Cap08[1] CONSERVAÇAO ENERGIA

Cap08[1] CONSERVAÇAO ENERGIA

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LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as 10:52

Exercıcios Resolvidos de Dinamica Classica

Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fısica teorica,

Doutor em Fısica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha

Instituto de Fısica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul 91501-970 Porto Alegre, BRASIL

Materia para a QUARTA prova. Numeracao conforme a quarta edicao do livro “Fundamentos de Fısica”, Halliday, Resnick e Walker.

Esta e outras listas encontram-se em: http://www.if.ufrgs.br/ jgallas

Sumario

8.1 Problemas e Exercıcios2

8 Conservacao da Energia 2

tencial2

8.1.1 Determinacao da Energia Po-

tencial9
8.1.3 Conservacao da Energia9
de Atrito9
8.1.5 Massa e Energia12

8.1.2 Usando a Curva de Energia Po- 8.1.4 Trabalho Executado por Forcas

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8 Conservacao da Energia

8.1 Problemas e Exercıcios 8.1.1 Determinacao da Energia Potencial

Uma determinada mola armazena J de energia po- tencial quando sofre uma compressao de cm. Qual a constante da mola?Como sabemos que a energia potencial elastica armazenada numa mola e , obtemos facilmen- te que N/m

Um pedacinho de gelo se desprende da borda de uma taca hemisferica sem atrito com cm de raio (Fig. 8- 2). Com que velocidade o gelo esta se movendo ao chegar ao fundo da taca?A unica forca que faz trabalho sobre o pedacinho de gelo e a forca da gravidade, que e uma forca conservativa. Chamando de a energia cinetica do pedacinho de ge- lo na borda da taca, de a sua energia cinetica no fundo da taca, de sua energia potencial da borda e de sua energia potencial no fundo da taca, temos entao

Consideremos a energia potencial no fundo da taca como sendo zero. Neste caso a energia potencial no topo vale , onde representa o raio da taca e representa a massa do pedacinho de gelo. Sabemos que pois o pedacinho de gelo parte do repouso. Cha- mando de a velocidade do pedacinho de gelo ao atin- gir o fundo, temos entao, da equacao da conservacao da energia acima que , o que nos fornecem/s

Um caminhao que perdeu os freios esta descendo uma estrada em declive a km/h. Felizmente a estrada dispoe de uma rampa de escape, com uma inclinacao de

(Fig. 8-24). Qual o menor comprimento da rampa para que a velocidade do caminhao chegue a zero antes do final da rampa? As rampas de escape sao quase sempre cobertas com uma grossa camada de areia ou cascalho. Por que?

Nota: uso o valor km/h da sexta edicao do livro, em vez dos km/h da quarta, ja que na quarta edicao nao e fornecida nenhuma resposta.Despreze o trabalho feito por qualquer forca de friccao. Neste caso a unica forca a realizar trabalho e a forca da gravidade, uma forca conservativa. Seja a energia cinetica do caminhao no inıcio da rampa de escape e sua energia cinetica no topo da rampa. Sejae os respectivos valores da energia potencial no inıcio e no topo da rampa. Entao

Se tomarmos a energia potencial como sendo zero no inıcio da rampa, entao , onde e a altura final do caminhao em relacao a sua posicao inicial. Te- mos que , onde e a velocidade inicial do caminhao, e ja que o caminhao para. Portanto, donde tiramos que m

Se chamarmos de o comprimento da rampa, entao te- remos que sen , donde tiramos finalmente que sen sen m

Areia ou cascalho, que se comportam neste caso como um “fluido”, tem mais atrito que uma pista solida, ajudando a diminuir mais a distancia necessaria para parar o veıculo.

Um projetil com uma massa de kg e disparado para cima do alto de uma colina de m de altura, com uma velocidade de m/s e numa direcao que faz um angulo de com a horizontal. (a) Qual a energia cinetica do projetil no momento em que e disparado? (b) Qual a energia potencial do projetil no mesmo momento? Suponha que a energia potencial e nula na ba- se da colina ( ). (c) Determine a velocidade do projetil no momento em que atinge o solo. Supondo que a resistencia do ar possa ser ignorada, as respostas acima dependem da massa do projetil? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 2 de 12

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as 10:52(a) Se for a massa do projetil e sua velocidade apos o lancamento, entao sua energia cinetica imediata- mente apos o lancamento e J

(b) Se a energia potencial e tomada como zero quando o projetil atinge o solo e sua altura inicial acima do solo for chamada de , entao sua energia potencial inicial e

(c) Imediatamente antes de atingir o solo a energia potencial e zero e a energia cinetica pode ser escrita co- mo sendo , onde e a velocidade do projetil. A energia mecanica e conservada durante o voo do projetil de modo que donde tiramos facilmente que m/s

Os valores de e dependem todos da mas- sa do projetil, porem a velocidade final nao depende da massa se a resistencia do ar puder ser considerada desprezıvel.

Observe que o tal angulo de nao foi usado para na- da! Talvez seja por isto que este exercıcio ja nao mais apareca nas edicoes subsequentes do livro...

Uma bola de gude de g e disparada verticalmente pa- ra cima por uma espingarda de mola. A mola deve ser comprimida de cm para que a bola de gude apenas alcance um alvo situado a m de distancia. (a) Qual a variacao da energia potencial gravitacional da bola de gude durante a subida? (b) Qual a constante da mola?(a) Neste problema a energia potencial possui dois termos: energia potencial elastica da mola e energia potencial gravitacional. Considere o zero da energia potencial gravitacional como sendo a posicao da bola de gude quando a mola esta comprimida. Entao, a energia potencial gravitacional da bola de gude quando ela esta no topo da orbita (i.e. no ponto mais alto) e , onde e a altura do pon- to mais elevado. Tal altura e m.

Portanto J

(b) Como a energia mecanica e conservada, a energia da mola comprimida deve ser a mesma que a energia potencial gravitacional no topo do voo. Ou seja,

, onde e a constante da mola.

Portanto, N/m

Observe queN/m N/m N/cm que e a resposta oferecida pelo livro-texto.

Uma bola de massa esta presa a extremidade de uma barra de comprimento e massa desprezıvel. A outra extremidade da barra e articulada, de modo que a bola pode descrever um cırculo plano vertical. A barra e mantida na posicao horizontal, como na Fig. 8-26, ate receber um impulso para baixo suficiente para chegar ao ponto mais alto do cırculo com velocidade zero. (a) Qual a variacao da energia potencial da bola? (b) Qual a velocidade inicial da bola?(a) Tome o zero da energia potencial como sendo o ponto mais baixo atingido pela bola. Como a bola esta inicialmente a uma distancia vertical acima do pon- to mais baixo, a energia potencial inicial e , sendo a energia potencial final dada por .

A variacao da energia potencial e, portanto,

(b) A energia cinetica final e zero. Chamemos dea energia cinetica inicial, onde e a velocidade inicial procurada. A barra nao faz trabalho algum e a forca da gravidade e conservativa, de modo que a energia mecanica e conservada. Isto sig- nifica que ou, em outras palavras, que de modo que temos

Umblocode kg e encostado numa mola num plano in- clinado sem atrito e com uma inclinacao de graus. A mola em questao, cuja constante vale N/cm, e com- primida cm sendo depois liberada. A que distancia ao longo do plano inclinado e arremessado o bloco? http://www.if.ufrgs.br/ jgallas Pagina 3 de 12

LISTA 2 - Prof. Jason Gallas, IF–UFRGS 24 de Setembro de 2005, as 10:52Quando o bloco e liberado, toda energia potencial elastica armazenada na mola transforma-se em energia potencial gravitacional, que e usada para levantar o cor- po verticalmente de uma altura . A conservacao de energia nos diz que

Portanto, m

Chamando de a distancia percorrida ao longo do pla- no, temos que sen , donde tiramos a resposta procurada:

sen m

Uma mola pode ser comprimida cm por uma forca de

N. Um bloco de kg de massa e liberado a par- tir do repouso do alto de um plano inclinado sem atrito cuja inclinacao e . (Fig. 8-30). O bloco comprime a mola cm antes de parar. (a) Qual a distancia total percorrida pelo bloco ate parar? (b) Qual a velocidade do bloco no momento em que se choca com a mola?A informacao dada na primeira frase nos permite cal- cular a constante da mola: N/m

(a) Considere agora o bloco deslizando para baixo. Se ele parte do repouso a uma altura acima do ponto onde ele para momentaneamente, sua energia cinetica e zero e sua energia potencial gravitacional inicial e, onde e a massa do bloco. Tomamos o zero da energia potencial gravitacional como sendo o ponto onde o bloco para. Tomamos tambem a energia potencial inicial armazenada na mola como sendo zero. Suponha que o bloco comprima a mola uma distancia antes de parar momentaneamente. Neste caso a energia cinetica final e zero, a energia potencial gravitacional final e zero, e a energia potencial final da mola e

. O plano inclinado nao tem atrito e a forca normal que ele exerce sobre o bloco nao efetua trabalho

(pois e perpendicular a direcao do movimento), de modo que a energia mecanica e conservada. Isto significa que

, donde tiramos que m

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