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Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de Abrantes

Área Interdepartamental de Matemática Engenharia Mecânica

Apontamentos Teóricos de

Álgebra Linear

IntroduçãoÞ Þ I
Capítulo 1Introdução à Lógica Matemática
Capítulo 2 1 Matrizes
1.1. Noções gerais e notação
1.2. Álgebra das matrizes15ÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞÞ Þ
de equações lineares2
1.4. Característica de uma matriz30ÞÞÞÞÞ Þ ÞÞÞÞÞÞÞÞ
1.5. Inversão de matrizes42ÞÞÞ Þ
1.6. Decomposição-47PY
Capítulo 3 60 Determinantes

Índice 1.3. Representação matricial e resolução de sistemas

segunda ordem60
2.2. Determinantes de ordem . Teorema de Laplace618
2.3. Propriedades dos determinantes65
2.4. Aplicações da teoria dos determinantes69
Capítulo 475Matrizes, Determinantes e Geometria Analítica
3.1. Introdução75
3.2. Produto Interno, produto externo e produto misto78
3.3. Representação analítica da recta83
3.4. Representação analítica do plano86
3.5. Posição relativa de rectas e planos89
3.6. Distâncias94
Capítulo 598Valores próprios e Vectores próprios
Apêndice 1Potência de uma matriz106
Apêndice 2Álgebra dos mínimos quadrados108
Apêndice 3Números Complexos112

Introdução

O conteúdo programático da disciplina Álgebra Linear inicia-se com o estudo da

Lógica Matemática, essencial ao raciocínio. A seguir estuda-se a Teoria de Matrizes. Pretende-se, com este estudo, que o aluno adquira novos métodos e técnicas de discussão e resolução de sistemas de equações lineares. O conhecimento destas técnicas é fundamental para a apreensão e domínio de matérias ministradas noutras disciplinas, pois, como é do conhecimento geral, muitos problemas de Física, Química, Mecânica, Electrónica e de outros ramos do saber podem, frequentemente, ser traduzidos num sistema de equações lineares cuja solução, ou apenas discussão, conduz à resolução do problema. Depois das matrizes, seguem-se os Determinantes. Recorrendo aos determinantes, também é possível resolver sistemas de equações lineares. No entanto, eles são utilizados, sobretudo, como método alternativo ao das matrizes para resolver problemas relacionados com a classificação de sistemas de equações lineares. Encontramse problemas desta natureza quando se estuda Geometria Analítica, Transformações Lineares, Valores Próprios e Vectores Próprios, assuntos que também serão abordados na disciplina de Álgebra Linear.

Os apontamentos que se seguem contêm toda a matéria leccionada nesta disciplina. No entanto, não substituem as aulas teóricas e, muito menos, as aulas práticas. Aconselho os alunos a frequentarem as aulas, lerem estes apontamentos e resolverem exercícios, exercícios e mais exercícios. As dúvidas que surgirem (e vão ser muitas) devem ser esclarecidas, o mais rapidamente possível, com um dos professores da disciplina. Para uma boa compreensão da matéria leccionada, é indispensável o conhecimento das técnicas de cálculo em , das operações com vectores, de resolução de equações em e também é necessário ter presente os resultados de geometria analítica no plano e no espaço estudados no ensino secundário.

No decorrer do estudo desta, e de qualquer outra, disciplina é importante ter presente o método de resolução de um problema sugerido por George Polya em A Arte de Resolver Problemas:

Como Resolver um Problema

1) Compreensão do Problema

Qual é a incógnita? Quais são os dados? Qual é a condicionante? É possível satisfazer a condicionante? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita? Ou é insuficiente? Ou redundante? Ou contraditória?

Trace uma figura. Adopte uma notação adequada. Separe as diversas partes da condicionante. É possível anotá-las?

2) Estabelecimento de um plano

Já o viu antes? Ou já viu o mesmo problema apresentado sob uma forma ligeiramente diferente?

Conhece um problema do mesmo tipo ou sobre o mesmo assunto? Conhece um problema que lhe poderia ser útil? Considere a incógnita! E procure pensar num problema do mesmo tipo que tenha a mesma incógnita ou outra semelhante.

Eis um problema do mesmo tipo e já resolvido anteriormente. É possível utilizálo? É possível utilizar o seu resultado? É possível utilizar o seu método? Deve-se introduzir algum elemento auxiliar para tornar possível a sua utilização?

É possível reformular o problema? É possível reformulá-lo ainda de outra maneira? Volte às definições.

Se não puder resolver o problema proposto, procure resolver algum problema do mesmo tipo. É possível imaginar um problema parecido mais acessível? Um problema mais genérico? Um problema mais específico? Um problema análogo? É possível resolver uma parte do problema? Mantenha apenas uma parte da condicionante, deixe a outra de lado; até que ponto fica assim determinada a incógnita? Como pode ela variar? É possível obter dos dados alguma coisa útil? É possível pensar em outros dados apropriados para determinar a incógnita? É possível variar a incógnita ou os dados, ou todos eles, se necessário, de tal maneira que fiquem mais próximos entre si? Utilizou todos os dados? Utilizou toda a condicionante? Levou em conta todas as noções essenciais implicadas no problema?

3) Execução do Plano

Ao executar o seu plano de resolução, verifique cada passo. É possível verificar claramente que o passo está correcto? É possível demonstrar que ele está correcto?

4) Retrospectiva

É possível verificar o resultado? É possível verificar o argumento? É possível chegar ao resultado por um caminho diferente? É possível perceber isso num relance? É possível utilizar o resultado, ou o método, em algum outro problema?

Álgebra Linear 1

Capítulo 1 Introdução à Lógica Matemática são expressões que representam os seres existentes.Designações

Exemplos Portugal, Pedro Nunes, carteira, "!ß& #ßÖ"ß#ß$×ßÞÞÞÞ são expressões a respeito das quais faz sentido dizer se sãoProposições verdadeiras ou falsas.

, Roma é uma cidade francesa, ,$#œ&#$‚%œ#!

Exemplos

Se uma proposição é verdadeira, diz-se que tem o valor lógico , ouverdadeZ "J, se é falsa, diz-se que tem o valor lógico , ou .falsidade0

O universo dos valores lógicos é o conjunto ou .¿œÖZßJלÖ"ß!×

Expressões do tipo "" não é considerada umaObservação:Esta música é bonita proposição em Lógica Matemática, pois pode ser verdadeira para uns e falsa para outros. No entanto, "", já é uma proposição (amanhã já se sabeAmanhã vou ao cinema se é verdadeira ou não).

são designações que nomeiam o mesmo ser.Designações equivalentes

Álgebra Linear2

Introdução à Lógica Matemática são designações equivalentes ( não são $ ' $ '

Duas são se tiverem o mesmo valor lógico.proposiçõesequivalentes

equivalentes (são ambas verdadeiras); etambém são&‚%'œ"&($

"Abrantes é uma cidade" e "O Tejo é um rio" são proposições proposições equivalentes (são ambas falsas).

A cada uma das expressões estánão; e; ou; seentão...; ... se e só se ...;

Operações Lógicas associada uma operação lógica. Respectivamente, negação; conjunção; disjunção; implicação; equivalência.

A) Negação ()µ

A negação de uma proposição é uma nova proposição, que se obtém da:ßµ: anterior antepondo-lhe as palavras "" e que é verdadeira se énão é verdade que: falsa e falsa se é verdadeira.:

Exemplos 1) : Eça de Queirós escreveu os Maias:

: Não é verdade que Eça de Queirós escreveu os Maias. Em linguagemµ: corrente, : Eça de Queirós não escreveu os Maiasµ:

2) : ;: Não é verdade que . Mais;#$‚%œ#!µ;#$‚%œ#!
Álgebra Linear3

Introdução à Lógica Matemática

Para determinar o valor lógico da negação de uma proposição a partir do valor lógico desta, pode-se utilizar a seguinte tabela, designada por .tabela de verdade

B) Conjunção ()•

A conjunção de duas proposições, e , é uma nova proposição que resulta de:; ligar e pelo símbolo (); esta nova proposição () é verdadeira quando e :;•:;e:•; são simultaneamente verdadeiras, e é falsa nos outros casos.

1) : ;: ; : ():#"œ$;&#&:•;#"œ$•&#&Z

Exemplos

2) : é um número primo; : é um número par<&=& : é um número primo é um número par ().<•=&•&J

Podemos definir a conjunção entre valores lógicos através da tabela de verdade:

C) Disjunção

Álgebra Linear4

Introdução à Lógica Matemática

Como a expressão " pode ser utilizada com dois sentidos distintos, tambémou" há dois tipos de disjunção:

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