0,70 0,30 0,59 0,30 0,52 0,98 0,46 0,80 0,37 0,70 0,30 0,60 0,30 0,51 1,00 0,50 0,50 0,46 0,81 0,37 0,36 0,63 0,37 0,64 0,71 0,29 0,60 0,29 0,50 0,50 0,50 1,02 0,51 0,49 0,47 0,82 0,36 0,37 0,65, 0,36 0,63 0,72 0,28 0,61 0,28 0,49 0,51 0,49 1,04 0,52 0,48 0,47 0,82 0,35 0,38 0,66 0,35 0,62 0,72 0,28 0,62 0,28 0,48 0,52 0,48 1,06 0,53 0,47 0,48 0,83 0,34 0,39 0,67 0,34 0,61 0,73 0,27 0,63 0,27 0,47 0,53 0,47 1,08 0,54 0,46 0,48 0,84 0,34 0,39 0,68 0,34 0,59 0,73 0,27 0,63 0,27 0,46 0,54 0,46 1,10 0,55 0,45 0,49 0,85 0,33 0,40 0,69 0,33 0,58 0,74 0,26 0,64 0,26 0,45 0,55 0,45 1,12 0,55 0,45 0,49 0,86 0,33 0,40 0,70 0,33 0,57 0,74 0,26 0,65 0,26 0,45 0,55 0,45 1,14 0,56 0,44 0,50 0,86 0,32 0,41 0,71 0,32 0,56 0,75 0,25 0,65 0,25 0,44 0,56 0,44 1,16 0,57 0,43 0,50 0,87 0,31 0,42 0,72 0,31 0,55 0,75 0,25 0,66 0,25 0,43 0,57 0,43 1,18 0,58 0,42 0,50 0,88 0,31 0,42 0,73 0,31 0,54 0,75 0,25 0,67 0,25 0,42 0,58 0,42 1,20 0,58 0,42 0,51 0,88 0,30 0,43 0,74 0,30 0,53 0,76 0,24 0,67 0,24 0,42 0,58 0,42 1,22 0,59 0,41 0,51 0,89 0,30 0,43 0,75 0,30 0,52 0,76 0,24 0,68 0,24 0,41 0,59 0,41 1,24 0,60 0,40 0,51 0,90 0,29 0,44 0,76 0,29 0,51 0,77 0,23 0,68 0,23 0,40 0,60 0,40 1,26 0,60 0,40 0,52 0,90 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,40 0,60 0,40 1,28 0,61 0,39 0,52 0,91 0,29 0,44 0,77 0,29 0,50 0,77 0,23 0,69 0,23 0,39 0,61 0,39 1,30 0.62 0,38 0,52 0,91 0,28 0,45 0,78 0,28 0,49 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,38 1,32 0,62 0,38 0,53 0,92 0,28 0,45 0,79 0,28 0,48 0,78 0,22 0,70 0,22 0,38 0,62 0,38 1,34 0,63 0,37 0,53 0,92 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,78 0,22 0,71 0,22 0,37 0,63 0,37 1,36 0,63 0,37 0,53 0,93 0,27 0,46 0,80 0,27 0,47 0,79 0,21 0,71 0,21 0,37 0,63 0,37 1,38 0,64 0,36 0,54 0,93 0,26 0,47 0,81 0,26 0,46 0,79 0,21 0,71 0,21 0,36 0,64 0,36 1,40 0,64 0,36 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,79 0,21 0,72 0,21 0,36 0,64 0,36 Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 15 REAÇÕES DE APOIO - CONTINUAÇÃO Tipo 1 Tipo 2 Tipo 3 Tipo 4 Tipo 5 Tipo 6 λ kx ky kx k’x ky kx k’x ky k’y k’x ky k’x ky k’y k’x k’y 1,42 0,65 0,35 0,54 0,94 0,26 0,47 0,82 0,26 0,45 0,80 0,20 0,72 0,20 0,35 0,65 0,35 1,44 0,65 0,35 0,54 0,95 0,25 0,48 0,83 0,25 0,44 0,80 0,20 0,73 0,20 0,35 0,65 0,35 1,46 0,66 0,34 0,55 0,95 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,34 1,48 0,66 0,34 0,55 0,96 0,25 0,48 0,84 0,25 0,43 0,80 0,20 0,73 0,20 0,34 0,66 0,34 1,50 0,67 0,33 0,55 0,96 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,33 1,52 0,67 0,33 0,55 0,97 0,24 0,49 0,85 0,24 0,42 0,81 0,19 0,74 0,19 0,33 0,67 0,33 1,54 0,68 0,32 0,56 0,97 0,24 0,49 0,86 0,24 0,.41 0,81 0,19 0,74 0,19 0,32 0,68 0,32 1,56 0,68 0,32 0,56 0,97 0,23 0,50 0,86 0,23 0,41 0,81 0,19 0,75 0,19 0,32 0,68 0,32 1,58 0,68 0,32 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,32 0,68 0,32 1,60 0,69 0,31 0,56 0,98 0,23 0,50 0,87 0,23 0,40 0,82 0,18 0,75 0,18 0,31 0,69 0,31 1,62 0,69 0,31 0,57 0,98 0,23 0,50 0,88 0,23 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,31 0,69 0,31 1,64 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,88 0,22 0,39 0,82 0,18 0,76 0,18 0,30 0,70 0,30 1,66 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,30 1,68 0,70 0,30 0,57 0,99 0,22 0,51 0,89 0,22 0,38 0,83 0,17 0,76 0,17 0,30 0,70 0,30 1,70 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,29 1,72 0,71 0,29 0,57 1,00 0,21 0,52 0,90 0,21 0,37 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,29 1,74 0,71 0,29 0,58 1,00 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,83 0,17 0,77 0,17 0,29 0,71 0,29 1,76 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28 1,78 0,72 0,28 0,58 1,01 0,21 0,52 0,91 0,21 0,36 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28 1,80 0,72 0,28 0,58 1,01 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,28 0,72 0,28 1,82 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,78 0,16 0,27 0,73 0,27 1,84 0,73 0,27 0,58 1,02 0,20 0,53 0,92 0,20 0,35 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,27 1,86 0,73 0,27 0,59 1,02 0,20 0,53 0,93 0,20 0,34 0,84 0,16 0,79 0,16 0,27 0,73 0,27 1,88 0,73 0,27 0,59 1,02 0,19 0,54 0,93 0,19 0,34 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,73 0,27 1,90 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,26 1,92 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,79 0,15 0,26 0,74 0,26 1,94 0,74 0,26 0,59 1,,03 0,19 0,54 0,94 0,19 0,33 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,26 1,96 0,74 0,26 0,59 1,03 0,19 0,54 0,95 0,19 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,26 0,74 0,26 1,98 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25 2,00 0,75 0,25 0,60 1,04 0,18 0,55 0,95 0,18 0,32 0,85 0,15 0,80 0,15 0,25 0,75 0,25 ' ' ' '. .. .. . . . 2 2 2 2 y yx x x x y y x x y y p pp pV k V k V k V k= = = = DEC - CTC - UEM 18 Para cargas uniformemente distribuídas: 2 max . 8 pM = 1 2 x = do apoio A 1 . 2A B R R p= = 2. 8A pM = − 2 max 14, 22 pM + = 5 . 8 x = do apoio A 5 3. . 8 8A B R p R p= = 2. 12A B pM M= = − 2 max . 24 pM + = 1 2 x = do apoio A 1 . . 2A B R R p= = Se esta viga estivesse submetida a uma cominação de cargas, como o exemplo abaixo, o Princípio da Superposição do Efeitos nos permite fazer: 1 n i i Mf MEP = =∑ . Ou seja, a somatória dos momentos de engastamento perfeito de cada uma das cargas que carregam a viga e o momento fletor máximo positivo acorrerá no ponto onde o esforço cortante será nulo. 1.7 A altura útil e a altura mínima É importante que se diferencie o conceito de “altura” e “altura útil”. A altura é a espessura total da laje, da viga ou de um elemento estrutural qualquer, enquanto a altura útil e a distância do centro de gravidade da armadura até a borda comprida do elemento. A figura abaixo exemplifica para o caso das lajes e das vigas (neste caso, uma viga com armadura disposta em duas camadas) a diferença entre estas duas “alturas”, ou seja: h = d + ycg Equação 24 onde ycg é a distância do centro de gravidade da armadura até a borda tracionada. P A ℓ B p2 p1 Mf P HA RA ℓ RB p2 p1 A ℓ B A ℓ B A ℓ B Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 19 Figura 1.4 – Altura e altura útil de lajes. A armadura usada em lajes de edifícios normalmente tem diâmetros de 5,0 ou 6,3 mm. Excepcionalmente (lajes de grandes vãos e carregamentos) usa-se em edificações o φ 8,0 mm. Para melhor entendimento desta variável “ycg”, a figura abaixo detalha a seção da viga acima. O item 6.4 da NBR 6118 (Tabela 6.1 da norma) classifica o risco de deterioração da estrutura em função da agressividade do ambiente. Observa-se que as lajes de edifícios normalmente são protegidas, ou seja, são elementos internos da edificação e revestidas, sendo permitida por norma a adoção de uma classe de agressividade mais branda (um nível acima), possibilitando, dessa forma seu enquadramento na Classe de Agressividade Ambiental I e, portanto, agressividade fraca (ficam excluídas dessa consideração as edificações industriais e as situadas em regiões litorâneas). O cobrimento nominal da armadura (cnom) e tratado pela NBR 6118 nos itens 7.4.7.1 a 7.4.7.7. O cobrimento nominal é definido como o cobrimento mínimo (cmin) acrescido da tolerância de execução (∆c maior ou igual a 10 mm). A proteção da armadura visa principalmente evitar o processo de corrosão dos aços, que ocorre com a simples umidade do ar, comprometendo a vida útil da estrutura. Esta proteção normalmente é feita através de uma camada de concreto com uma espessura mínima em função do revestimento (ou não) do elemento e das condições ambientais (agressividade do meio ambiente). Para lajes de concreto armado, a Tabela 7.2 da NBR 6118 estabelece para a classe de agressividade ambiental I um cobrimento nominal de 20 mm (∆c = 10 mm) admitindo-se sua redução para 15 mm (∆c = 5 mm) quando houver um adequado controle de qualidade e rígidos limites de tolerância da variabilidade das medidas durante a execução. Observa-se que o cobrimento da armadura é fundamental para a qualidade e durabilidade do concreto armado e, dessa forma, considera-se de extrema importância que se conste no projeto o controle de qualidade e tolerância do cobrimento. Laje d h ycg h = d + ycg ycg = φ/2 + c DEC - CTC - UEM 20 Como a armação das lajes é disposta em duas malhas ortogonais superpostas, deve-se atentar para o centro de massa das armaduras, conforme mostrado na figura abaixo, onde se mostra que uma das malhas tem um ycg = cnom + 0,5 φ e a outra malha um ycg = cnom + 1,5 φ. Como não se sabe qual das amaduras estará na malha inferior ou na superior considera-se ycg referente à malha superior e, dessa forma, para o caso de classe de agressividade ambiental I e ∆c = 5 mm, pode-se adotar para ycg os valores dados abaixo: φ5,0 ou 6,3 mm ycg = 2,5 cm φ8,0 ou 10 mm ycg = 3,0 cm O posicionamento da armadura dentro da forma para que, mesmo durante a concretagem e vibração do concreto, as barras permaneçam em suas posições, conservando o cobrimento de concreto especificado em projeto, é feito através do uso de distanciadores, que podem ser feitos na obra ou industrializados Os distanciadores (bolachas, pastilhas, cocadas etc.) feitos na obra, consistem de uma pequena placa de pasta de concreto, com a espessura que se pretende dar ao cobrimento de concreto, com traço superior ao do elemento a ser concretado, com um pedaço de arame recozido, trançado, chumbado na mesma, conforme mostra a figura abaixo. Figura 1.5 – Distanciadores de armadura executados na obra Os distanciadores industrializados, normalmente são de plástico, de alta resistência, apresentando forma e dimensões variadas. Como exemplo, na figura a seguir são apresentados alguns dos distanciadores. No Brasil existem vários fabricantes destes distanciadores, podendo ser citados a COPLAS©, JERUELPLAST© e a HOMERPLAST©. φ ½ .φ .φ cnom ½ .φ cnom Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 23 VALORES DE ψ2 - LAJES ARMADAS EM DUAS DIREÇÕES (Convenção de Marcus) λ T1 T2 T3 T4 T5 T6 λ T1 T2 T3 T4 T5 T6 0,50 1,10 1,20 1,40 1,00 1,50 1,70 1,80 1,90 2,00 2,20 0,51 1,12 1,23 1,42 1,02 1,49 1,69 1,79 1,90 1,99 2,19 0,52 1,15 1,25 1,45 1,04 1,48 1,69 1,78 1,89 1,99 2,18 0,53 1,17 1,28 1,47 1,06 1,48 1,68 1,78 1,89 1,98 2,17 0,54 1,19 1,30 1,49 1,08 1,47 1,68 1,77 1,88 1,98 2,16 0,55 1,21 1,33 1,51 1,10 1,46 1,67 1,76 1,88 1,97 2,15 0,56 1,23 1,35 1,53 1,12 1,45 1,66 1,75 1,88 1,96 2,14 0,57 1,25 1,37 1,55 1,14 1,44 1,66 1,74 1,87 1,96 2,13 0,58 1,27 1,39 1,57 1,16 1,44 1,65 1,74 1,87 1,95 2,12 0,59 1,28 1,41 1,58 1,18 1,43 1,65 1,73 1,86 1,95 2,11 0,60 1,30 1,43 1,60 1,20 1,42 1,64 1,72 1,86 1,94 2,10 0,61 1,32 1,45 1,62 1,22 1,41 1,63 1,71 1,86 1,93 2,09 0,62 1,33 1,47 1,63 1,24 1,40 1,63 1,70 1,85 1,93 2,08 0,63 1,35 1,49 1,65 1,26 1,40 1,62 1,70 1,85 1,92 2,07 0,64 1,36 1,51 1,66 1,28 1,39 1,62 1,69 1,84 1,92 2,06 0,65 1,38 1,52 1,68 1,30 1,38 1,61 1,68 1,84 1,91 2,05 0,66 1,39 1,54 1,69 1,32 1,37 1,60 1,67 1,84 1,90 2,04 0,67 1,40 1,56 1,70 1,34 1,36 1,60 1,66 1,83 1,90 2,03 0,68 1,42 1,57 1,72 1,36 1,36 1,59 1,66 1,83 1,89 2,02 0,69 1,43 1,58 1,73 1,38 1,35 1,59 1,65 1,82 1,89 2,01 0,70 1,44 1,60 1,74 1,40 1,34 1,58 1,64 1,82 1,88 2,00 0,71 1,45 1,61 1,75 1,42 1,33 1,57 1,63 1,82 1,87 1,99 0,72 1,47 1,63 1,77 1,44 1,32 1,57 1,62 1,81 1,87 1,98 0,73 1,48 1,64 1,78 1,46 1,32 1,56 1,62 1,81 1,86 1,97 0,74 1,49 1,65 1,79 1,48 1,31 1,56 1,61 1,80 1,86 1,96 0,75 1,50 1,67 1,80 1,50 1,30 1,55 1,60 1,80 1,85 1,95 0,76 1,51 1,68 1,81 1,52 1,29 1,54 1,59 1,80 1,84 1,94 0,77 1,52 1,69 1,82 1,54 1,28 1,54 1,58 1,79 1,84 1,93 0,78 1,53 1,70 1,83 1,56 1,28 1,53 1,58 1,79 1,83 1,92 0,79 1,54 1,71 1,84 1,58 1,27 1,53 1,57 1,78 1,83 1,91 0,80 1,55 1,73 1,85 1,60 1,26 1,52 1,56 1,78 1,82 1,90 0,81 1,56 1,74 1,86 1,62 1,25 1,51 1,55 1,78 1,81 1,89 0,82 1,57 1,75 1,87 1,64 1,24 1,51 1,54 1,77 1,81 1,88 0,83 1,58 1,76 1,88 1,66 1,24 1,50 1,54 1,77 1,80 1,87 0,84 1,59 1,77 1,89 1,68 1,23 1,50 1,53 1,76 1,80 1,86 0,85 1,59 1,78 1,89 1,70 1,22 1,49 1,52 1,76 1,79 1,85 0,86 1,60 1,79 1,90 1,72 1,21 1,48 1,51 1,76 1,78 1,84 0,87 1,61 1,80 1,91 1,74 1,20 1,48 1,50 1,75 1,78 1,83 0,88 1,62 1,80 1,92 1,76 1,20 1,47 1,50 1,75 1,77 1,82 0,89 1,63 1,81 1,93 1,78 1,19 1,47 1,49 1,74 1,77 1,81 0,90 1,63 1,82 1,93 1,80 1,18 1,46 1,48 1,74 1,76 1,80 0,91 1,64 1,83 1,94 1,82 1,17 1,45 1,47 1,74 1,75 1,79 0,92 1,65 1,84 1,95 1,84 1,16 1,45 1,46 1,73 1,75 1,78 0,93 1,65 1,85 1,95 1,86 1,16 1,44 1,46 1,73 1,74 1,77 0,94 1,66 1,86 1,96 1,88 1,15 1,44 1,45 1,72 1,74 1,76 0,95 1,67 1,86 1,97 1,90 1,14 1,43 1,44 1,72 1,73 1,75 0,96 1,68 1,87 1,98 1,92 1,13 1,42 1,43 1,72 1,72 1,74 0,97 1,68 1,88 1,98 1,94 1,12 1,42 1,42 1,71 1,72 1,73 0,98 1,69 1,89 1,99 1,96 1,12 1,41 1,42 1,71 1,71 1,72 0,99 1,69 1,89 1,99 1,98 1,11 1,41 1,41 1,70 1,71 1,71 2,00 1,10 1,40 1,40 1,70 1,70 1,70 DEC - CTC - UEM 24 A NBR 6118 (2003), no item 13.2 estabelece as dimensões limites para lajes maciças de concreto armado, ou seja, determinada a altura em função da deformabilidade da laje essa altura deverá respeitar os limites mínimos para a espessura da laje: a) 5 cm para lajes de cobertura não em balanço; b) 7 cm para lajes de piso ou de cobertura em balanço; c) 10 cm para lajes que suportem veículos de peso total menor ou igual a 30 kN; d) 12 cm para lajes que suportem veículos de peso total maior que 30 kN; f) 16 cm para lajes lisas e 14 cm para lajes-cogumelo. 1.8 Determinação das flechas em lajes e seus valores limites O item 13.3 da NBR 6118 define e estabelece os limites para os deslocamentos. Deslocamentos limites são valores práticos utilizados para verificação em serviço do estado limite de deformações excessivas da estrutura, , e são classificados em quatro grupos básicos: a) aceitabilidade sensorial: o limite é caracterizado por vibrações indesejáveis ou efeito visual desagradável. A limitação da flecha para prevenir essas vibrações, em situações especiais de utilização, deve ser realizada como estabelecido na seção 23 da NBR 6118 e, apresentadas na Tabela 2.3; b) efeitos específicos: os deslocamentos podem impedir a utilização adequada da construção (Tabela 2.4); c) efeitos em elementos não estruturais: deslocamentos estruturais podem ocasionar o mau funcionamento de elementos que, apesar que não fazerem parte da estrutura, estão a ela ligados; d) efeitos em elementos estruturais: os deslocamentos podem afetar o comportamento do elemento estrutural, provocando afastamento em relação às hipóteses de cálculo adotadas. Se os deslocamentos forem relevantes para o elemento considerado, seus efeitos sobre as tensões ou sobre a estabilidade da estrutura devem ser considerados, incorporando-as ao modelo estrutural adotado. Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 25 Os limites para deslocamentos dados pela Tabela 13.2 da NBR 6118. Os valores dessa tabela são apresentados, parcialmente, nas Tabelas 2.3 e 2.4. Tabela 1.1 Limites para deslocamentos - Aceitabilidade sensorial (NBR 6118-2003 - Tabela 13.2) Razão da limitação Exemplo Deslocamento a considerar Deslocamento limite Visual Deslocamentos visíveis em elementos estruturais Total ℓ/250 Outro Vibrações sentidas no piso Devido a cargas acidentais ℓ /350 Tabela 1.2 Limites para deslocamentos - Efeitos estruturais em serviço (NBR 6118-2003 - Tabela 13.2) Superfícies que devem drenar água Coberturas e varandas Total ℓ /250 1) Total ℓ/350+ contraflecha2) Pavimentos que devem permanecer planos Ginásios e pistas de boliche Ocorrido após a construção do piso ℓ /600 Elementos que suportam equipamentos sensíveis Laboratórios Ocorrido após nivelamento do equipamento De acordo com recomendação do fabricante do equipamento 1) As superfícies devem ser suficientemente inclinadas ou o deslocamento previsto compensado por contraflechas, de modo a não se ter acúmulo de água. 2) Os deslocamentos podem ser parcialmente compensados pela especificação de contraflechas. Entretanto, a atuação isolada da contraflecha não pode ocasionar um desvio do plano maior que ℓ/350. 3) O vão l deve ser tomado na direção na qual a parede ou a divisória se desenvolve. NOTAS 1. Todos os valores limites de deslocamentos supõem elementos de vão ℓ suportados em ambas as extremidades por apoios que não se movem. Quando se tratar de balanços, o vão equivalente a ser considerado deve ser o dobro do comprimento do balanço. 2. Para o caso de elementos de superfície, os limites prescritos consideram que o valor ℓ é o menor vão, exceto em casos de verificação de paredes e divisórias, onde interessa a direção na qual a parede ou divisória se desenvolve, limitando-se esse valor a duas vezes o vão menor. 3. O deslocamento total deve ser obtido a partir da combinação das ações características ponderadas pelos coeficientes definidos na seção 11. 4. Deslocamentos excessivos podem ser parcialmente compensados por contraflechas. DEC - CTC - UEM 28 Coeficientes "alfa" 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2,0 Valores de K V al or es d e al fa Alfa 1 Alfa 2 Alfa 3 Alfa 4 Alfa 5 Alfa 6 Alfa 7 Alfa 8 Alfa 9 Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 29 1.8.2 Flecha diferida no tempo A flecha adicional diferida (NBR 6118, item 17.3.2.1.2) é decorrente das cargas de longa duração em função da fluência e pode ser calculada de maneira aproximada pela multiplicação da flecha imediata pelo fator αf dado pela expressão: '1 50.f ξα ρ ∆ = + onde: ' ' . sA b d ρ = ξ é um coeficiente função do tempo, que pode ser obtido diretamente na tabela 1.3 ou ser calculado pelas expressões seguintes: ( ) ( )0t tξ ξ ξ∆ = − ( ) ( ) 0,320,68. 0,996 .tt tξ = ξ para t ≤ 70 meses ( ) 2tξ = para t > 70 meses Tabela 1.3 Valores do coeficiente ξ em função do tempo – NBR 6118 - Tabela 17.1. Tempo (t) meses 0 0,5 1 2 3 4 5 10 20 40 ≥70 Coeficiente ξ(t) 0 0,54 0,68 0,84 0,95 1,04 1,12 1,36 1,64 1,89 2 sendo: t é o tempo, em meses, quando se deseja o valor da flecha diferida; t0 é a idade, em meses, relativa à data de aplicação da carga de longa duração. O valor da flecha total deve ser obtido multiplicando a flecha imediata por (1 + αf). DEC - CTC - UEM 30 1.8.3 Exemplo de aplicação: determinar as alturas para as lajes abaixo. 1y x l l λ = = ψ2 = 1,58 ψ3 = 25 2 3 12,6 cm . h ψ ψ ≥ = Adotado h = 12,5 cm Determinação das flechas elásticas (cuidado com as unidades) Laje Tipo B. k = 6/5=1,2 αB = 4,94 g1 = 0,125.25 = 3,125 kN/m2. g2 = 0,75 kN/m2. g = g1 + g2 = 3,875 kN/m2. q (sala de aula) = 3 kN/m2. P = g + q = 6,875 kN/m2. 5600 0,85 = ci ck cs ciE f E E= = 21287,4 MPa = 2128,74 kN/cm 2 = 2128,74. 104 kN/m2 4 4 3 4 3 . 3.5 4,94. . 0,00223 m 2, 23 mm . 100 2128,74.10 .0,125 100 x ac qf E h α = = = = 4 4 3 4 3 . 6,875.5 4,94. . 0,00511 m 5,11 mm . 100 2128,74.10 .0,125 100 x p pf E h α = = = = Determinação das flechas diferidas '1 50.f ξα ρ ∆ = + ' 0ρ = 1 0f ξα ξ∆= = ∆ + Adotando-se t ≥ 70 meses e o carregamento aplicado aos 2 meses (t0 = 2 meses): ( )70 2tξ ≥ = ( ) ( ) 0,320,68. 0,996 .tt tξ = ( ) ( )2 0,322 0,68. 0,996 .2 0,68.0,992.1,24833 0,8421tξ = = = = ( ) ( )0t tξ ξ ξ∆ = − 2 0,8421 1,158ξ∆ = − = Laje Tipo 2 C20 e CA-50 x = 6,0 m y = 5 ,0 m 6, 0 m 5,0 m Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 33 c) no caso de aberturas em regiões próximas a pilares, nas lajes lisas ou cogumelo, o modelo de cálculo deve prever o equilíbrio das forças cortantes atuantes nessas regiões. As aberturas que atravessam lajes maciças comuns, na direção de sua espessura devem ser armadas em duas direções e verificadas, simultaneamente, as seguintes condições: a) as dimensões da abertura devem corresponder no máximo a 1/10 do vão menor (lx). Figura 1.10 – Dimensões limites para aberturas de lajes com dispensa de verificação b) a distância entre a face de uma abertura e uma borda livre da laje deve ser igual ou maior que 1/4 do vão, na direção considerada; e c) a distância entre faces de aberturas adjacentes deve ser maior que a metade do menor vão. Considerando o disposto no item 13.2.6 da NBR-6118 deve-se prever cuidados especiais no caso de canalizações atravessando a laje de fora a fora, na direção da espessura. As canalizações destinadas à passagem de fluidos com temperatura que se afaste de mais de 15ºC da temperatura ambiente deverão ser adequadamente isoladas e, as canalizações destinadas a suportar pressões internas maiores que 0,3 MPa deverão passar por furos (maiores que o diâmetro da tubulação) ou aberturas previamente feitos na laje. ℓx ℓy ax ay ≥ ¼ ℓx ≥ ¼ ℓy ℓx ≤ ℓy ax < 0,1 ℓx ay < 0,1 ℓx DEC - CTC - UEM 34 2 Organização dos cálculos e detalhamento da armadura. 2.1 Dispositivos auxiliares de cálculo O projeto de uma estrutura, compreendendo a memória de cálculo, os desenhos de forma, de armação, assim como todas as anotações sobre considerações feitas no projeto, devem ser guardadas para sempre. Vinte, trinta anos após a execução de uma obra, esta pode ser objeto de uma reforma que implique em alterações no projeto estrutural. Diante disto, tem-se a necessidade de se ter memórias de cálculo de fácil entendimento, com todas as informações envolvidas na elaboração do projeto e da forma mais concisa possível. A seguir propõe-se como exemplo, rotinas de cálculo através de tabelas, que permitem a sistematização do cálculo e uma melhor visualização das informações. Esta sistematização é importante para o uso de planilhas eletrônicas. O modelo abaixo pode ser extendido até a determinação dos momentos fletores e esforços cortantes Laje Tipo ℓy ℓx λ ψ2 ψ3 d h pp rev alv out. S.T. Acd TT 1 2 4,25 3,15 1,35 2 3 3-a --- 3,0 3-b --- 3,0 obs.: Laje 3-a, 3-b indicam faixas de lajes armadas em uma direção pp peso próprio da laje pôr metro quadrado. rev peso próprio do revestimento alv peso próprio da alvenaria, quando houver carga de paredes out outras cargas permanentes como carga de enchimento, carga proveniente de base de máquinas, etc. S.T. subtotal - ou soma das cargas permanentes acd sobrecarga ou carga acidental TT carga total por metro quadrado atuante na laje Este tipo de tabela pode ser adaptado às conveniências do calculista e ampliado para a determinação dos esforços solicitantes (momentos fletores e reações de apoio). O uso de planilhas de cáculo facilita bastante este trabalho. Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 35 2.2 Determinação dos esforços. A partir da planta de forma, as lajes são destacadas uma a uma, conservando as suas vinculações originais. O cálculo é então realizado como se as lajes fossem todas isoladas. A seguir é exemplificado o procedimento de cálculo, a partir do esboço de planta de forma apresentado. Os traços mais escuros representam o nível do pavimento. Neste esquema apresentado, as lajes L1, L2 e L4 estão niveladas e a laje L3 está rebaixada. Os pilares P5, P6, ..., P12 e as vigas V102, V103, ..., V109 serão desenhados de forma análoga aos pilares P1 a P4 e à viga V101 respectivamente, observando que a numeração dos pilares é da esquerda para a direita, de cima para baixo e a das vigas é da esquerda para a direita, de cima para baixo (para as horizontais) e de baixo para cima, da esquerda para a direita (para as verticais). Figura 2.1 – Esboço da planta de forma do pavimento de uma edificação. Deve-se observar que: • a laje L2 deve ser calculada como Tipo 3 e como tipo 5 (na figura os eixos lx e ly estão colocados como se a laje fosse do Tipo 5.). O mesmo ocorre com a laje 7 que deve ser calculada como Tipo 2 e como Tipo 3. • a laje 3 está rebaixada, conforme a representação na planta de forma, sendo portanto uma laje Tipo 1. A partir da planta de forma é feita a discretização das lajes, destacando-se uma a uma, para a obtenção das lajes isoladas e suas vinculações. A figura a seguir ilustra este processo L1 L2 L3 L4 H=8cm H=9,5cm H=8cm H=8,0cm a b c d e f g L5 L6 L7 H=8cm H=8,0cm H=9,5cm P1(12x30) P2(12x30) P3(12x40) V101(12x35) P4(12x25) DEC - CTC - UEM 38 A situação típica destas lajes com pequenos rebaixos, em torno de 1,5 a 4 cm, são as lajes de terraço. Este pequeno rebaixo tem por finalidade impedir a entrada de água no outro ambiente. Figura 2.7 – Viga “Normal”. Forma para laje laje em balanço (beiral) Figura 2.8 – “Estrado” de uma laje visto por baixo. Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 39 2.2.1 Momentos fletores das lajes isoladas (não compensados) A representação esquemática dos momentos fletores nas lajes é feita conforme a figura abaixo – “Planta dos Momentos Fletores não Compensados”. A partir destes momentos fletores é feita a compensação. Figura 2.9 – Momentos fletores não compensados. 2.2.2 Compensação dos momentos fletores A compensação dos momentos fletores em lajes, ao contrario das vigas, é um processo bastante simplificado, rápido e que fornece resultados razoavelmente próximos dos reais, desde que se observe algumas restrições: • a carga permanente deve ser maior que a acidental, • carregamento das lajes deve ser simultâneo e com carga total, • as lajes devem ter rigidez e vãos que não difiram muito entre si, • os momentos devem ser de mesma ordem de grandeza (Mfmaior ≤ 2 x Mfmenor) Ao contrario das vigas contínuas, onde ocorre a propagação dos momentos ao longo dos tramos, nas lajes esta propagação não será considerada. A compensação será feita uma a uma, independente das demais. Tomando-se como exemplo as lajes L5, L6 e L7, a compensação das lajes L5 e L6 poderá alterar o momento fletor Mx (o momento na direção horizontal), mas ao se fazer a compensação das lajes L6 e L7, devem ser tomados todos os valores originais, como se a compensação L5 e L6 não tivesse sido realizada. Mx My Mx My My Mx Mx My Mx My Xx Xy Xy Xy Xy Mx Mx Xx Xx MyXx Xx Xx My Xx Xy DEC - CTC - UEM 40 Através da figura a seguir, exemplifica-se o processo de compensação. Tomando como exemplo as lajes L1 e L2, a figura representa o “nó” a ser compensado e os esforços envolvidos na compensação. Pela laje L1 tem-se o momento positivo Mx1 e o negativo Xx1 e pela laje L2 os momentos Mx1 e Xx1 positivo e negativo respectivamente. Em tracejado está o diagrama de momentos compensado com os esforços Mx1*, X* e Mx2* Figura 2.10 – Compensação dos momentos fletores O processo de compensação, bastante simplificado, será: 1 2 * 1 2 0,8 x x x X X X X +⎧ ⎪≥ ⎨ ⎪⎩ *1 0,5.xX X δ∆ = − = ∆ 2.1 Com estas correções altera-se os valores dos momentos positivos, que também serão corrigidos, somando-se δ=∆/2 ao momento positivo correspondente ao lado de Mx1, uma vez que o diagrama de momento fletor da laje L1 “desceu”, reduzindo o momento negativo e aumentando o momento positivo. Ao contrario, o diagrama de momento fletor da laje L2 “subiu”, aumentando o momento fletor negativo e reduzindo o momento fletor positivo, sendo neste caso, a redução desprezada, a favor a segurança, ou seja, sendo Xx1 o maior momento fletor, somente a laje que o contém terá seu momento fletor positivo majorado. Se os momentos não forem da mesma ordem de grandeza (Mfmaior > 2 x Mfmenor) o lado da laje do momento maior é considerado apoiado e o da laje de momento menor é considerado engastado. δ1 δ2 Mx1 Mx1* Mx2* Mx2 Xx1 X* ∆ Xx2 ∆ = Xx1 - X* δ1 = ∆ / 2 Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 43 Tabela 2.2 – Valores mínimos para armaduras passivas aderentes NBR 6118 – item 19.3.3.2 – Tabela 19.1 Armadura de lajes Concreto armado Armaduras negativas ρs ≥ ρmin Armaduras positivas (lajes armadas em cruz) ρs ≥ 0,67.ρmin Armadura positiva (principal, lajes em uma direção) ρs ≥ ρmin Armadura positiva (secundária, lajes armadas em uma direção (armadura de distribuição). As/s ≥ 20 % da armadura principal As/s ≥ 0,9 cm2/m ρs ≥ 0,5 ρmin Onde: . s s A bw h ρ = ρmin é dado na Tabela 2.2, e s é o espaçamento das barras Os valores de ρmin são apresentados na Tabela 2.2 (Tabela 17.3 da NBR 6118). Tabela 2.3 – Taxas mínimas de armadura de flexão para vigas de seção retangular. NBR 6118 – item 17.3.5 – Tabela 17.3 Valores de ρmin = As,min/Ac (%) fck ωmín 20 25 30 35 40 45 50 0,035 0,150 0,150 0,173 0,201 0,230 0,259 0,288 Valores de ρmin estabelecidos para aço CA-50, γc = 1,4 e γs = 1,15. ωmin = taxa mecânica mínima de armadura longitudinal para valores diferentes de fck, fyk, γc , e γs min min . cd yd f f ρ ω= DEC - CTC - UEM 44 2.3.1.1 Disposições gerais de detalhamento (NBR 6118 – item 20). O diâmetro no máximo das barras da armadura de flexão deve ser ≤ h/8. O espaçamento máximo (s) das barras da armadura principal de flexão na região dos maiores momentos fletores deve ser ≤ a 2h ou 20 cm. Nas lajes armadas em uma direção a armadura secundária de flexão deve ser ≥ 20% da armadura principal, mantendo-se, ainda, um espaçamento entre barras de, no máximo, 33 cm (mínimo de três barras por metro). Em bordas livres e junto às aberturas devem ser respeitadas as prescrições mínimas conforme disposto na Figura 2.12. Figura 2.12 - Bordas livres e abertura (Figura 20.1 da NBR 6118) As armaduras positivas devem ser distribuídas de modo a cobrir a superfície de momentos fletores, o que é impraticável pois as tabelas geralmente só fornecem valores correspondentes ás faixas centrais. Em virtude deste problema existem processos simplificados que, para os casos correntes, resultam bastantes eficientes para efetuar esta distribuição. A prática tem consagrado uma simplificação, onde os comprimentos das barras (que já inclui os comprimentos de ancoragem) são dados em função do vão em será disposta a armadura. Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 45 É importante observar que, com tais esquemas de distribuição das armaduras, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com ½ As, indicando que o critério é satisfatório. Figura 2.13 - Disposição da armadura positiva e comprimento das barras em lajes. Para as armaduras negativas em lajes retangulares de edifícios submetidas a cargas uniformemente distribuídas e cargas acidentais (q) inferiores às permanentes (g), as barras da armadura principal sobre os apoios deverão estender-se de acordo com o diagrama triangular de momentos (considerado já deslocado) de base igual ao valor adiante indicado: a) Em Lajes atuando em duas direções ortogonais: • Em uma borda engastada, sendo cada uma das outras três bordas livremente apoiada ou engastada, 0,25 do menor vão. • Nos dois lados de um apoio da laje continua, 0,25 do maior dos vãos menores das lajes contínuas. b) Em lajes atuando em uma só direção. • Em uma borda engastada, 0,25 do vão. A prática tem consagrado como simplificação, o detalhamento da armadura apresentado na Figura 2.14, onde o comprimento reto da barra é 3/4 do intervalo (0,5 ℓ2), intercalando-se as armaduras, à esquerda e à direita. Observe-se que, assim como na armadura positiva, a zona central fica armada com As, enquanto as zonas laterais com As/2, indicando que o critério é satisfatório. c = 0,85 ℓ c = 0,80 ℓ c = 0,75 ℓ c = 0 ,8 5 ℓ ℓy c = 0,80 ℓ ℓx DEC - CTC - UEM 48 Ponto inicial Posições das pistas (tablado) = primeira para táfego dos segunda carrinhos de mão terceira “Im, TN as A AS Na Rampa ara acesso dos carrinhos e tão 5 do s depósitos de areia e brita Correto Concretando uma laje Estruturas em Concreto I – Lajes maciças de concreto armado Prof. João Dirceu 49 errado certo certo errado Desta forma é mais econômico Mas também pode ser feito assim h ≥ 2h ≥ 2h DEC - CTC - UEM 50 2.5 Cisalhamento em lajes As placas (lajes) têm uma boa resistência ao esforço cortante e, as lajes comuns de edifícios, salvo situações extraordinárias de carregamento, não são armadas ao cisalhamento. A NBR 6118 – item 9.4 estabelece que quando a força cortante de cálculo for menor ou igual à força resistente ao cisalhamento de projeto, as lajes maciças ou nervuradas podem prescindir dessa armadura transversal. 1Sd RdV V≤ A resistência de projeto ao cisalhamento é dada por: ( )1 1. . 1, 2 40. 0,15. . .Rd Rd cp wV k b dτ ρ σ⎡ ⎤= + +⎣ ⎦ Obs.: Sdcp c N Aσ = , NSd é a força longitudinal na seção (protensão ou carregamento). ( )1 1. . 1, 2 40. . .Rd Rd wV k b dτ ρ= + concreto armado (sem forças longitudinais) onde: τRd = 0,25 fctd 2 3 ,inf 2 30,7. 0,7.0,3. 0,21.ctk ctm ckctd ctd ck c c c c f f ff f f γ γ γ γ = = = ∴ = k = |1| quando 50 % da armadura inferior não chega até o apoio: k = |1,6 – d| ≥ |1| com d em metros; para os demais casos. 11 0,02. s w A b d ρ = ≤ fctd é a resistência de cálculo do concreto ao cisalhamento; As1 é a área da armadura de tração bw é a largura mínima da seção ao longo da altura útil d; Quando da verificação de elementos sem armadura de cisalhamento a resistência de cálculo VRd2 é dada por: 2 10,5. . . .0,9.Rd v cd wV f b dα= onde: αv1 = (0,7 – fck /200) ≤ 0,5.