P3 de PME 2100 de 2007

P3 de PME 2100 de 2007

(Parte 1 de 2)

ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica

PME 2100 – Mecânica Geral A - 3ª Prova 04/12/2007 Duração: 100 min. (não é permitido o uso de calculadoras)

Q1 - 3,5 Pontos) Considere o pêndulo composto por uma barra AB de massa desprezível e comprimento L e um quadrado de massa m e lado a fixo na barra conforme a figura. Não há atrito na articulação A. São dadas as

Pede-se: a) (1,0) A energia cinética em função de ϕ&; b) (0,5) O trabalho da força peso correspondente a um deslocamento angular

Δϕ = ϕ − oϕ , (ϕ > oϕ); c) (1,0) Escrever ϕ& e ϕ&& em função de ϕ, dadas as condições iniciais; d) (1,0) Determinar as reações vinculares aplicadas à barra no ponto A em função de ϕ, dadas as condições iniciais.

Q2 - 3 Pontos) Parte de um mecanismo de elevação de carga está sujeito ao campo gravitacional de intensidade g e às forças indicadas na figura, de tal forma que o valor de F é muito superior ao peso do sistema , tornando os fios sempre tracionados. O bloco A possui massa m e as polias possuem massa m e raio R. Os fios são considerados ideais (inextensíveis, com massa desprezível e perfeitamente flexíveis) e conectam o sistema conforme a figura, sem escorregamento nas polias. Pede-se: a) (1,0) Os diagramas de corpo livre do bloco

A e das polias; b) (1,5) Aplicando o Teorema do Movimento do Baricentro e/ou o Teorema do Momento Angular ao bloco e polias, expressar as trações 21 e T, como funções das

aceleração do bloco A.

Av. Prof. Mello Moraes, 2231 – 05508-900 – São Paulo – SP – BRASIL TEL.: 5 1 3091-535/561/570 – FAX: 5 1 3813 1886

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Q3 - 3,5 Pontos) Uma esfera homogênea de massa m e raio R é arremessada ao longo da rampa de ângulo θ=30º com uma velocidade inicial v0 e sem velocidade angular (ω0=0) no instante do lançamento (t0=0). Se o coeficiente de atrito cinético é 3=μ determine: a) A aceleração angular ω& da esfera enquanto ocorre escorregamento; b) A aceleração do baricentro da esfera enquanto ocorre escorregamento; c) A velocidade vG(t) do baricentro da esfera enquanto ocorre escorregamento; d) A velocidade angular ω(t) da esfera enquanto ocorre escorregamento;

(a,b,c,d somam 2,0) e) O instante a partir do qual a esfera deixa de escorregar; f) A velocidade angular nesse instante; (e,f somam 1,0) g) (0,5) O trabalho realizado pela força de atrito durante o período de escorregamento;

Nota: recomenda-se simplificar ao máximo as expressões sempre que possível.

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GABARITO Q1) a)Para obtermos a energia cinética do pêndulo composto pela barra AB de massa desprezível e o quadrado de lado a e massa m, vamos considerar o pólo A. O pêndulo realiza somente um movimento de rotação em relação a este pólo. Então:

onde ω é o módulo do vetor de rotação kkr&rϕωω== e JzA é o momento de inércia em relação ao pólo A. Pelo teorema de Steiner temos que:

A expressão para a energia cinética assume a forma

1222aaLmT++=ϕ&(1)

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica b) O trabalho da força peso para o deslocamento angular Δϕ = ϕ−ϕ0 é dado por

onde GVr é a velocidade do baricentro do quadrado de lado a e é obtida aplicando-se Poisson em relação ao ponto A.

r&rϕϕϕ++=(2)

] cos )[sin2/(ijaLVG Então a expressão para o trabalho da força peso assume a forma:

Uma vez avaliado o integral na equação acima temos:

)cos)(cos2/(0ϕϕ−+=aLmgW(3)
WTtT=−)0()((4)

c) De acordo com o teorema da energia cinética temos que:

Resolvendo a equação acima para ϕ& temos que:

aLg o

−+=ϕϕϕ&(5)

++ Derivando a equação acima em relação ao tempo temos que:

+++−=ϕϕ&&(6)

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ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Departamento de Engenharia Mecânica d) Para determinarmos as reações vinculares aplicadas à barra no ponto A, vamos utilizar o teorema da resultante.

r−+=x R(7)

jmgijRam yG onde é a aceleração do baricentro do bloco de lado a, e Rx e Ry são, respectivamente, o módulo da componente horizontal e vertical das reações vinculares. Derivando (2) em relação ao tempo temos que:

Gar

Então, a equação (7) na direção do versor ir é dada por:

]sincos)[2/(2ϕϕϕϕ&&&−+=aLmRx,(8)

e na direção do versor jr é dada por:

mgaLmRy+++=]cossin)[2/(2ϕϕϕϕ&&&(9)

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Q2) a) Diagramas de corpo livre das polias e do bloco:

b) Bloco:

)(Cinem.
)2(TMB

2 TmgFyym jyya

Polia D:

R yJRF jRjy kJkRF

TmgTFym jya jTmgTFam

)T( TMA
)(TMB

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Polia E:

R yJRF jRjy kJkRF

TmgTF a jTmgTFam

)T( TMA
0Cinem.
)(TMB

c) É necessário resolver o seguinte sistema de equações:

RFTR yJ

RFTR yJ

TmgTFym TmgFyym

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