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PUCMinas

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE MINAS GERAIS

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Notas de Aula

Análise de Sistemas Lineares I

e

Modelamento

2007

Profª. Rosely Maria Velloso Campos
PUC.Minas

Notas de Aula

Análise de Sistemas Lineares I

e

Modelamento

2007

São notas da matéria que visam orientar

e auxiliar o aluno na aprendizagem do

conteúdo da disciplina.

Sumário

Unidade I

  • Conceitos básicos........................................................................................04

  • Exemplos de sistemas de controle..............................................................04

Unidade II

  • Revisão de transformada e transformada inversa de Laplace....................05

  • Representação de sistemas físicos em equações diferenciais...................11

  • Função de Transferência.............................................................................18

  • Sistemas representados em diagramas em bloco.......................................33

  • Sistemas representados em diagramas de fluxo sinal................................46

  • Sistemas Análogos......................................................................................50

  • Análise de Fourier........................................................................................57

Unidade III

  • Variáveis de estado.....................................................................................68

  • Função de transferência de sistemas em espaços de Estado....................70

  • Modelos de estados em Diagrama de Fluxo de Sinal.................................78

Unidade IV

  • Análise da resposta em Regime Transitório e em Regime Permanente.....84

  • Sinais de entrada para teste........................................................................87

Unidade V

  • Desempenho do sistema de 1ª ordem.........................................................89

  • Localização das raízes nos planos ‘s’..........................................................98

  • Desempenho do sistema de 2ª ordem.......................................................102

UNIDADE I

CONCEITOS BÁSICOS:

SISTEMA

É quando uma ou mais variáveis de saída são controladas por uma ou mais variáveis pré-estabelecidas.

Sistemas do tipo SISO (uma entrada e uma saída) ou MIMO (múltiplas entradas e múltiplas saídas).

PROCESSO OU PLANTA

Conjunto de equipamentos e softwares usados com o objetivo de controlar uma ou mais variáveis. Ex.: processos químicos, térmicos, etc.

MODELOS

O Modelo é a representação de um sistema físico.

Modelo Matemático: é representado por equações matemáticas podendo ser equações diferenciais.

Modelo Linear: modelo onde se aplica o princípio da superposição, ou seja, a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas excitações diferentes é igual à soma das duas respostas individuais a cada uma das excitações.

Modelo Linear Variante e Invariante no Tempo

Modelo Paramétrico: modelo onde os parâmetros são conhecidos.

Modelo estocástico: modelo levantado a partir de amostras e equações estatísticas.

EXEMPLOS DE SISTEMAS DE CONTROLE

1) Exemplo de um motor – Sistema em Malha Aberta

Considerando que o operador não faz parte do processo, o sistema é de malha aberta. Ou seja, caso haja variação na carga, a velocidade na saída irá variar, mas como não existe realimentação (sensor) não é possível a correção automática.

2) Transformando o exemplo 1 em Malha Fechada.

Sistema em malha fechada: sistema com realimentação.

UNIDADE II

REVISÃO DE TRANSFORMADA E TRANSFORMADA INVERSA DE LAPLACE

Conceito: por definição,

Exemplos:

1º) Considerando a função no tempo como uma constante. (5V, 25ºC, etc). Considerando , onde K é constante.

Substituindo na fórmula:

2º) Se:

a), calcule .

b) Se , calcule .

Da tabela tira-se:

3º)Transformada de Laplace de derivadas:

Considerando que, ?

Considerando para todos os casos as CI’s nulas

Exemplos:

a)

b) , onde

c),onde

4º) Transformada de Laplace de integrais:

Considerando que, ?

Transformada Inversa de Laplace:

Após encontrar a solução na freqüência, aplica-se a T.I.L. para obter a solução no domínio do tempo.

Exemplos:

1º)Dada a função, encontre a resposta temporal

Sabendo que:

Usando frações parcias:

Outra maneira:

Substituindo:

Substituindo os valores encontrados:

2º)Calcular a resposta temporal da função na freqüência dada

Aplicando frações parcias:

Substituindo os valores de A, B, C e D:

TEOREMA DO VALOR FINAL

Para analisar a resposta de um sistema em regime estacionário aplica-se o teorema do valor final que é definido por:

Onde é uma função qualquer no domínio do tempo.

REPRESENTAÇÃO DE SISTEMAS FÍSICOS EM EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

MODELOS MATEMÁTICOS DE SISTEMAS

Uma forma de modelar matematicamente um sistema físico é representando-o na forma de equações diferenciais.

A partir de tais equações (modelos matemáticos), pode-se fazer uma análise da resposta no domínio da freqüência e do tempo.

Roteiro:

- Levantar o modelo matemático usando equações diferenciais

- Aplicar T.L. com o objetivo de analisar a variável de saída (variável a ser controlada)

- Aplicar a T.I.L. para obter a resposta no tempo.

- A partir da resposta temporal, faz-se uma análise do comportamento do sistema.

A tensão da fonte conhecida é dada por e deseja conhecer a resposta temporal da tensão do capacitor

Solução:

1º Passo: Levantar o modelo matemático do sistema:

2º Passo: Para encontrar a resposta inicialmente aplica-se a transformada de Laplace.

3º Passo: Encontrar uma equação que relacione a variável de saída em relação a variável conhecida da equação 2.

Substituindo na equação 1:

4º Passo: Encontrar a resposta temporal :

Aplico a transformada inversa na equação encontrada.

Sabendo que a tensão da fonte é uma tensão

Se

Substituindo

, aplicando frações parcias:

Para o capacitor carregar

Considerando:

Considerando as raízes

Substituindo os valores de e :

Aplicando o teorema do valor final, onde:

TEOREMA DO VALOR INICIAL

Considerando a constante de tempo do circuito T=RC

SISTEMA MASSA-MOLA

Dado o sistema M – M:

Partindo da 2ª Lei de Newton:

Sabendo que:

(na posição de equilíbrio)

Conclui-se que:

Considerando um sistema M – M – A:

Encontre o modelo matemático

Solução:

Diagrama de corpo livre

Modelo matemático pela 2ª Lei de Newton:

Encontrar o modelo matemático para o sistema:

Solução:

Fazer o diagrama de corpo livre adotando

OBS: O deslocamento da massa M1 é maior do da massa M2, pois a foca externa foi aplicada na massa M1!

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