Baixe adc maple e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! ABC do Maple V Ma To Fu LabMAC-UEM 1998 (www geocities.com/cnumap) Tofi9 20f 19 INDICE é Apresentação * Cap 1 - Primeiros Passos é Cap. 2- Cálculo Diferencial é Integral é Cap. 3- Gráficos em 2 e 3 Dimensões é Cap, 4: Programação Básica é Cap,5- Dicase Referências Apresentação O Maple V é um sistema de computação algébrica bastante popular nos meios acadêmicos e científicos. Similarmente ao sistema Mathema efetuar operações simbólicas e cálculos complexos de uma maneira simples e também possui recursos para program: cálculos numéricos de grande porte, onde o Fortran continua a impera. , é capaz de Há contudo algumas limitações para Nestas notas apresentamos apenas um pequeno tutorial dos comandos básicos do Maple V. O objetivo é tomar o leitor capaz de fazer cálculos simples e programação elementar, bem como plotar gráficos 2D e 3D. Esperamos que o leitor, após ter utilizado estas notas, s lo a explorar por si mesmo as outras possibilidades do Maple V. Os interessados em tópicos avançados tais como Álgebra Linear, Equações Diferencias, Progamação Linear ou Est , poderão encontrar referências e links no final do texto. Este texto é uma versão simplificada e adaptada para a Release 4 das notas de minicursos realizados pelo autor na Universidade Estadual de Maringá entre 1993 e 1997, e no Laboratório Nacional de Computação Científica (LNCCICNPq) em 1995. O autor aproveita para agradecer os professores Doherty Andrade (Maringá) e Jaime Mufioz Rivera (Rio de Janeiro) pelas sugestões e correções apresentadas. O autor também agradece a hospitalidade do LNCC (Petrópolis) onde estas notas foram preparadas. Petrópolis, 18/12/98. 1 Primeiros Passos Nesta primeira parte, através de exemplos, discutiremos alguns comandos que são absolutamente indispensáveis. Toda instrução Maple inicia-se após o sinal ( > Je termina como sinal (; ou (:). As operações aritméticas básicas são feitas com os seguintes símbolos: ) = (subtração) * (mu e subtração e potências são efetuadas antes da multipl parênteses () para agrupar expressões. Porém colchetes [] e chaves () não devem ser utilizados para este fim Para evitar confusões podemos ut Operações Básicas > 5239; a 18 > (LIFAAS(-S+1423); 11264 a Vejamos o que acontece quando esquecemos o sinal de ponto e vírgula (: ) > 283 Warning, incomplete statement or missing semicolon O sistema reclama em azul dizendo que a instrução 243 está incompleta ou que falta um ponto e vírgula. Neste caso devemos voltar e corrigir o problema, A Representação Decimal Podemos usar o comando evalf (avaliar com ponto flutuante) para se obter uma representação decimal de um número. Normalmente, o sistema utiliza dez algarismos si gni > evalf(176/47); 3944680851 > 25%sqrt(2); asa > evalf('"); 35 39533805 Os comandos solve e fsolve também funcionam com sistemas. A sintaxe é a seguinte: solve( ( equações )( i ógnitas ) ) ão das chaves () para representar conjunto de equações e de incógnitas, > equal i=x+ 227 +382=7; equal =s+2y+32=7 | equas := 5x - 2%y = 12; equal=5a-2y= 12 equa6 :=2%x-y + 3% amad=2n-y+57=6 sol := solve( (equad equas equa6) , (x,y) ): e ds mn Er 137739" evalf(sol,13); da = 4 789230769291, a = -3.205128205128, p = 5 923076929077 4 Operações com Polinômios Em computação algébrica também podemos operar polinômios simbolicamente. Consideremos os dois polinômios abaixo, > pis xA4-xA3- 108x424 10%x+ 6; to gio tela Or +6 > que xi dexa x + 6; 2 a 4x +a+6 Escrevendo p (x) em fatores primos: > factor(p); taoapgrasê cdr?) Dividindo p (x) por q (x): > p/g; 1 10x) 410246 vara rs Normalizando (simplificando) a expressão racional acima: > normal("); Ainda podemos converter a expressão racional acima em frações parciais > convert(p/q, parfrac, x); Comandos Diversos Agora veremos mais alguns comandos que poderão ser úteis. Observe que o símbolo ( & ) é um sinal de comentário e o que vem depois não é levado em consideração pelo Maple. > 331; é fatorial de 33 B6R331761 86] 1826455518 1544 028000000 Sof 19 Gof 19 ifactor("); & fatoração em primos do inteiro acima eee et a ul am 0 0 2 CD ged(34,51); £ máximo divisor comum entre 34 e 51. 1 > lem(2,4,5); £ mínimo múltiplo comum entre 2,4 e 5. 2 > (3541) *(1+D); £ multiplicando dois complexos. B-21 > convert(90*degrees, radians); É convertendo graus em radianos. 1 E > max(1,20,13); 4 máximo entre 1, -20 e 13. q .5); com S (maiúscula) indica uma somatória. sum(k42, k=1..5); é com s (minúscula) calcula a somatória. Sum(1A "2, k infinity); É somatória infinita. value(S10); £ value (valor de). Comentários Finais Via de regra, Maple imprime (na tela) todos resultados quando executados com ( ; ). Se quisermos que o resultado seja calculado mas não impresso, devemos então substituir (.; ) por (:) > ano := 1998: £ usamos dois pontos. Observe que o Maple não escreveu nada na tela. Mas o valor 1998 foi de fato atribuído à constante ano > ano; 1592 Para se saber sobre outros comandos e funções não abordados aqui, o leitor poderá executar ?contents (no Maple VR4) e ?introduction (no MapleVR5) . Em alguns casos podemos obter mais informações sobre um assunto executando o símbolo de interrogação seguido do assunto. Por exemplo, para se saber sobre trigonometria executa-se 2trig > rig 2 Cálculo Diferencial e Integral Neste Capítulo discutiremos alguns dos aspectos práticos do Cálculo Diferencial e Integral de uma variável real Aproveitamos para sugerir a ut de comando restart (reiniciar) que faz com que o sistema "limpe" a memória do Maple. Os símbolos e letras já atribuídos anteriormente ficam também liberados. É como (quase) se o Maple fosse recarregado. > restart; Calculando Limites Os limites podem ser calculados com o comando limit , que pode ser aplicado às funções e expressões. x-> (x1245)/(x/3); 4 definindo uma função. nas dios 3 z > limit(f1G), x=1); É limite para x tendendo a 1. 5 > limit(fl(%), x=infinity); 4 limite para x tendendo a infinito. q sin(x)/x; £ definindo uma expressão contendo x. Observe que 4? não é uma função para o Maple, mas tão somente uma expressão contendo a variável x . Portanto no comando limit escrevemos £2 e não 26) > limit(f2, x=0); > limit(f2(9,x=0); & não faz sentido. sinta (=) ao 2 Para se calcular limites laterais basta acrescentar as opções left (esquerda) ou right (direita). Vejamos um exemplo com a função tangente tan > limit(tan(x), x=Pi/2, left); > limit(tan(9), x=Pi/2, right); = izar o comando Limit com a letra L maiúscula. A sintaxe é a mesma. =,249) aim Se desejamos apenas indicar um limite, então podemos ut > Limit(x42*sin(1/x), x=0, right); > value("); Cálculo de Integrais As integrais indefinidas ou definidas são obtidas através do comando int (com letras minúsculas). Também podemos usar o comando Int (com letra i maiúscula) no caso de querermos a integral apenas indicada. > 13 -> a?x42; definindo uma função. ficas > Int(f3(x), x); feta > int(f3(x), x); Los 3 > int(In(x),x); abéni=a Para se calcular integrais definidas precisamos fornecer os limites de integração. A notação ..b significa que o x varia de a até b Tof 19 10 0f 19 diff int Int limit Limit series unapply dsolve tem muitos outros comandos para o E culo de derivadas e integrais. Explore os tutoriais contidos em ?eontents ou ?introduction , conforme o caso Para se fazer trabalhos mais específicos com equações diferenciais é fundamental consultar os textos especializados. O leitor poderá começar por experimentar ?dsolve 3 Gráficos em 2 e 3 Dimensões Os gráficos de funções de uma ou duas variáveis são produzidos através das funções plot e plot3d . Algumas expressões de três variáveis podem ser plotadas utilizando-se a opção implicit > restart; Funções de uma Variável A sintaxe bi de plot é a seguinte: plot( função , domínio , contra-domínio , opções ) O do io de uma função KZ) io não é obrigatório e serve para fazer um controle vertical do g Entre as opções do comando plot usaremos o title (título), o color (cor) e o discont=true (funções com descor > plot(sin(2*x), x=0..4); os 05) no > plot(In(x), x = 0.3, title="Logaritmo Natural); Logantima Matural a a a x*sin(o); > plot(fl, x=0..10, color=blue); é cor azul. 1 A função flzh= “& possui uma desco x lade (de segunda espécie) em x= 0. Vejamos o seu gráfico com a imagem (eixo vertical) variando de 1 a 1 > plot(1/xA2, x=-: 3, 0..10, discont=true); “4 a Para se plotar dois gráficos simultaneamente escreve-se as duas funções entre chaves () > plot( Ex.sqrtG)), x=0..1, title="2 gráficos); a gráficas og 05 04 02 a a a m Gráficos de Funções de Duas Variáveis Os gráficos de funções reais de duas variáveis são tridimensionais. O comando Maple utilizado neste caso é o plot3d > plot3d(x*sin(y), x= 1 of 19 Dofl9 > 2 := xSexp(-x12-y12); > plot3d(f2, x=-2..2, y=-2.2); Comandos Especiais em Plots O Maple possui uma biblioteca especialmente dedicada a confecção de gráficos. O acesso à esses comandos se faz executando with(plots) . Então poderemos plotar figuras cilíndricas, funções implícitas, coordenadas polares, etc... > with(plots); [omimate, amtemetsSa, chamgecoonds, complearios, complexplotia, confomeal, comtsurrior, contemrplosia, coerdelos, cosrdplotãd, cytialarplol, clrecitypiot, cigpiar, cbgplario, foloplot, Soiariatid, radplot, radploidd, ingpiiciidoé. | inplicitplot3d, insquel, isicorípiot, iistooeipdor dd. hetdeastyplo!, hstpiot, fstpiotia, logiogpiot, jogpiot, eratrinplot, I odepioe, parvto, poiaipiot, pontplotia, solempios, potgronrlot, polmoapiae Sd, polwesdranlor, reploé, rstoeue, semilogpio!, satopfics, setaptonsid, epacscurvs, apareensatriapiot, aphersplot, auçílata, testplot, textelottd, tubepivt] Veremos como utilizar os comandos contourplot (curvas de nível) e spacecurves (curvas parametrizadas). > contourplot(£2, x=-2..2, y=-2..2); é curvas de nível da £2 acima. TO] TO) 15 4 5d 0 Ts > spacecurve([cos(t)sin(t),t], t=0..20, title="Espiral'); Espiral 150f 19 25 1 A representação de sequências indexadas no Maple se faz com colchetes [] - Vamos escrever os 5 primeiros termos da seguência Ji = [77 > for k from 1 to 5 do > vlk] A) > od; Em processos iterativos (recursivos) devemos utilizar o conceito da reatribuição dinâmica de variáveis. Digamos que estamos interessados em somar os E= 841 números de 1 a 100. Para isso começamos com a soma Na primeira etapa fazemos (agora $ vale 1). Na segunda etapa fazemos $=$+2 (agora S vale 3). Na terceira etapa fazemos S=5'+3 (agora S vale 6). Na quarta etapa fazemos “= 5+4 (agora S vale 10), e assim 166 . a s” . eo sucessivamente. Ao chegarmos na centésima etapa teremos É= +, . Vejamos como essa soma é obtida no Maple. s=1 $=0 Sizraa Final = 5050 Agora podemos estudar um exemplo tipicamente acadêmico. O problema é o cálculo da raiz quadrada iz quadrada de a . En aproximações sucessivas. O alg dj (arbi Método de Newton, é muito simples. Suponhamos que se quer calcular a a partir de um valor in 8 ATE quadrada de a é o limite da sequência "p onde fp = fa 1f | ,É=1,23 ,.. Vamos obter o valor aproximado de 4) 113 com mo "= |, fazendo-se somente 5 iterações. > rs; m=1 > for k from 1 to 5 do > 0.5 * (rr + 113%rr) > od; m=615 rr= 393699197 rr =39LLST8079 361414 zeL5A7283 160f19 > sqrt(11.3); 3361547263 Comandos de Seleção Os comandos de seleção (ou de desvio) são ut idos para se decidir se um certo valor satisfaz ou não uma certa condição. Essas condi pelas relações = (igualdade), < (menor que), > (maior que), <= (menor ou igual), >= (maior ou igual) e <> (diferente). Os operadores lógicos são: if (se), elif (ou se), else (ou então) e then (então). Trabalha-se com o seguinte esquema: if-then-elif-then-else-fi > ifl=2 then AZUL > else VERMELHO > fi; VERMELHO | > àf 1 > 10 then print(GRANDE) > elif 1 <-10 then print(PEQUENO) > else print(MEDIO) > fi; MEDIO Procedimentos Maple Veremos agora uma forma muito prática de se construir pequenos programas "executáveis". No Maple são chamados procedure (procedimento). À sintaxe para se contruir procedimentos é a seguinte: Nome := proc( argumentos ) instruções contendo os argumentos end É claro que existem muitas outras opções a serem consideradas. O leitor poderá consultar o tutorial em ?2proe . O primeiro procedimento que escreveremos mostra a soma de 2 números dados. > Soma := proc(x,y) > printCA soma procurada É, x+y) > end; cl.) print UA oraa proesanade é, 1 +) emd proc > Soma(2,2); A sua precaneda à, 4 > Soma(alpha, beta); À sora procurada 6. + Ê Definindo Funções com Procedimentos Os procedimentos Maple são na verdade funções dos argumentos de entrada. Logo também podemos utilizar o comando proc para definir funções. ss. Vejamos como definir a função 1.2) =x de duas maneiras diferentes. => x"3ºsqrt(9); £ maneira usual. gerord > 87) a > 12 := proe(x) x"3ºsqrt(x) end; 12 = procia) 5º Pesqri(a) end proc | > 147); I7of 19 347 Certas funções podem exigir algum conhecimento em programação para serem definidas. Vamos construir uma função que vale 1 para 7 <0 e cos(lhxy pura 05x > [3 := proc(x) if evalfx) < O then 1 > else cos(10,0*x) > fi > end; “5 = porta) if emalitr) «O them 1 else cos( 10047) end if end proc > BC); 1 > BM); - BSS0PLSDDI plot(£3, -1..1); os os TD6 DE Da 03 d2 04 TE DE Comentários Finais As técnicas de programação são geralmente objetos de muitos livros e manuais. Entretanto, esperamos que o leitor acredite que a programação Maple é acessível e bastante intuitiva. Veja as referências do Capítulo 5. 5 Dicas e Referências Funções Especiais (Pacotes) Os comandos específicos para Equações Diferenciais, Álgebra Linear, Estatística, Gráficos, etc... estão colecionados separadamente em pacotes (bibliotecas de funções ). Uma lista completa pode ser vista executando-se ?index[package] . Esses pacotes são carregados com auxílio do comando with . Veremos a seguir alguns exemplos do pacote linalg , que são específicos para matrizes, vetores e transformações lineares. > restart: > with(linalg); Warning, new definition for norm Warning, new definition for trace [BlacêOhagomas, Orar domide, dordanBlacã, 4 Têca, QRdacong, Wronckian, addcal, adro, adj, aqjoint, amgls, onagome, Banca, Biame, basis, Bazant. blackmatras, chart, charpely, elolecioe col, colabos, eolgpaçe, colapom, consamior, comcat, cond, copyinto, crossprod, cur), olgfmito, delcoie, dalreve, det, dog, chverge, dofprod, nigemals, eipeavodess, eponvectars, epeavects, entormatris, equal, axpomential, satend. feras snêica, Abramo, farmordod, Srobentes, pauessêua, gomegrora, pamaqas, pemmalria. grad, Radamard, heruméis, hessuus, Inlbevt, ftranapass, ifermite, indonfiuno, inmarprad, inibosis, invarsa, isoeith, issirondar, úsroro, jacobicos, jordare, Raras), Explaciza, Egotogrs, bruvs, atada, mairar, exincr, matnposh, eraleo, eulromo, erulbipio, morra, moremahizs, mullgpace, orthog, permanent, prvcé, | polemtal, nendosgirir, ramêuscior rank, najfores, row, rouba, romepacs, rovapars, roçé, soaiarmenl, cimguiamele, comitto, ctoik, cubreatrir, selrumctor, cumbasis, svezpeal, smaprow, quusetar, fognhtz, trace, traneposa, vaedarmaovads, verpotent, vestêira, vector, mransiias ]