Apostila series de fourier

Apostila series de fourier

(Parte 1 de 4)

Introdução às Séries de Fourier

Fabiano J. Santos Julho de 2004

Sumário

Lista de Figuras i

1.1 Funções Periódicas1
1.1.1 Problemas Propostos4
1.2 Relações de Ortogonalidade5
1.2.1 Problemas Propostos6
1.3 Séries de Fourier6
1.3.1 Problemas Propostos13
1.4 O Teorema de Fourier*14
1.5 Simetria ondulatória16
1.5.1 Problemas Propostos2
1.6 Expansões periódicas23
1.6.1 Problemas Propostos27

1 Funções Periódicas e Séries de Fourier 1

2.1 Série de Fourier Complexa28
2.1.1 Problemas Propostos3
2.2 Números Complexos - Formas de Representação34
2.2.1 Problemas Propostos38
2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase38
2.3.1 Problemas Propostos43

2 Séries de Fourier Complexa e Espectros Discretos 28

Formulário 45 Referências Bibliográficas 46

1.1 Uma função periódica1
1.2 Periodo e período fundamental2
1.3 Senóides: sen(x) e cos(x)2
1.4 Onda Quadrada - Período 2pi9
1.5 Onda Triangular - Período 21
1.6 O conceito de função seccionalmente contínua14
1.7 Simetrias par e ímpar16
1.8 Função par: áreas nos intervalos [−L,0] e [0,L] iguais com mesmo sinal18
1.9 Função ímpar: áreas nos intervalos [−L,0] e [0,L] iguais com sinais contrários18
1.10 Função periódica f(x) = x2, −1 ≤ x < 1, Período 220
1.1 Onda Dente de Serra - Período 2pi21
1.12 Função sobre o intervalo [0, a] e sua expansão periódica23
1.13 A função f(x) = x no intervalo [0,pi] e sua expansão periódica24
1.14 Expansões par e ímpar de uma função definida sobre o intervalo [0,a]25
1.15 Expansão par da função f(x) = x definida no intervalo [0,pi]26
2.1 Representação do número complexo z = x + iy no plano complexo35
2.2 Alguns números complexos e suas respectivas fases (argumentos)36
2.3 Alguns números complexos - forma cartesiana e forma fasorial37
2.4 Espectro de amplitudes da onda dente de serra da Figura 1.140
2.5 Espectro de fases da onda dente de serra da Figura 1.140
2.6 Espectro de amplitudes do Exemplo 2.542
2.7 Espectro de fases do Exemplo 2.543
2.8 Espectros do Problema 2.1343
2.9 Espectros do Problema 2.144

Lista de Figuras i

Capítulo 1 Funções Periódicas e Séries de Fourier

1.1 Funções Periódicas

Uma função f é dita periódica se existe um número real positivo T, denominado período de f, tal que f(x) = f(x + T), (1.1) para todo x no domínio de f. Conforme mostrado na Figura 1.1, o gráfico de uma função periódica é obtido pela repetição de qualquer intervalo de comprimento T.

T T T x

Figura 1.1: Uma função periódica.

Segue da equação (1.1) que se f é periódica de período T então para qualquer n inteiro positivo temos f(x) = f(x + nT), ou seja, qualquer múltiplo inteiro positivo nT do período T também é um periodo de f. O menor valor de T que satisfaz a equação (1.1) é chamado período fundamental de f. Qualquer período de f é um múltiplo inteiro do período fundamental. A Figura 1.2 ilustra tal conceito. A freqüência de uma função periódica é definida como o inverso de seu período

T Período fundamental

Figura 1.2: Periodo e período fundamental.

e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em x. Se x é o tempo medido em segundos então a freqüência f é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de freqüência, a qual utilizaremos no estudo das Séries de Fourier, é a freqüência angular, denotada por ω, e definida como

Se T é o periodo fundamental da função f, então sua freqüência (angular) fundamental, denotada por ω0, é dada por

Exemplo 1.1 As funções sen(x) e cos(x), ilustradas na Figura 1.3, são ambas periódicas de período

Exemplo 1.2 A função constante f(x) = c tem como período qualquer número real T > 0 e não possui período fundamental.

As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas. 2

Proposição 1.1 : Seja f uma função periódica de período T, então:

(i) f( x

Provas:

(i) Seja T∗ o período de f( x

. Logo pela hipótese de que f é periódica de período P, concluímos que T = T a ,

Proposição 1.2 : Sejam f1 e f2 duas funções periódicas de mesmo período T, α1 e α2 duas constantes reais quaisquer. A função h definida por também é periódica de período T. Em outras palavras, uma combinação linear de funções periódicas de mesmo período também é periódica, com mesmo período das funções combinadas.

Aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente:

Exemplo 1.3 Como as funções sen(x) e cos(x) possuem ambas período 2pi, pela Proposição 1.1 observamos que:

(i) sen( x

(iv) sen( 2pix

Além disto, ∀n ∈ Z, as funções sen (2npixT e cos (2npixT possuem período 2pi

Mas como qualquer múltiplo inteiro do período também é período, concluímos que ambas também possuem período T. Finalmente, pela proposição 1.2, observamos que a função

também é periódica de período T. 3

h(x) = α1f1(x) + α2f2(x) ++ αnfn(x),

dada pela combinação linear de f1,f2,...,fn também é periódica de período T. A prova é análoga à da proposição 1.2 e pode ser obtida pelo princípio da indução.

Extrapolando a proposição 1.3, sejam f1,f2,...,fn,funções periódicas de mesmo período T, a

série infinita dada por

α1f1(x) + α2f2(x) ++ αnfn(x) + ...,

define, para os valores de x nos quais converge, uma função periódica de período T. Assim podemos definir a função

h(x) = α1f1(x) + α2f2(x) ++ αnfn(x) + ...,

tal que h(x) = h(x+T). Esta última afirmação é de fundamental importância, uma vez que trabalharemos com séries infinitas trigonométricas da forma

[ ancos

Observe que cada termo desta série possui período T. Desta forma, para os valores de x nos quais a série converge ela define uma função periódica de período T.

1.1.1 Problemas Propostos

Problema 1.1 Determine se cada uma das funções a seguir é ou não periódica. Caso seja determine seu período fundamental e sua freqüência fundamental.

(h) y = sen( pix

Problema 1.2 Para cada função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de n. Observando este gráfico determine se a função é ou não períódica. Caso seja determine seu período fundamental e sua freqüência fundamental.

1 , 2n ≤ x < 2n + 1 , n = 0, ±1, ±2,
1 , 2n ≤ x < 2n + 1 , n = 0, ±1, ±2,

Problema 1.3 Sejam f,g : R −→ R funções periódicas de mesmo período T. Mostre que

(a) (f + g)(x) = f(x) + g(x) é periódica de período T (isto é, a soma de duas funções periódicas de mesmo período também é periódica);

(b) (f −g)(x) = f(x)−g(x) é periódica de período T (isto é, a diferença de duas funções periódicas de mesmo período também é periódica);

(c) (fg)(x) = f(x)g(x) é periódica de período T (isto é, o produto de duas funções periódicas de mesmo período também é periódica);

Problema 1.4 Seja f : R −→ R uma função periódica de período T e integrável em toda a reta. Mostreque ∫ a+T

(ou seja, independente do intervalo de integração o valor da integral será sempre o mesmo desde que o tamanho deste intervalo seja o próprio período da função. Geometricamente isto é óbvio. Por quê?)

1.2 Relações de Ortogonalidade

Antes de examinarmos com mais detalhes séries trigonométricas da forma (1.2) investigaremos algumas propriedades importantes das funções que a definem. Comecemos relembrando, da trigonometria elementar, as fórmulas para o seno e cosseno da soma e da diferença:

A partir destas fórmulas obtemos três identidades que utilizaremos adiante no cálculo de algumas integrais:

Os resultados do Teorema 1.4 dado a seguir também será importante para nosso trabalho futuro.

Teorema 1.4 (Relações de Ortogonalidade) : se m,n ∈ Z∗+ (inteiros positivos), então:∫ T

0 cos

0 sen

0 cos

As relações (1.5a), (1.5b) e (1.5c) são chamadas relações de ortogonalidade. Provaremos a equação (1.5a) e deixamos as provas das relações (1.5b) e (1.5c) como exercício para o leitor nos Problemas 1.5 e 1.6 respectivamente.

Prova de (1.5a)

• Caso m 6= n. Utilizando a identidade (1.4a) podemos escrever:

∫ cos

)] dx

)] dx

uma vez que m,n ∈ Z∗+, m 6= n, e o seno de múltiplos inteiros de pi é zero.

)] dx

)] dx

4npi sen uma vez que n ∈ Z∗+ e o seno de múltiplos inteiros de pi é zero.

1.2.1 Problemas Propostos

Problema 1.5 Seguindo o mesmo raciocínio do texto utilize a identidade (1.4b) para provar a relação de ortogonalidade (1.5b).

Problema 1.6 Seguindo o mesmo raciocínio do texto, utilize a identidade (1.4c) para provar a relação de ortogonalidade (1.5c).

1.3 Séries de Fourier Voltemos agora às séries trigonométricas da forma

n=1 ancos na qual observamos que todas as infinitas parcelas são periódicas de período T. No conjunto de valores de x para os quais a série (1.6) converge ela define uma função periódica f de período T. Dizemos então que a série (1.6) é a Série de Fourier1 para f e escrevemos

n=1 ancos onde os coeficientes a0, an e bn (n ∈ Z+∗ ) são chamados Coeficientes de Fourier. Como a função f definida por (1.7) possui período fundamental T, sua freqüência fundamental é ω0 = 2piT . Assim reescrevemos a série (1.7) na forma mais conveniente

Raciocinando no sentido inverso, seja f uma função periódica de período fundamental T e freqüência fundamental ω0 = 2piT . Surgem duas questões:

(i) como determinar os coeficientes de Fourier a0, an e bn para que possamos representar f por uma série da forma (1.8)?

(i) quais as condições que devemos impor sobre f para que tal representação seja possível?

Abordaremos agora a primeira questão para a determinação dos coeficientes de Fourier. A segunda, por se tratar de um assunto mais sutil, será comentada mais adiante (seção 1.4) quando já estivermos familiarizados com as Séries de Fourier.

Determinação dos Coeficientes de Fourier

Dada uma função f periódica de período T nosso objetivo é determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Em outras palavras, determinar os coeficientes de Fourier da representação em Série de Fourier para a dada função. Para tal fim lançaremos mão das relações de ortogonalidade anteriormente discutidas.

• Determinação de a0: integramos2 ambos os membros de (1.8) sobre o intervalo [0,T]:

b sen( nω x) dx

sen( nω x cos( nω x

1Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês (1768 − 1830). Fourier utilizou séries da forma (1.6) em seu famoso trabalho Théorie Analytique de la Chaleur, onde estudou os fenômenos de condução de calor. 2Uma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se ela for uniformemente convergente. Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos 1 e 2 da referência [3].

• Determinação de an: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por cos( mω0x) e integramos

Pela equação (1.5c) a segunda integral do somatório é nula. Pela equação (1.5a) a segunda integral do somatório é nula para m 6= n e vale T2 para m = n. Assim temos

2nω

2nω

2nω uma vez que sen( 2npi)

= 0 ∀n ∈ Z. Assim o coeficiente an é dado por

• Determinação de bn: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por sen( mω0x) e integramos sobre o intervalo [0,T]. Fica a cargo do leitor, Problema 1.13 da página 14, verificar que

As equações (1.9a), (1.9b) e (1.9c) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier e se destinam ao cálculo dos Coeficientes de Fourier da série (1.8) para uma dada função f periódica de período T. Na dedução destas Fórmulas integramos sobre o intervalo [0,T], mas como onde ω0 = 2piT , são todas periódicas de mesmo período T, os resultados dos Problemas 1.3 (página 4) e 1.4 (página 5) nos mostram que tal integração poderia se dar sobre qualquer intervalo de comprimento

T. Assim, para o cálculo dos coeficientes a0, an e bn podemos integrar sobre qualquer intervalo de comprimento T; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente.

Exemplos de Séries de Fourier

Resumindo nossos resultados até o momento: se f : R −→ R é uma função periódica de período T, então f pode ser representada por uma Série de Fourier da forma

onde ω0 é a freqüência fundamental de f (e também da Série de Fourier), dada por ω0 = 2piT . Os coeficientes a0, an e bn são dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier3

f(x)cos(nω0x)dx, n = 1,2,(1.11b)
f(x)sen(nω0x)dx, n = 1,2,(1.11c)

Exemplo 1.4 Determine a representação em Série de Fourier da onda quadrada mostrada na Figura 1.4.

Figura 1.4: Onda Quadrada - Período 2pi.

O período desta onda quadrada é T = 2pi e sua freqüência fundamental ω0 = 2piT = 1. Sua forma analítica pode ser dada por4

Passemos então aos cálculos dos coeficientes de Fourier.

Tdx significa integração sobre um período de f.

3A simbologia ∫ 4Uma vez que a função é periódica, devemos expressá-la analiticamente em um intervalo do tamanho de seu período e a seguir indicar sua periodicidade. A escolha deste intervalo é arbitrária e em muitos casos a mais conveniente é o intervalo centrado na origem.

• Cálculo de a0: usando a equação (1.11a) temos

2pi

2pi npi npi

npi pois o seno de múltiplos inteiros de pi é zero. • Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = 1, temos

2pi npi npi npi npi npi npi

isto é, a Série só possui termos em senos5. Substituindo o valor encontrado para bn podemos escrever

2 npi que é uma forma bastante desajeitada. Utilizando a equação (1) (Formulário - página 45), podemos reescrever bn como

4npi , se n é ímpar , (1.12b) 5Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência.

isto é, temos apenas termos para valores ímpares de n. Assim, utilizando os valores de bn dados pela equação (1.12b) a expansão da Série (1.12a) fica

sen(7x) +

7pi ou, reescrevendo-a na forma de somatório (observe que temos apenas termos ímpares)

Exemplo 1.5 Determine a representação em Série de Fourier da onda triangular mostrada na Figura 1.5.

O período desta onda triangular é T = 2 e sua freqüência fundamental ω0 = 2piT = pi. Sua forma analítica pode ser dada por

Passemos então aos cálculos dos coeficientes de Fourier.

• Cálculo de a0: usando a equação (1.11a) temos

• Cálculo de an: usando a equação (1.11b), com ω0 = pi, temos

n pi cos(npix) n pi cos(npix) n pi

• Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = pi, temos

n pi sen(npix) n pi sen(npix)

Substituindo bn = 0 e ω0 = pi na equação (1.10), a representação em Série de Fourier desta onda triangular tem a forma

isto é, a Série possui o termo constante a2 e termos em cossenos6. Substituindo o valores encontrados para a0 e an podemos escrever

Utilizando a equação (1) (Formulário - página 45), podemos reescrever an como

isto é, temos apenas termos para valores ímpares de n. Assim, utilizando os valores de an dados pela equação (1.13b) a expansão da Série (1.13a) fica

cos(7pix) +

6Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência. 12

1.3.1 Problemas Propostos Problema 1.7 Refaça os cálculos do Exemplo 1.4 (página 9) integrando sobre o intervalo

(a) [0, 2pi] (b) [−2pi, 0] (c) [2pi, 4pi] Problema 1.8 Refaça os cálculos do Exemplo 1.5 (página 1) integrando sobre o intervalo

Problema 1.10 Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica.

¡ pi

Problema 1.1 Para cada função periódica a seguir esboce seu gráfico em um intervalo de três períodos e encontre sua representação em Série de Fourier.

(d) (retificador de meia onda) f(x) =

Problema 1.12 Use a representação em Série de Fourier da onda triangular da Figura 1.5, dada pela equação (1.13c), para mostrar que pi2

+

1.4 O Teorema de Fourier*

Nesta seção discutiremos brevemente as funções representáveis por Séries de Fourier. Iniciamos definindo a seguinte notação para os limites laterais de uma função:

• limite lateral à esquerda:

• limite lateral à direita:

Também de fundamental importância é o conceito de função seccionalmente contínua (ou função contínua por partes).

Definição 1.5 (Função seccionalmente contínua) Uma função f é seccionalmente contínua em um intervalo [a,b] se pudermos subdividir o intervalo em um número finito de pontos

a ≤ t0 < t1 << tn ≤ b

6 b b b a b x

(a) Uma função seccionalmente contínua.

(b) Uma função não seccionalmente contínua. Figura 1.6: O conceito de função seccionalmente contínua.

intervalo, exceto em um número finito de pontos t0 < t1 << tn deste intervalo. É importante

Em outras palavras, f é seccionalmente contínua no intervalo [a,b] se ela é contínua em todo o observar que, pela continuidade em cada subintervalo, os limites laterais lim

existem (são finitos). Obviamente toda função contínua é seccionalmente contínua. Um exemplo simples de função que não é seccionalmente contínua é a função f(x) = 1x, uma vez que os limites laterais em x = 0 são infinitos (Figura 1.6(b)).

Definição 1.6 (Função seccionalmente diferenciável) Uma função f é dita seccionalmente diferenciável em um intervalo [a,b] se f e sua derivada f′ são seccionalmente contínuas em [a,b].

Teorema 1.7 (Teorema de Fourier) Seja f : R −→ R uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período T. Então a representação em Série de Fourier de f, dada pela equação (1.10), converge em cada x para 1 2[

A demonstração do Teorema de Fourier está além do escopo deste texto introdutório. Vamos simplesmente comentar sobre dois aspectos importantes do Teorema.

• Para ser representável por uma Série de Fourier uma função f deve ser periódica e seccionalmente diferenciável. A condição de ser seccionalmente diferenciável é uma condição suficiente, mas não necessária, para que f possa ser expandida em Série de Fourier. Em outras palavras, toda função periódica e seccionalmente contínua é representável por Série de Fourier, mas existem funções representáveis por Série de Fourier que não são seccionalmente contínuas. Isto implica que poderíamos enfraquecer as hipóteses do Teorema de modo a cobrir um número mais amplo de funções7.

• Em termos de convergência o Teorema afirma que a representação em Série de Fourier de uma função f converge para o ponto médio dos limites laterais de f para todo x. Obviamente isto implica que, nos pontos onde f é contínua a Série de Fourier converge para a própria imagem de f; onde f é descontínua, por exemplo onde f apresenta um salto, a Série de Fourier converge para a média das imagens nos extremos do salto.

(Parte 1 de 4)

Comentários