Lista 2 de Cálculo 3

Lista 2 de Cálculo 3

Universidade Federal do Vale do São Francisco – UNIVASF Colegiado de Engenharia Elétrica – CENEL Cálculo Diferencial e Integral I – Prof. Lino Marcos

5ª Lista de Exercícios (Integrais de Linha)

1. Calcule γγ dF⋅∫ sendo dados:

a) jyxixyxF)(),(2−+=e ),()(senttt=γ, pi≤≤t0
b) kzjyixzyxF222),,(++= e ),3,cos2()(tsenttt=γ, pi20≤≤t

2. Seja 2:RRF→ um campo vetorial contínuo tal que, para todo ),(yx, ),(yxFé paralelo ao vetor jyix+. Calcule γγ dF⋅∫, onde 2],[:Rba→γ é uma curva de classe

C1 , cuja imagem está contida na circunferência de centro na origem e raio 0>r.

Interprete geometricamente.

3. Uma partícula move-se no plano de modo que no instante t sua posição é dada por ),()(2ttt=γ. Calcule o trabalho realizado pelo campo de forças jyxiyxyxF)()(),(−++= no deslocamento da partícula de )0(γ até )1(γ.

4. Calcule ldE⋅∫γ onde jyix yx yxE +

5. Calcule ∫−γ ydyxdx onde γ é o segmento de extremidades (1,1) e (2,3), percorrido no zdzdyxdx onde γ é a intersecção do parabolóide 22yxz+= com o plano 122−+=yxz; o sentido do percurso deve ser escolhido de modo que a projeção de )(tγ, no plano xy, caminhe no sentido anti-horário.

dy yx xdx onde γ tem por imagem a elipse 9422=+yx e o sentido do percurso é o sentido anti-horário.

dy yx xdx yx y 2 não depende de R.

9. Seja 2:RRF→ um campo vetorial contínuo. Justifique as seguintes igualdades.

, onde ),(cos)(senttt=γ, pi20≤≤t, e )2,2(cos)(usenuC=,

onde γ é a curva

1. Calcule dyedxyxyx++−∫γ )(, onde γ é a fronteira do triângulo de vértices )0,0(,)1,0(e

)2,1(, orientada no sentido anti-horário.

a) dsyx∫+γ b) dsyxy∫+γ

14. Calcule a massa do fio )3,2,()(t=γ, 10≤≤t, cuja densidade linear é zyxzyx++=),,(δ. 15. Calcule a massa do fio ),,(cos)(tsenttt=γ, pi20≤≤t, cuja densidade linear é

16. O centro de massa de um fio 3],[:Rba→γ é o ponto ),,(CCCzyx dado por:

γ dm xdm γ dm ydm yC e ∫ γ dm zdm zC

Onde dszyxdm),,(δ= é o elemento de massa. Calcule o centro de massa do fio

18. O campo de velocidades de um fluido em movimento é dado por ),(yxv−=.

Calcular a circulação do fluido ao redor da curva fechada 321CCCC∪∪=, onde

C3: segmento de reta CA

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