Demonstração do teorema de Pitágoras

Demonstração do teorema de Pitágoras

Teorema de Pitágoras: Demonstração do Teorema de Pitágoras

Claudines Venancio da Silva

UNIMESP - Centro Universitário Metropolitano de São Novembro/2006

Sinopse: Este estudo apresenta a historia e alguns exemplos de demonstrações do Teorema de Pitágoras, também faz comparação dos livros didáticos que abordam o tema mostrando suas diferenças.

Introdução

Este estudo apresenta a historia e alguns exemplos de demonstrações do

Teorema de Pitágoras, também faz comparação dos livros didáticos que abordam o tema mostrando suas diferenças.

Foram pesquisados os seguintes livros didáticos: Matemática hoje é feita assim, Antônio José Lopes Bigode. 7ª série. A conquista da matemática, Giovanni Castrucci e Giovanni Jr. 8ª série. Matemática & interação Clélia Martins Isolani, Diair Terezinha lima Miranda, Vera

Lúcia Andrade Anzzolin e Walderez Soares Melão 8ª série.

É proporcionar uma aprendizagem significativa dos conteúdos desta disciplina, de maneira que proporcione ao aluno reconhecer um conteúdo aprendido e solucionar problemas.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (Brasil, 1998, p.89) sugerem que o ensino deste teorema tenha como abordagens as "verificações experimentais, aplicações e demonstração do Teorema de Pitágoras", que podem contribuir para uma aprendizagem significativa deste conteúdo.

Justificativa

O ensino da matemática ajuda preparar o indivíduo para cidadania e servir para uma carreira em ciência e tecnologia.

Conforme os PCNs o objetivo geral da matemática é Identificar os conhecimentos matemáticos como meios para compreender e transformar o mundo e perceber o caráter de jogo intelectual, característicos da matemática, como aspecto que estimula o interesse, curiosidade, o espírito de investigação e desenvolvimento das capacidades para resolver problemas.

Nos PCNs também encontramos que fruto da criação e invenção humanas, a matemática não evoluiu de forma linear e logicamente organizada. Desenvolveu-se com movimentos de idas e vindas, com rupturas de paradigmas. Freqüentemente um conhecimento foi amplamente utilizado na ciência ou na tecnologia antes de ser incorporado a um dos sistemas lógicos formais do corpo da matemática. Exemplos desse fato pode ser encontrados no surgimentos dos números negativos, irracionais e imaginários. Uma instância importante de mudança de paradigma ocorreu quando se superou a visão de uma única geometria euclidiana, para aceitação de uma pluralidade de modelos e geométricos, logicamente consistentes, que podem modela a realidade o espaço físico (Marcus Pechel).

A matemática desenvolveu-se seguindo caminhos diferentes nas diversas culturas. O modelo de matemática hoje aceito, originou-se com a civilização grega, no período que vai aproximadamente de 700 a.C. a 300dc., abrigando sistemas formais, logicamente estruturados a partir de um conjunto de premissas e empregando regras de raciocínio preestabelecidas. A maturidade desses sistemas formais foi atingida no século XIX, com o surgimento da teoria dos conjuntos e o desenvolvimento da lógica matemática.

Contexto Histórico

Está apresentação procurará apresentar uma breve historia de um dos mais conhecidos Teorema da Geometria, mostrado como ele surgiu e como provar a sua veracidade, além das aplicações que se pode fazer dele em outras ciências. O objetivo é despertar no aluno o interesse pela investigação e pela história da matemática.

Pitágoras ( 570-500 A.C. ) foi um matemático grego tendo sido também líder religioso, místico, sábio e filosofo . Nasceu na cidade de Samos, uma ilha no mar Egeu, e mais tarde em Crotona na Magna Grécia, correspondente hoje ao Sul da Itália. Viajando a Mileto, uma cidade Grega 50 quilômetros ao Sudeste de Samos, seu grande mestre matemático foi Tales (624-546a.c) considerado o fundador da matemática Grega.

Segundo pesquisa dos historiadores , Pitágoras viajou para o Egito e para a

Babilônia, onde é provável que tenha se encontrado com o profeta Daniel. É também provável que tenha estudado na Índia. Sua crença na re-encarnação talvez tenha origem Indiana esses são relatos históricos ( KALEF, A. M. R., REI, D.M. e Garcia ).

A Escola Pitágorica

A escola Pitágorica se origina de uma escola filosófica no sentido histórico cuja existência se prolongou por mil anos desde sua fundação. A aceitação de vida e as doutrinas posta a Pitágoras conforme aceitação da escola, recebeu o nome de Pitágorismo. Segundo relato dos matemático a escola de Pitágoras aceitava a doutrina das almas e na re-encarnação e tinham a auto-reflexão como um dever consciente e imprescindível na espiritualização da vida. A respeito dessa espiritualização, incluía estudos de matemática, astronomia e musica, o que lhe imprimiu um caráter também cientifico, no sentido moderno da palavra. O estudo da matemática confundindo-se com a filosofia, pois tudo é numero e era feito para promover a harmonia da alma com o corpo.

Dentre os princípios filosóficos que norteavam a escola Pitágorica, destacam-se: a alma é imortal e os princípios da matemática são os princípios de todas as coisas.

Comparando os Livros Didáticos

1º livro: “matemática & integração” 7ª série ( Antônio José Lopes Bigode ) Este livro mostra de forma clara e licita as demonstrações. O que mais chamou atenção, é que o autor inicia com aplicações o teorema de Pitágoras e não com definição, ele vai aplicando através de exemplos como um cartaz em exposição do artista plástico Suíço Max Bill, onde fez num importante museu de arte na cidade de Barcelona. O autor pegou como referência para ensinar , uma maneira interessante que levam aos alunos ficarem atentos em sala de aula. A forma das figuras são claras, coloridas etc.

Para compreender as aplicações, sem definição, precisa que os alunos prestem muito atenção nas demonstrações, é o segredo deste livro diferente, dos outros que começa com definições.

Enfim as maneiras colocadas pelo autor ( Bigode ), estimula aos alunos aprenderem e prestarem atenção em tudo, como nas figuras, nas cores, nos materiais usados etc., e saber distingui se o livro é fraco ou não. Vejamos um exemplo muito conhecido nos tempos dos gregos.

Os antigos egípcios usavam um método, no mínimo curioso, para medir e demarcar suas terras. Utilizavam uma corda com trezes nós distribuídos em intervalos iguais:

Figura 1: Matemática & Interação.1999. 104p.

Essa corda era fixada ao chão através de três estacas colocadas em pontos estratégicos.

Figura 2: Matemática & Interação.1999. 104p.

Se a corda ficasse bem esticada, o ângulo formado pela segunda estaca era reto. Enquanto os egípcios faziam e desfaziam nós, os hindus iam um pouco mais além. Eles sabiam, por exemplo, que triângulos com lados medindo 6, 8 e 10; 9, 12 e 15; 12, 16 e 20; 15 e 25 etc. eram triângulos retângulos. 2º livro: “A Conquista da Matemática” 8ª serie (Giovanni Castrucci e Giovanni Jr.). O autor começa com definições, explicando o que é um triângulo retângulo quando tem um ângulo reto. As demonstrações são boas, de maneira tradicional, mostrada passo a passo para os alunos como chegar ao teorema de Pitágoras. Tem alguns exemplos bastante interessante que fazem com que eles trabalhem em grupos e aprendam como resolvê-lo, e também nos mostra a reconhecer figuras em nosso cotidiano. Alguns exemplos:

Figura 3: A Conquista da Matemática. 1998. 63p. Note que:

•Os segmentos AB e CD são paralelos e perpendiculares a uma mesma reta.

trapézio

•Como x+y=90, então z=90. Assim, triangulo I também. Calcular a área do trapézio de duas maneiras:

Área do trapézio = ( base maior + base menor ) h/2

Área trapézio = ( b + c ) . b + c/2 = b2 + 2bc + c2 / 2

Igualando os dois resultados, 2bc + a2 /2 = b2 + 2bc + /2 logo, a2=b2 + c2 3º livro: “Matemática & Interação” (Clélia Maria Martins Isolani, Diair Terezinha l

Miranda, Vera Lúcia A Anzzolin, Walderez S Melão).

O livro mostra varias figuras indicando, onde podemos ver os ângulos retos que estão presentes nas diversas situações do nosso cotidiano, e nos ensinam como resolver um problema de Pitágoras.

Conforme o autor Pitágoras e seus seguidores tinham uma espécie de sociedade secreta e, por isso, suas descobertas eram pouco divulgadas. Não se sabe exatamente qual foi a demonstração que Pitágoras deu ao teorema que leva o seu nome.

Figura 4: Matemática Hoje é Feita Assim. 200. 335p.

1) O bloco retangular calcular a medida da diagonal, usando o teorema de

Pitágoras.

a) Aplicando Pitágoras no triangulo ABD ( Â reto ), temos DB2 = 2 + 62.

b) Aplicando Pitágoras no triângulo HDB ( D reto ), temos:

Logo, HB2 = 49. Portanto, HB = 7 cm.

Conclusão dos Livros Didáticos

Analisando os três livros didáticos cada um procuram mostrar e da melhor forma possível, tanto para o aprender do aluno do curso de matemática, quanto para o ensino fundamental e colegial. Eles usam linguagem formal sem complicação e cada com seus charme de ensinar matemática nas suas aplicações e definições.

Enfim as comparações que abordaram sobre esse grande filosofo matemático foram de um aprendizado em todos os sentidos, principalmente nos fez a reconhecer figuras, colaboro incentivando no aprender, e persistir nas horas difícil.

Algumas Demonstrações

bc-a

A demonstração do presidente: James Abram Garfield, presidente dos Estados

Unidos durante apenas 4 meses (pois foi assassinado em 1881) era também general e também gostava de Matemática. Ele deu uma prova do Teorema de Pitágoras baseada na figura abaixo.

A área do trapézio com bases a, b e altura a + b é igual à semi-soma das bases vezes a altura. Por outro lado, a mesma área é também igual à soma das áreas de 3 triângulos

Demonstração do Michael Hardy:

Demonstração do Teorema de Pitágoras: Começaremos consideramos quatro triângulos iguais:

Figura 7: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

Nesses triângulos, as medidas a,b e c não têm um valor determinado. Elas são variáveis, podendo ser quaisquer números adequados. Por isso, podemos dizer que o triangulo retângulo de lados medindo a,b e c representa todos os infinitos triângulos retângulos existentes.

Mesmo sem saber as medidas especificas dos lados e dos ângulos do triângulos (com exceção ao ângulo reto) podemos garantir que os dois ângulos somam 90º.

Figura 8 : Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

Isso acontece porque a soma das medidas dos ângulos, que é 90º + x + y , tem que dar 180º. Assim sendo, x + y tem que ser 90º .

Agora vem a parte engenhosa dessa demonstração. Os quatro triângulos podem ser arrumados assim:

Figura 9 : Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

O contorno dos mesmos forma um quadradão em que cada lado mede b + c. No miolo forma-se um quadrilátero com lados iguais ( todos têm medida a ), que parece ser um quadrado. Para termos certeza de que se trata de um quadrado, devemos provar que seus ângulos são retos. Por isso, vamos examinar um dos cantos desse quadrilátero.

Figura 10: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

A soma dos ângulos x, y e z forma um ângulo de meia volta, ou seja: X + y = 180º. Já que x+y = 90º. Então Z, que é a medida do ângulo do quadrilátero de lado a, tem que medir 90º. Vamos arrumar de outra maneira:

Figura 1: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p Também nesse caso forma-se o quadradão de lados medindo b + c.

Figura 12: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

Nesse arranjo, ficam dois “vazios” no quadradão: um quadradinho de lado b e outro quadrado de lado c. ( os ângulos vazios são retos ). Dois quadradão resultado que tem lados iguais, os lados medem b + c

área iguais Figura 13 e 14: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

Se de cada quadradão retiramos os quatros triângulos, as figuras que restarem em cada um deles continuaram tendo áreas iguais de coisas iguais. O que sobra de retiramos os triângulos:

Figura 15 e 16: Descobrindo o Teorema de Pitágoras. 2000. 15p

Concluímos, que portanto, que: a2 = b2 + c2

Essa é a relação de Pitágoras. Está provado o teorema.

Conclusão

O objetivo principal do trabalho apresentado é auxiliar professores no uso das demonstrações matemáticas utilizadas no ensino fundamental e médio, além de causar uma evolução no raciocínio lógico-dedutivo de alunos de matemática, essa é uma das principais preocupações de educadores matemáticos de todo o país. Esta pesquisa proporcionou o conhecimento dos livros didáticos de matemáticas comparando suas aplicações resoluções seus procedimentos nas conclusões.

Referências Bibliográficas

IMENES, M. Luiz; LELIS, Marcelo. Descobrindo o Teorema de Pitágoras. São Paulo: Scipione. 2000. 15p. IBSN 85-262-1244-3.

BIGODE, L. J. Antonio. Matemática Hoje é Feita Assim. 7ª série. São Paulo: FTD. 2000. 335p. ISBN 85-322-4389-4.

Laureano; Bonjiovanni; Vissoto. Matemática e Vida. 2º Grau. Volume 1. 2º Edição. São Paulo: Ática. 1993. 392p. ISBN 85-08-04183-7

GIOVANE, R. José ; CASTRUCCI, Benedito; JUNIOR, G. R. José. A Conquista da Matemática. 8ª série. São Paulo: FTD.1998. 304p. ISBN 85-322-4110-7.

ISOLANI, M.M. CLELIA; MIRANDA, L.T. DIAIR; ANZZOLIN; A. L. VERA; MELÃO, S. WALDEREZ. Matemática & Interação. 8ª série. Curitiba: Módulo. 1999. 104p. ISBN 85- 7397-135-5.

BOYER, B. Carl. Historia da Matemática. 2ª Edição. São Paulo: Editora Edgar Blücher Ltda.1996. 496p. ISBN 85-212-0023-4.

Internet

MODERNA ON LINE. Disponível em: <http://w.moderna.com.br/matematica/smatematicas/cur_desafios/0001> Acesso em: 15 nov. 2006.

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