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Prof. Anderson Coser Gaudio Departamento de Física – Centro de Ciências Exatas – Universidade Federal do Espírito Santo http://www.cce.ufes.br/anderson anderson@npd.ufes.br Última atualização: 21/07/2005 15:39 H

RESNICK, HALLIDAY, KRANE, FÍSICA, 4.ED., LTC, RIO DE JANEIRO, 1996.

FÍSICA 1

Capítulo 9 - Sistemas de Partículas

Problemas

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2. Onde está o centro de massa das três partículas mostradas na Fig. 26?

(Pág. 187)

Solução. A posição do centro de massa (rCM) é definida por:

CMCMxy=+CMrij

A componente xCM vale: 1

CM i i xmxm=∑∑

1CMx mx m x m x m=++++

A componente yCM vale: 1

CMiiiymm=∑∑y

1CMym y m m=+++ymy+

[Início]

3. Qual é a distância do centro de massa do sistema Terra-Lua ao centro da Terra? (Veja no

(Pág. 187)

Apêndice C as massas da Terra e da Lua e a distância entre os seus centros. É interessante comparar o resultado com o raio da Terra.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES Terra

Lua dTL dmT mL xT = 0xdLTL =

A posição do centro de massa do sistema Terra-Lua é xCM. Como a origem do referencial x está no centro da Terra, a distância procurada (d) vale:

CMdx= A posição do centro de massa é dada por:

CM i i xmxm=∑∑

xmxmxmm=++

Como o raio da Terra é 6,37×106 m, conclui-se que xCM encontra-se no interior da Terra, a uma distância aproximadamente igual a 0,7 RT do centro do planeta.

[Início]

7. Um homem de massa m segura-se numa escada de corda, que pende de um balão de massa M (veja a Fig. 27). O balão está estacionário em relação ao chão. (a) Se o homem começar a subir a escada com velocidade constante v (em relação à escada), em qual direção e a que velocidade (em relação à Terra) o balão se moverá? (b) Qual ser

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Solução. (a) Considere o seguinte esquema de velocidades:

vhb vh vb y

Observa-se a seguinte relação de velocidades na presente situação, em que vb é a velocidade do balão, vh é a velocidade do homem e vhb é a velocidade do homem em relação ao balão ( que o problema chamou simplesmente de v), sendo todas as velocidades verticais:

bh bvv v+= h

(1) bvvv+=

h h

Como não há força externa resultante atuando sobre o sistema, a velocidade do centro de massa (nula) não se altera com o movimento do homem:

,0CM CMvv =

0bMvmv=+(2)

Substituindo-se (1) em (2):

bmvvmM=−+

O sinal negativo indica que o balão se move para baixo, no sentido negativo do referencial y.

(b) Após o homem parar de subir pela escada o balão volta ao estado estacionário, pois o centro de massa do sistema deve permanecer em repouso o tempo todo.

[Início]

9. Um canhão e seu suprimento de balas estão dentro de um vagão fechado, de comprimento L, como mostra a Fig. 28. Atira-se com o canhão para a direita e o vagão recua para a esquerda. As balas permanecem no vagão depois de atingirem a parede oposta. Depois que todas as balas

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forem disparadas, qual é a maior distância que o carro pode ter percorrido a partir de sua posição inicial? (b) Qual é a velocidade do carro depois que todas as balas foram disparadas?

Solução. Considere o seguinte esquema:

nm M

Inicial

Final x0 L d

Como só estão envolvidas forças internas ao sistema durante os disparos, a posição do centro de massa do sistema não muda.

CMiCMfxx= O sistema é composto por um vagão (V) de massa M e por n balas (B), cada uma de massa m. Logo:

() ()1 CMVi CMBi CMVf CMBfMx nmx Mx nmx

MdnmdnmL+=

A maior distância d é atingida quando o número de balas tende ao infinito (nm → ∞). Neste caso: dL→

(b) Como as balas não podem sair do vagão e o centro de massa permanece em repouso, o vagão também deverá permanecer em repouso.

[Início]

(Pág. 188)

12. Uma bomba é lançada de uma arma com velocidade inicial de 466 m/s, num ângulo de 57,4o com a horizontal. No topo da trajetória, a bomba explode em dois fragmentos de massas iguais. Um dos fragmentos, cuja velocidade imediatamente depois da explosão é nula, cai verticalmente. A que distância da arma cairá o outro, supondo que o terreno seja plano?

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES g y x m m2

Se a bomba não tivesse explodido, seu alcance R seria dado por:

Após a explosão, o centro de massa do sistema, que não sofreu interferência de forças externas, continua sua trajetória original. Após os pedaços da bomba terem caído no chão, a localização do centro de massa do sistema será na coordenada xCM = R. Sabendo-se que a localização do pedaço 1 da bomba está localizado em x1 = R/2, vamos usar essas informações para calcular a posição x2 do pedaço 2.

Ou seja: 2

[Início]

13. Uma corrente flexível de comprimento L, com densidade linear λ, passa por uma polia pequena e sem atrito (veja a Fig. 30). Ela é abandonada, a partir do repouso, com um comprimento x pendendo de um lado e L − x, do outro. Determine a aceleração a em função de x.

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(Pág. 188)

Solução. A força que acelera a corrente é o peso da porção de comprimento 2x − L.

(1) (2)(2)()xLxLLPmgm−−−=−=a

xxFma=∑

Na Eq. (1), m(2x − L) é a massa da porção da corrente de comprimento 2x − L e m(L) é a massa total da corrente (comprimento L). Como:

Temos:

xL−=−(2)

() (2 )2L xLLmm Substituindo-se (2) em (1):

[Início]

14. Um cachorro que pesa 5,0 kg está em um barco chato a 6,0 m da margem. Ele caminha 2,5 m no barco em direção à margem e pára. O barco pesa 20 kg e podemos supor que não haja atrito entre ele e a água. A que distância ele estará da margem ao fim desse tempo? (Sugestão: O centro de massa do barco + cachorro não se move. Por que?) A margem está também à esquerda da Fig. 31.

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(Pág. 188)

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Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

d M

xb0 xb xcxc0

Como não força externa resultante atuando no sistema, a aceleração do centro de massa do sistema é nula. Como o centro de massa está inicialmente em repouso, ele permanece em repouso durante todo o tempo independentemente do movimento do cachorro em relação ao barco.

0CMCMxx=

0b c c b c cmx m x mx m x+= +

Considerando-se a massa do cachorro mc = m e a massa do barco mb = M e analisando-se o esquema acima:

[Início]

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17. Três varas finas, cada uma de comprimento L, estão arranjadas na forma de um U invertido, como mostra a Fig. 32. Cada uma das duas varas que formam os braços do U tem massa M e a terceira vara tem massa 3M. Onde está localizado o centro de massa do conjunto?

(Pág. 189)

Solução.

Como as varas são homogêneas, o centro de massa de cada uma delas está localizado na metade de seus respectivos comprimentos, como mostra o esquema a seguir:

M M L/2

L/2 L Logo:

CM i i x mx m x m x m x

2CMLx= De forma semelhante:

[Início]

18. A Fig. 3 mostra uma placa de dimensões 2,0 cm × 13,0 cm × 2,80 cm. Metade da placa é feita de alumínio (densidade = 2,70 g/cm3) e a outra metade de ferro (densidade = 7,85 g/cm3), como mostrado. Onde está o centro de massa da placa?

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(Pág. 189)

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Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

x y

HD z

Al y

O cálculo de yCM pode ser feito considerando-se que a massa de cada metade da placa esteja concentrada nos respectivos centros de massa, projetados no eixo y.

y0 L/2 L mAl mFe

Logo:

() ()1 CM i i Al Al Fe Fe

iA l Fe ym y m y m

CM Al Fe

Al Fe

3⎤⎥(1)

Na Eq. (1), ρAlLDH/2 é a massa da placa de alumínio (densidade × volume). Logo:

Al Fe CM

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES 13,7 cmCMy≈

[Início]

19. Uma caixa, na forma de um cubo cuja aresta mede 40 cm, tem o topo aberto e foi construída de uma placa metálica fina. Encontre as coordenadas do centro de massa da caixa em relação ao sistema de coordenadas mostrado na Fig. 34.

(Pág. 189)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

y a

Chamaremos os lados da caixa de 1, 2, 3, 4 e 5. Resolveremos o problema determinando o centro de massa de cada lado da caixa e em seguida consideraremos a caixa como uma coleção de massas pontuais, cada uma com massa igual à massa de um lado da caixa. Depois encontraremos o centro de massa desse conjunto de massas pontuais. O centro de massa de cada lado da caixa é:

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O centro de massa da caixa está localizado em:

2 5 a=++CMrijk

Logo: 20 cmCMx=

[Início]

20. Um tanque cilíndrico está inicialmente cheio com gasolina para avião. Drena-se o tanque através de uma válvula no fundo (veja a Fig. 35). (a) Descreva qualitativamente o movimento do centro de massa do tanque e de seu conteúdo, à medida que a gasolina escoa. (b) Qual é a profundidade x do nível de gasolina quando o centro de massa do tanque e de seu conteúdo estiver em sua posição mais baixa? Expresse sua resposta em termos de H, a altura do tanque; M, sua massa; e m, a massa da gasolina que ele pode conter.

(Pág. 189)

Solução.

(a) Quando o tanque de gasolina está cheio o centro de massa do sistema tanque+gasolina está no centro do tanque. À medida que a gasolina é escoada do tanque o centro de massa do sistema começa a baixar. Como o centro de massa do tanque vazio também se localiza no centro do tanque, deduz-se que em algum momento do escoamento da gasolina o centro de massa do sistema deve atingir um nível vertical mínimo e, a partir daí, voltar a subir em direção ao centro do tanque.

(b) Considere o seguinte esquema:

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES xCM h CM H m

Para resolver este problema temos de construir uma função matemática para a posição do centro de massa (xCM) em função do nível de gasolina no tanque (h). Em seguida devemos encontrar o valor de h que minimiza xCM (dxCM/dh = 0). A posição do centro de massa é dada por:

() ()1 CM i i t t c c it c x mx m x m x h hHxm mM

CM h mh MH x

+=+(1)

Como a massa da gasolina depende do seu nível no tanque m(h), precisamos determinar a função m(h). Para isso utilizaremos a densidade da gasolina ρ:

()()h mV

Ou seja:

() ()h mmmV VA H

==Ah

=(2)

()h mhm H Substituindo-se (2) em (1):

2 CM mhhM H Hx

mh M H mh MHx

+=+(3)

mh MH Vamos agora encontrar o valor de h que minimiza xCM (dxCM/dh = 0):

CM mh mh MH mh MH mdx

(4)
(5) 22mhMHhMH+−

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Problemas Resolvidos de Física Prof. Anderson Coser Gaudio – Depto. Física – UFES A Eq. 4 é uma equação do segundo grau e sua solução é:

min 11MH mh

Como hmin deve ser positivo, o termo entre parênteses também deve ser positivo. Para que isso ocorra o sinal da raiz quadrada deve ser positivo.

min 11MH mh

[Início]

(Pág. 189)

21. Encontre a posição do centro de massa de uma placa semicircular homogênea, de raio R.

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

R θy

M dm,da dy

1CMyydmM=∫(1)

Por simetria, deduz-se imediatamente que xCM = 0. O valor de yCM deve ser calculado.

A densidade superficial de massa β é definida por:

M dm

A da β==

=(2)

Mdm daA Onde:

RAπ=(3)
2cosdaRdyθ=(4)

2 Substituindo-se (3) e (4) em (2):

224 2c os cosMMdm R dy dy

θθππ==(5)

R R Mas:

(6)

Substituindo-se (6) em (5):

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(7)

Substituindo-se (7) em (1):

⎡⎤⎛⎞=−⎢⎥⎜⎟⎝⎠⎢⎥⎣⎦∫dy(8)

Modificando-se (8) para: 1/ 2

Podemos identificar o seguinte padrão no integrando:

CMyyRyfπ=−∫fdy

Onde: 2 df yf

A solução da integral acima é:

yCM

[Início]

(Pág. 189)

23. Um caminhão de 2.0 kg move-se para o Norte a 40,0 km/h e vira para o Leste; ele acelera até adquirir a velocidade de 50 km/h. (a) Qual foi a variação da energia cinética do caminhão? (b) Quais o módulo, a direção e o sentido da variação do momento linear do caminhão?

Solução. (a)

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m x

Os valores de v0 e v, de acordo com o referencial adotado, são v0 = v0 j e v = v i. Logo: mΔ= − = −0p p v v

[Início]

(Pág. 190)

29. Um homem de 80 kg, em pé numa superfície sem atrito, chuta para a frente uma pedra de 100 g de modo que ela adquire a velocidade de 4,0 m/s. Qual é a velocidade que o homem adquire?

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

Como o somatório das forças externas que agem sobre homem/pedra é zero, o momento linear é conservado durante todo o evento. Em x:

80 kg mvv m

(Pág. 190)

30. Um homem de 75,2 kg encontra-se em uma carroça de 38,6 kg que se move à velocidade de 2,3 m/s. Ele salta da carroça de tal maneira que atinge o solo com velocidade horizontal nula. Qual será a variação na velocidade do veículo?

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Solução. Considere o seguinte esquema:

Admitindo-se que o efeito do atrito no eixo das rodas e entre as rodas e o solo seja desprezível durante o evento, o momento linear será conservado na coordenada x.

Pode-se analisar a situação do ponto de vista do movimento do centro de massa, cuja velocidade não se altera. Como a maior parte da massa do sistema (homem) fica em repouso após saltar da carroça, para que a velocidade do centro de massa permaneça constante a carroça, cuja massa é menor, deve mover-se com velocidade maior.

[Início]

31. Um vagão de estrada de ferro, de peso W, pode mover-se sem atrito ao longo de um trilho horizontal reto. Inicialmente, um homem de peso w está em pé no vagão, que se move para a direita com velocidade v0. Qual será a variação na velocidade do vagão se o homem correr para a esquerda (Fig. 37), de modo que sua velocidade relativa ao vagão seja vrel, imediatamente antes de ele pular para fora do vagão na extremidade esquerda?

(Pág. 190)

Solução. Considere o seguinte esquema da situação:

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