ESTIMAÇÃO PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL p

ESTIMAÇÃO PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL p

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ESTIMAÇÃO PARA A PROPORÇÃO POPULACIONAL p

Aula ministrada por Prof. Caio Dantas

Cléber da Costa Figueiredo figueiredo @usp. br

Thiago Rodrigo Alves Carneiro thiagorodrigo @ime. usp. br

Estimar uma proporção p

(desconhecida) de elementos em uma população, apresentando certa característica de interesse, a partir da informação fornecida por uma amostra.

Objetivo

Exe mplos:

p: proporção de consumidores satisfeitos com os serviços prestados por uma empresa telef ônica; p: proporção de eleitores da cidade de São

Paulo que votariam em um determinado candidato, caso a eleição para presidente se realizasse hoje; p: proporção de crianças de 2 a 6 anos, do estado de São Paulo, que não estão matriculadas em escola de educação infantil.

p : proporção de alunos da USP que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês;

-Vamos observar nelementos, extraídos ao acaso e com reposição da população;

-Para cada elemento selecionado, verificamos a presença (sucesso) ou não (fracasso) da característica de interesse.

Dois possíveis procedimentos de estimação:

Estimação inter val ar

Estimação pontual

Estimador pontual sendo que

Xdenota o número de elementos na amostra que apresentam a característica;

Oestimadorpontualpara p, também denominadoproporção amostral, é definido co mo

Se observamos o valor kda v. a. X, obtemos

que denominamos estimativa pontual para p.

nk / pˆ = ndenota o tamanho da amostra coletada.

Exemplo 1:Sejam, p:proporção de alunos da USP que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês, e

X:número de estudantes que respondem “sim” em uma pesquisa com nentrevistados.

Suponha que foram entrevistados n= 500 estudantes e que, desses, k= 100 teriam afirmado que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês.

ou seja, 20% dos estudantes entrevistados afirmaram que foram ao teatro pelo menos uma vez no último mês.

A estimativa pontual(proporção amostral) para pé dada por:

Note que, outra amostra de mesmo tamanho pode levar a uma outra estimativa pontual para p.

•Para uma amostra observada, os estimadorespontuais fornecem como estimativa um único valor numérico para o parâmetro.

•Os estimadorespontuais são variáveis aleatóriase, portanto, possuem uma distribuição de probabilidade, em geral, denominada distribuição amostral.

Estimativa intervalar ou intervalo de confiança

Idéia:construir intervalos de confiança, que incorporem à estimativa pontual informações a respeito de sua variabilidade (erro amostral).

Intervalos de confiança são obtidos por meio da distribuição a mostraldo estimador pontual.

Pergunta: Como encontrar ε εε ε ? sendo ε εε εo erro amostralou margem de erro.

A estimativa intervalarcorresponde a um intervalo determinado da seguinte maneira:

Seja P(ε εε ε) a probabilidade da estimativa pontual estar a uma distância de, no máximo, ε εε εda proporção verdadeira p, ou seja,

A probabilidade P(ε εε ε) étambém denominada coeficiente de confiança do intervalo, que denotamos pela letra gregaγ γγ γ(ga ma).

Afirma-se ainda que a estimativa intervalar tem coeficiente de confiança γ γγ γ= P(ε εε ε).

Como X ~ b(n,p)temos que, parangrande, a variável aleatória np - X

For mal men te, p1npn p1np npX p1np n P nnpXnnpPp n

X pP p n

Deste modo, para ngrande, nε Z nε P )P(

Denotando , z

Assim, podemos obter zconhecendo-se γ γγ γ(ou P(ε εε ε)).

temos que

Porexemplo, considere γ γγ γ= 0,80.

zétal que A(z) = 0,90. Pela tabela, temos z= 1,28.

Erro da estimativa intervalar

Da igualdade , n z é imediato mostrar que o erro amostralε εε εé dado por onde zé tal que γ γγ γ= P(-z ≤ ≤≤

Da relação segue que otamanho amostraln, dadosγ γγ γe a margem de erro ε εε ε, tem a forma

, n onde zé tal que γ γγ γ= P(-z≤ ≤≤

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