Baixe Apostila series de fourier e outras Notas de estudo em PDF para Mecatrônica, somente na Docsity! . Introdução às Séries de Fourier Fabiano J. Santos Julho de 2004 Sumário Lista de Figuras ii 1 Funções Periódicas e Séries de Fourier 1 1.1 Funções Periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.1.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Relações de Ortogonalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 O Teorema de Fourier* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Simetria ondulatória . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.5.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 1.6 Expansões periódicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.6.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2 Séries de Fourier Complexa e Espectros Discretos 28 2.1 Série de Fourier Complexa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.1.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.2 Números Complexos - Formas de Representação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.2.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 2.3.1 Problemas Propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 Formulário 45 Referências Bibliográficas 46 i - 6 T Período fundamental 2T 3T x f(x) Figura 1.2: Periodo e período fundamental. e nos dá o número de repetições (ciclos) em cada intervalo unitário em x. Se x é o tempo medido em segundos então a freqüência f é o número de ciclos por segundo (Hertz). Um outro tipo de freqüência, a qual utilizaremos no estudo das Séries de Fourier, é a freqüência angular, denotada por ω, e definida como ω = 2πf = 2π T . Se T é o periodo fundamental da função f , então sua freqüência (angular) fundamental, denotada por ω0, é dada por ω0 = 2π T Exemplo 1.1 As funções sen(x) e cos(x), ilustradas na Figura 1.3, são ambas periódicas de período fundamental T = 2π e freqüência fundamental ω0 = 2π2π = 1. Exemplo 1.2 A função constante f(x) = c tem como período qualquer número real T > 0 e não possui período fundamental. - 6 0 π 2π 3π 4π−π−2π−3π−4π x sen(x) cos(x) Figura 1.3: Senóides: sen(x) e cos(x). As duas proposições a seguir nos dão duas propriedades importantes das funções periódicas. 2 Proposição 1.1 : Seja f uma função periódica de período T , então: (i) f(ax), a 6= 0, é periódica de período Ta ; (ii) f ( x a ) , a 6= 0, é periódica de período aT . Provas: (i) Seja T ∗ o período de f(ax), de modo que f(ax) = f [a(x + T ∗)] = f(ax + aT ∗). Fazendo u = ax, obtemos f(u) = f(u+ aT ∗). Logo pela hipótese de que f é periódica de período T , concluímos que T = aT ∗, donde T ∗ = Ta . (ii) Seja T ∗ o período de f ( x a ) , de modo que f ( x a ) = f [ 1 a (x+T ∗) ] = f [ x a + T∗ a ] . Fazendo u = xa , obtemos f(u) = f ( u + T ∗ a ) . Logo pela hipótese de que f é periódica de período P , concluímos que T = T ∗ a , donde T ∗ = aT . Proposição 1.2 : Sejam f1 e f2 duas funções periódicas de mesmo período T , α1 e α2 duas constantes reais quaisquer. A função h definida por h(x) = α1f1(x) + α2f2(x), também é periódica de período T . Em outras palavras, uma combinação linear de funções periódicas de mesmo período também é periódica, com mesmo período das funções combinadas. Aqui a prova é muito simples e pode ser obtida diretamente: h(x + T ) = α1f1(x + T ) + α2f2(x + T ) = α1f1(x) + α2f2(x) = h(x). Exemplo 1.3 Como as funções sen(x) e cos(x) possuem ambas período 2π, pela Proposição 1.1 obser- vamos que: (i) sen(2x) e cos(2x) possuem período 2π2 = π; (ii) sen ( x 2 ) e cos ( x 2 ) possuem período 2× 2π = 4π. (iii) sen(2πx) e cos(2πx) possuem período 2π2π = 1; (iv) sen ( 2πx T ) e cos ( 2πx T ) possuem período 2π2π T = T . Além disto, ∀n ∈ Z, as funções sen (2nπx T ) e cos (2nπx T ) possuem período 2π 2nπ T = T n . Mas como qualquer múltiplo inteiro do período também é período, concluímos que ambas também possuem período T . Finalmente, pela proposição 1.2, observamos que a função h(x) = α1sen ( 2nπx T ) + α2cos ( 2nπx T ) também é periódica de período T . 3 Proposição 1.3 : Sejam f1, f2, . . . , fn funções periódicas de período T . Então a função h(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + . . . + αnfn(x), dada pela combinação linear de f1, f2, . . . , fn também é periódica de período T . A prova é análoga à da proposição 1.2 e pode ser obtida pelo princípio da indução. Extrapolando a proposição 1.3, sejam f1, f2, . . . , fn, . . . funções periódicas de mesmo período T , a série infinita dada por α1f1(x) + α2f2(x) + . . . + αnfn(x) + . . . , define, para os valores de x nos quais converge, uma função periódica de período T . Assim podemos definir a função h(x) = α1f1(x) + α2f2(x) + . . . + αnfn(x) + . . . , tal que h(x) = h(x+T ). Esta última afirmação é de fundamental importância, uma vez que trabalharemos com séries infinitas trigonométricas da forma ∞∑ n=0 [ ancos ( 2nπx T ) + bnsen ( 2nπx T )] . (1.2) Observe que cada termo desta série possui período T . Desta forma, para os valores de x nos quais a série converge ela define uma função periódica de período T . 1.1.1 Problemas Propostos Problema 1.1 Determine se cada uma das funções a seguir é ou não periódica. Caso seja determine seu período fundamental e sua freqüência fundamental. (a) y = cos(πx) (b) y = tg(πx) (c) y = x2 (d) y = sen(5x) (e) y = cos(3πx) (f) y = cos(nx) (g) y = sen(nπx) (h) y = sen ( πx T ) (i) y = cos(3x) + sen(4x) + cos(5x) (j) y = sen ( x 3 ) + cos ( x 5 ) + sen ( x 7 ) + cos ( x 9 ) Problema 1.2 Para cada função a seguir esboce seu gráfico para alguns valores de n. Observando este gráfico determine se a função é ou não períódica. Caso seja determine seu período fundamental e sua freqüência fundamental. (a) y = { 0 , 2n− 1 ≤ x < 2n 1 , 2n ≤ x < 2n + 1 , n = 0, ±1, ±2, . . . (b) y = { (−1)n , 2n− 1 ≤ x < 2n 1 , 2n ≤ x < 2n + 1 , n = 0, ±1, ±2, . . . Problema 1.3 Sejam f, g : R −→ R funções periódicas de mesmo período T . Mostre que 4 na qual observamos que todas as infinitas parcelas são periódicas de período T . No conjunto de valores de x para os quais a série (1.6) converge ela define uma função periódica f de período T . Dizemos então que a série (1.6) é a Série de Fourier1 para f e escrevemos f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos ( 2nπx T ) + bnsen ( 2nπx T ) , (1.7) onde os coeficientes a0, an e bn (n ∈ Z+∗ ) são chamados Coeficientes de Fourier. Como a função f definida por (1.7) possui período fundamental T, sua freqüência fundamental é ω0 = 2πT . Assim reescrevemos a série (1.7) na forma mais conveniente f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos ( nω0x ) + bnsen ( nω0x ) , (1.8) Raciocinando no sentido inverso, seja f uma função periódica de período fundamental T e freqüência fundamental ω0 = 2πT . Surgem duas questões: (i) como determinar os coeficientes de Fourier a0, an e bn para que possamos representar f por uma série da forma (1.8)? (ii) quais as condições que devemos impor sobre f para que tal representação seja possível? Abordaremos agora a primeira questão para a determinação dos coeficientes de Fourier. A segunda, por se tratar de um assunto mais sutil, será comentada mais adiante (seção 1.4) quando já estivermos familiarizados com as Séries de Fourier. Determinação dos Coeficientes de Fourier Dada uma função f periódica de período T nosso objetivo é determinar os Coeficientes de Fourier para esta função em particular. Em outras palavras, determinar os coeficientes de Fourier da representação em Série de Fourier para a dada função. Para tal fim lançaremos mão das relações de ortogonalidade anteriormente discutidas. • Determinação de a0: integramos2 ambos os membros de (1.8) sobre o intervalo [0, T ]: ∫ T 0 f(x)dx = ∫ T 0 [ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos ( nω0x ) + bnsen ( nω0x )] dx = ∫ T 0 a0 2 dx + ∞∑ n=1 ∫ T 0 ancos ( nω0x ) dx + ∫ T 0 bnsen ( nω0x ) dx = [ a0 2 x ]T 0 + ∞∑ n=1 [ an nω0 sen ( nω0x )]T 0 − [ bn nω0 cos ( nω0x )]T 0 = [ a0 2 T ] + ∞∑ n=1 an nω0 [ sen ( nω0T )− sen(0) ] − bn nω0 [ cos ( nω0T )− cos(0) ] = [ a0 2 T ] + ∞∑ n=1 an nω0 [ sen ( 2nπ )− 0 ] − bn nω0 [ cos ( 2nπ )− 1 ] = a0 2 T, 1Jean Baptiste Joseph Fourier, Físico-Matemático francês (1768 − 1830). Fourier utilizou séries da forma (1.6) em seu famoso trabalho Théorie Analytique de la Chaleur, onde estudou os fenômenos de condução de calor. 2Uma série de funções pode ser derivada e integrada termo a termo somente se ela for uniformemente convergente. Este é o caso das Séries de Fourier. Veja os Capítulos 1 e 2 da referência [3]. 7 uma vez que sen ( 2nπ ) = 0 e cos ( 2nπ ) = 1 ∀n ∈ Z. Assim o coeficiente a0 é dado por a0 = 2 T ∫ T 0 f(x)dx. (1.9a) • Determinação de an: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por cos ( mω0x ) e integramos sobre o intervalo [0, T ]: ∫ T 0 f(x)cos ( mω0x ) dx = ∫ T 0 [ a0 2 cos ( mω0x ) + ∞∑ n=1 ancos ( nω0x ) cos ( mω0x ) + bnsen ( nω0x ) cos ( mω0x )] dx = ∫ T 0 a0 2 cos ( mω0x ) dx + ∞∑ n=1 [ an ∫ T 0 cos ( nω0x ) cos ( mω0x ) dx+ + bn ∫ T 0 sen ( nω0x ) cos ( mω0x ) dx. ] Pela equação (1.5c) a segunda integral do somatório é nula. Pela equação (1.5a) a segunda integral do somatório é nula para m 6= n e vale T2 para m = n. Assim temos ∫ T 0 f(x)cos ( nω0x ) dx = a0 2nω0 [ sen ( nω0x )]T 0 + an T 2 = a0 2nω0 [ sen ( nω0T )− sen(0) ] + an T 2 = a0 2nω0 [ sen ( 2nπ )− sen(0) ] + an T 2 = an T 2 , uma vez que sen ( 2nπ ) = 0 ∀n ∈ Z. Assim o coeficiente an é dado por an = 2 T ∫ T 0 f(x)cos ( nω0x ) dx. (1.9b) • Determinação de bn: multiplicamos ambos os membros de (1.8) por sen ( mω0x ) e integramos sobre o intervalo [0, T ]. Fica a cargo do leitor, Problema 1.13 da página 14, verificar que bn = 2 T ∫ T 0 f(x)sen ( nω0x ) dx. (1.9c) As equações (1.9a), (1.9b) e (1.9c) são chamadas Fórmulas de Euler-Fourier e se destinam ao cálculo dos Coeficientes de Fourier da série (1.8) para uma dada função f periódica de período T . Na dedução destas Fórmulas integramos sobre o intervalo [0, T ], mas como f, cos(nω0x) e sen(nω0x), onde ω0 = 2πT , são todas periódicas de mesmo período T , os resultados dos Problemas 1.3 (página 4) e 1.4 (página 5) nos mostram que tal integração poderia se dar sobre qualquer intervalo de comprimento T . Assim, para o cálculo dos coeficientes a0, an e bn podemos integrar sobre qualquer intervalo de comprimento T ; evidentemente escolhemos o intervalo mais conveniente. 8 Exemplos de Séries de Fourier Resumindo nossos resultados até o momento: se f : R −→ R é uma função periódica de período T , então f pode ser representada por uma Série de Fourier da forma f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) (1.10) onde ω0 é a freqüência fundamental de f (e também da Série de Fourier), dada por ω0 = 2πT . Os coeficientes a0, an e bn são dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier3 a0 = 2 T ∫ T f(x)dx, (1.11a) an = 2 T ∫ T f(x)cos(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11b) bn = 2 T ∫ T f(x)sen(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (1.11c) Exemplo 1.4 Determine a representação em Série de Fourier da onda quadrada mostrada na Figura 1.4. - 6 0 π 2π 3π−π−2π−3π 1 −1 x f(x) Figura 1.4: Onda Quadrada - Período 2π. O período desta onda quadrada é T = 2π e sua freqüência fundamental ω0 = 2πT = 1. Sua forma analítica pode ser dada por4 f(x) = { −1 , −π ≤ x < 0 1 , 0 ≤ x < π , f(x + 2π) = f(x). Passemos então aos cálculos dos coeficientes de Fourier. 3A simbologia ∫ T . . . dx significa integração sobre um período de f . 4Uma vez que a função é periódica, devemos expressá-la analiticamente em um intervalo do tamanho de seu período e a seguir indicar sua periodicidade. A escolha deste intervalo é arbitrária e em muitos casos a mais conveniente é o intervalo centrado na origem. 9 Pela equação (4) (Formulário - página 45), com ω0 = π, obtemos an = − [ x nπ sen(nπx) + 1 n2π2 cos(nπx) ]0 −1 + [ x nπ sen(nπx) + 1 n2π2 cos(nπx) ]1 0 = − [ 1 n2π2 cos(0) + 1 nπ sen(−nπ)− 1 n2π2 cos(−nπ) ] + [ 1 nπ sen(nπ) + 1 n2π2 cos(nπ)− 1 n2π2 cos(0) ] = − [ 1 n2π2 − 1 n2π2 cos(nπ) ] + [ 1 n2π2 cos(nπ)− 1 n2π2 ] = 2 n2π2 [ cos(nπ)− 1 ] • Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = π, temos bn = 2 2 ∫ 1 −1 f(x)sen(nπx)dx = ∫ 0 −1 −x sen(nπx)dx + ∫ 1 0 x sen(nπx)dx Pela equação (3) (Formulário - página 45), com ω0 = π, obtemos bn = − [ − x nπ cos(nπx) + 1 n2π2 sen(nπx) ]0 −1 + [ − x nπ cos(nπx) + 1 n2π2 sen(nπx) ]1 0 = − [ 1 n2π2 sen(0)− 1 nπ cos(−nπ)− 1 n2π2 sen(−nπ) ] + [ − 1 nπ cos(nπ) + 1 n2π2 sen(nπ)− 1 n2π2 sen(0) ] = 1 nπ cos(nπ)− 1 nπ cos(nπ) = 0 Substituindo bn = 0 e ω0 = π na equação (1.10), a representação em Série de Fourier desta onda triangular tem a forma f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos(nπx), isto é, a Série possui o termo constante a02 e termos em cossenos 6. Substituindo o valores encontrados para a0 e an podemos escrever f(x) ∼ 1 2 + ∞∑ n=1 2 n2π2 [ cos(nπ)− 1 ] cos(nπx). (1.13a) Utilizando a equação (1) (Formulário - página 45), podemos reescrever an como an = { 0 , se n é par − 4n2π2 , se n é ímpar , (1.13b) isto é, temos apenas termos para valores ímpares de n. Assim, utilizando os valores de an dados pela equação (1.13b) a expansão da Série (1.13a) fica f(x) ∼ 1 2 − 4 π2 cos(πx)− 4 9π2 cos(3πx)− 4 25π2 cos(5πx)− 4 49π2 cos(7πx) + . . . ou, reescrevendo-a na forma de somatório f(x) ∼ 1 2 − 4 π2 ∞∑ k=1 1 (2k − 1)2 cos [ (2k − 1)πx]. (1.13c) 6Adiante, seção 1.5, veremos que isto não é uma mera coincidência. 12 1.3.1 Problemas Propostos Problema 1.7 Refaça os cálculos do Exemplo 1.4 (página 9) integrando sobre o intervalo (a) [0, 2π] (b) [−2π, 0] (c) [2π, 4π] Problema 1.8 Refaça os cálculos do Exemplo 1.5 (página 11) integrando sobre o intervalo (a) [0, 2] (b) [−2, 0] (c) [2, 4] Problema 1.9 Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica. - 6 0 1 2 3−1−2−3 ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ 1 x f(x) Problema 1.10 Determine a forma analítica e a representação em Série de Fourier da função periódica. - 6 0 π 2π 3π−π−2π−3π ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ ¡ π x f(x) Problema 1.11 Para cada função periódica a seguir esboce seu gráfico em um intervalo de três períodos e encontre sua representação em Série de Fourier. (a) f(x) = { 0 , −1 ≤ x < 0 1 , 0 ≤ x < 1 , f(x) = f(x + 2). (b) f(x) = { 0 , −π ≤ x < 0 x , 0 ≤ x < π , f(x + 2π) = f(x). (c) f(x) = { −3− x , −3 ≤ x < 0 3− x , 0 ≤ x < 3 , f(x) = f(x + 6). (d) (retificador de meia onda) f(x) = { 0 , −π ≤ x < 0 sen(x) , 0 ≤ x < π , f(x) = f(x + 2π). (e) (retificador de onda completa) f(x) = sen(x), 0 ≤ x < π, f(x) = f(x + π). 13 Problema 1.12 Use a representação em Série de Fourier da onda triangular da Figura 1.5, dada pela equação (1.13c), para mostrar que π2 8 = 1− 1 4 + 1 9 − 1 16 + 1 25 − 1 49 + . . . Problema 1.13 Verifique a validade da equação (1.9c). 1.4 O Teorema de Fourier* Nesta seção discutiremos brevemente as funções representáveis por Séries de Fourier. Iniciamos definindo a seguinte notação para os limites laterais de uma função: • limite lateral à esquerda: lim x→a− f(x) = f(a− 0); • limite lateral à direita: lim x→a+ f(x) = f(a + 0). Também de fundamental importância é o conceito de função seccionalmente contínua (ou função contínua por partes). Definição 1.5 (Função seccionalmente contínua) Uma função f é seccionalmente contínua em um intervalo [a, b] se pudermos subdividir o intervalo em um número finito de pontos a ≤ t0 < t1 < . . . < tn ≤ b de modo que f seja contínua em cada subintervalo aberto ti−1 < x < ti, i = 1, . . . , n (Figura 1.6(a)). - 6 b b b a b x f(x) (a) Uma função seccionalmente contínua. - 6 x f(x) = 1x (b) Uma função não seccionalmente contínua. Figura 1.6: O conceito de função seccionalmente contínua. Em outras palavras, f é seccionalmente contínua no intervalo [a, b] se ela é contínua em todo o intervalo, exceto em um número finito de pontos t0 < t1 < . . . < tn deste intervalo. É importante observar que, pela continuidade em cada subintervalo, os limites laterais lim x→a+i f(x) = f(ai + 0) e lim x→a−i f(x) = f(ai − 0), 14 Propriedades das funções pares e ímpares A soma (diferença) e o produto (quociente) de funções pares e ímpares possuem propriedades importantes, as quais listaremos a seguir. Tais propriedades simplificarão bastante nosso trabalho na representação em Séries de Fourier de funções pares e ímpares. (S1) A soma (diferença) de duas funções pares é par; (S2) a soma (diferença) de duas funções ímpares é ímpar; (S3) a soma (diferença) de uma função par e uma função ímpar não é nem par nem ímpar. (P1) O produto (quociente) de duas funções pares é par. (P2) O produto (quociente) de duas funções ímpares é par. (P3) O produto (quociente) de uma função par e uma função ímpar é ímpar As provas são bastante simples. Provaremos P2 e deixaremos as demais como exercício para o leitor no Problema 1.17 (página 23). Prova de P2 Sejam I1, I2 : R −→ R duas funções ímpares, isto é I1(−x) = −I1(x) e I2(−x) = −I2(x). • Defina o produto P (x) = I1(x)I2(x); logo temos: P (−x) = I1(−x)I2(−x) = [−I1(x) ][−I2(x) ] = I1(x)I2(x) = P (x), isto é, com a hipótese que I1 e I2 são ímpares, mostramos que o produto P (x) = I1(x)I2(x) satisfaz P (x) = P (−x), logo este produto é par. • Defina o quociente Q(x) = I1(x)I2(x) ; logo temos: Q(−x) = I1(−x) I2(−x) = −I1(x) −I2(x) = I1(x) I2(x) = Q(x), isto é, com a hipótese que I1 e I2 são ímpares, mostramos que o quociente Q(x) = I1(x) I2(x) satisfaz Q(x) = Q(−x), logo este quociente é par. Proposição 1.10 : Se f é uma função par integrável no intervalo [−L,L] então ∫ L −L f(x)dx = 2 ∫ L 0 f(x)dx Geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f par a área sob a curva no intervalo [−L, 0] é igual à área sob a curva no intervalo [0, L], Figura 1.8. Formalmente temos: ∫ L −L f(x)dx = ∫ 0 −L f(x)dx + ∫ L 0 f(x)dx; 17 - 6 0 x f(x) L−L Figura 1.8: Função par: áreas nos intervalos [−L, 0] e [0, L] iguais com mesmo sinal. fazendo x = −t na primeira integral do membro direito, temos dx = −dt; logo ∫ L −L f(x)dx = − ∫ 0 L f(−t)dt + ∫ L 0 f(x)dx = ∫ L 0 f(t)dt + ∫ L 0 f(x)dx = 2 ∫ L 0 f(x)dx. Proposição 1.11 : Se f é uma função ímpar integrável no intervalo [−L,L] então ∫ L −L f(x)dx = 0 - 6 x f(x) L −L Figura 1.9: Função ímpar: áreas nos intervalos [−L, 0] e [0, L] iguais com sinais contrários. Geometricamente a proposição é óbvia, uma vez que sendo f ímpar a área sob a curva no intervalo [−L, 0] é igual à área sob a curva no intervalo [0, L], porém como tais áreas têm sinais contrários a soma se cancela, Figura 1.9. Formalmente temos: ∫ L −L f(x)dx = ∫ 0 −L f(x)dx + ∫ L 0 f(x)dx; fazendo x = −t na primeira integral do membro direito, temos dx = −dt; logo ∫ L −L f(x)dx = − ∫ 0 L f(−t)dt + ∫ L 0 f(x)dx = − ∫ L 0 f(t)dt + ∫ L 0 f(x)dx = 0. 18 Séries de Fourier de funções pares e ímpares Proposição 1.12 (Série de Fourier de uma função par) a Série de Fourier de uma função f , par, periódica de período T e freqüência fundamental ω0 = 2πT , é uma série de cossenos, isto é f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos(nω0x). (1.15a) Para a verificação desta proposição suponhamos que f é par e periódica de período T = 2L, onde L é o meio período. • Calculando a0, equação (1.11a), obtemos: a0 = 2 T ∫ T 0 f(x)dx = 4 T ∫ L 0 f(x)dx, (1.15b) uma vez que o integrando é par e pela Proposição 1.10 podemos substituir a integral no intervalo [−L,L] por duas vezes a integral no intervalo [0, L]. • Calculando an, equação (1.11b), obtemos: an = 2 T ∫ T 0 f(x)cos ( nω0x ) dx = 4 T ∫ L 0 f(x)cos ( nω0x ) dx, (1.15c) uma vez que pela a propriedade P1 o integrando f(x)cos ( nω0x ) é par e pela Proposição 1.10 podemos substituir a integral no intervalo [−L,L] por duas vezes a integral no intervalo [0, L]. • Calculando bn, equação (1.11c), obtemos: bn = 2 T ∫ T 0 f(x)sen ( nω0x ) dx = 2 T ∫ L −L f(x)sen ( nω0x ) dx = 0, uma vez que pela a propriedade P3 o integrando f(x)sen ( nω0x ) é ímpar e pela Proposição 1.11 a integral se anula. Logo, se f é par e periódica de período T , sua expansão em Série de Fourier é da forma (1.15a) (veja a representação em Série de Fourier da onda triangular do Exemplo 1.5 na página 11). Exemplo 1.7 Determine a expansão em Série de Fourier da função periódica f(x) = x2, −1 ≤ x < 1, f(x) = f(x + 2), mostrada na Figura 1.10. O período da onda é T = 2 e sua freqüência fundamental ω0 = 2πT = π. Neste caso, como a onda apresenta simetria par temos bn = 0 e devemos determinar apenas a0 e an. • Cálculo de a0: substituindo T = 2, L = 1 e ω0 = π na equação (1.15b) obtemos a0 = 4 2 ∫ 1 0 x2dx = 2 [ x3 3 ]1 0 = 2 3 . 19 Neste caso, como a onda apresenta simetria ímpar temos a0 = an = 0 e devemos determinar apenas bn. Substituindo T = 2π, L = π e ω0 = 1 na equação (1.17b) obtemos bn = 4 2π ∫ π 0 xsen(nx)dx = 2 π ∫ π 0 xsen(nx)dx, e pela equação (3) (Formulário - página 45) bn = 2 π [ −x n cos(nx) + 1 n2 sen(nx) ]π 0 = − 2 n cos(nπ). Usando a equação (1) (Formulário - página 45) bn pode ser reescrito como bn = −2(−1) n n . Assim, pela equação (1.17a) com ω0 = 1, a representação em Série de Fourier da onda dente de serra fica f(x) ∼ −2 ∞∑ n=1 (−1)n n sen(nx), (1.18) ou na forma expandida f(x) ∼ 2 1 sen(x)− 2 2 sen(2x) + 2 3 sen(3x)− 2 4 sen(4x) + 2 5 sen(5x)− . . . 1.5.1 Problemas Propostos Problema 1.14 Determine se as seguintes funções são pares, ímpares ou nenhum dos dois (explique). (a) y = x3 (b) y = x3 − 2x (c) y = x3 − 2x + 1 (d) y = tg(2x) (e) y = sec(x) (f) y = |x|3 Problema 1.15 Usando as propriedades das funções pares e ímpares calcule as integrais dadas. (a) ∫ 1 −1 xdx (b) ∫ 1 −1 x 4dx (c) ∫ π −π xsen(nx)dx (d) ∫ T 2 −T2 cos ( 2nπx T ) sen ( 2nπx T ) dx (e) ∫ π −π x 4sen(nx)dx (f) ∫ π −π xcos(nx)dx Problema 1.16 Nos problemas a seguir determine a representação em Série de Fourier pedida para a função dada. Esquematize o gráfico desta representação utilizando 3 períodos. (a) f(x) = { 1 , 0 ≤ x < π 0 , π ≤ x < 2π , série de cossenos, T = 4π. (b) f(x) = { 1 , 0 ≤ x < π 0 , π ≤ x < 2π , série de senos, T = 4π. 22 (c) f(x) = { x , 0 ≤ x < 1 1 , 1 ≤ x < 2 , série de cossenos, T = 4. (d) f(x) = { x , 0 ≤ x < 1 1 , 1 ≤ x < 2 , série de senos, T = 4. (e) f(x) = x, 0 ≤ x < π, série de cossenos, T = 2π. (Compare com o Exemplo 1.5 na página 11.) (f) f(x) = x, 0 ≤ x < π, série de senos, T = 2π. (Compare com o Exemplo 1.8 na página 21.) Problema 1.17 Prove as propriedades S1, S2, S3, P1 e P3 da soma (diferença) e produto (quociente) de funções pares e ímpares da página 17 do texto. (Sugestão: veja a prova de P2 na página 17). 1.6 Expansões periódicas Muitas vezes surge a necessidade de representarmos por uma Série de Fourier uma função f : [0, a] −→ R, isto é, uma função definida apenas no intervalo [0, a], Figura 1.12(a). Obviamente tal representação não é possível, uma vez que f não é periódica. Para contornar tal situação expandimos f periodicamente ∀x ∈ R, Figura 1.12(b), e a seguir deter- minamos a Série de Fourier desta expansão (observe que a expansão tem período a). A Série de Fourier assim obtida, restrita ao intervalo [0, a], é a representação procurada para f8. - 6 0 a x f(x) (a) f definida no intervalo [0, a]. - 6 0 a 2a 3a−a−2a−3a x f(x) (b) Expansão periódica de f . Figura 1.12: Função sobre o intervalo [0, a] e sua expansão periódica Exemplo 1.9 Determine a representação em Série de Fourier da função f(x) = x, 0 ≤ x < π, mostrada na Figura 1.13(a). Neste caso vamos determinar a Série de Fourier da expansão periódica de f , mostrada na Figura 1.13(b), para a qual T = π e ω0 = 2. 8É evidente que a Série de Fourier da expansão periódica define uma outra função que não é f , acontece que no intervalo de interesse [0, a] essa função é idêntica a f . 23 • Cálculo de a0: usando a equação (1.11a) temos a0 = 2 π ∫ π 0 xdx = 2 π [ x2 2 ]π 0 = 2 π [ π2 2 − 0 ] = π. • Cálculo de an: usando a equação (1.11b), com ω0 = 2, temos an = 2 π ∫ π 0 xcos(2nx)dx = 2 π [ x 2n sen(2nx) + 1 4n2 cos(2nx) ]π 0 = 0 • Cálculo de bn: usando a equação (1.11c), com ω0 = 2, temos bn = 2 π ∫ π 0 xsen(2nx)dx = 2 π [ − x 2n cos(2nx) + 1 4n2 sen(2nx) ]π 0 = − 1 n cos(2nπ) = − 1 n Assim, pela equação (1.10) com ω0 = 2, a representação em Série de Fourier da expansão periódica de f fica f(x) ∼ π 2 − ∞∑ n=1 1 n sen(2nx), ou na forma expandida f(x) ∼ π 2 − 1 1 sen(2x)− 1 2 sen(4x)− 1 3 sen(6x)− 1 4 sen(8x)− 1 5 sen(10x)− . . . - 6 0 π ¡ ¡ ¡¡ x f(x) (a) f(x) = x no intervalo [0, π]. - 6 0 π 2π 3π−π−2π−3π ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ ¡ ¡ ¡¡ x f(x) (b) Expansão periódica de f(x) = x. Figura 1.13: A função f(x) = x no intervalo [0, π] e sua expansão periódica. Expansões em meio período Nas seções 1.5 e 1.5 estudamos as funções periódicas com simetrias par e ímpar e suas representações em Séries de Fourier. Vimos que: • se f é par e periódica, então pode ser expandida em uma Série de Fourier de cossenos; • se f é ímpar e periódica, então pode ser expandida em uma Série de Fourier de senos; Vimos também que nestes casos as Fórmulas de Euler-Fourier que calculam os coeficientes da Série de Fourier, equações (1.15b) e (1.15c) na série de cossenos, equação (1.17b) na série de senos, empregam a integração em apenas meio período. Estes fatos nos sugere outras abordagens, conhecidas como expansões em meio período, para a repre- sentação em Série de Fourier de uma função f definida apenas no intervalo [0, a]: 24 1.6.1 Problemas Propostos Problema 1.18 Dada a função f(x) = { x , 0 ≤ x < π π , π ≤ x < 2π , (a) esboce o gráfico de sua expansão periódica (período T = 2π) no intervalo [−6π, 6π] e encontre sua representação em Série de Fourier; (b) esboce o gráfico de sua expansão periódica par (período T = 4π) no intervalo [−6π, 6π] e encontre sua representação em Série de Fourier; (c) esboce o gráfico de sua expansão periódica ímpar (período T = 4π) no intervalo [−6π, 6π] e encontre sua representação em Série de Fourier. Problema 1.19 Dada a função f(x) = { 1 , 0 ≤ x < 1 2− x , 1 ≤ x < 2 , (a) esboce o gráfico de sua expansão periódica (período T = 2) no intervalo [−6, 6] e encontre sua representação em Série de Fourier; (b) esboce o gráfico de sua expansão periódica par (período T = 4) no intervalo [−6, 6] e encontre sua representação em Série de Fourier; (c) esboce o gráfico de sua expansão periódica ímpar (período T = 4) no intervalo [−6, 6] e encontre sua representação em Série de Fourier. 27 Capítulo 2 Séries de Fourier Complexa e Espectros Discretos 2.1 Série de Fourier Complexa Conforme vimos no Teorema de Fourier (página 15), se f : R −→ R é uma função seccionalmente diferenciável e periódica de período T , então f pode ser representada por uma Série de Fourier da forma f(x) ∼ a0 2 + ∞∑ n=1 ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) (2.1) onde ω0 é a freqüência fundamental de f (e também da Série de Fourier), dada por ω0 = 2π T . Os coeficientes a0, an e bn são dados pelas Fórmulas de Euler-Fourier a0 = 2 T ∫ T f(x)dx, (2.2a) an = 2 T ∫ T f(x)cos(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (2.2b) bn = 2 T ∫ T f(x)sen(nω0x)dx, n = 1, 2, . . . (2.2c) Nosso objetivo é obter uma representação em Série de Fourier em termos de funções exponenciais complexas da forma einω0x, ω0 = 2π T , n ∈ Z, ao invés dos termos trigonométricos da equação (2.1). Pela definição da função exponencial complexa ex+iy = ex[cos(y) + isen(y)], 28 temos que einω0x = cos(nω0x) + isen(nω0x), (2.3a) e−inω0x = cos(nω0x)− isen(nω0x), (2.3b) uma vez que o cosseno é par, cos(θ) = cos(−θ), e o seno é ímpar, −sen(θ) = sen(−θ). Assim, por (2.3a)+ (2.3b), obtemos cos(nω0x) = 1 2 ( einω0x + e−inω0x ) ; (2.4a) e por (2.3a)− (2.3b), lembrando que 1i = −i, obtemos sen(nω0x) = −12 i ( einω0x − e−inω0x ) . (2.4b) Substituindo as equações (2.4a) e (2.4b) no somatório da equação (2.1) obtemos ∞∑ n=1 ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) = ∞∑ n=1 1 2 an ( einω0x + e−inω0x ) − 1 2 i bn ( einω0x − e−inω0x ) = ∞∑ n=1 1 2 ( an − ibn ) einω0x + 1 2 ( an + ibn ) e−inω0x. (2.5) Agora definimos o coeficiente cn como cn = 1 2 ( an − ibn ) , (2.6) e observamos que cn = 1 2 ( an + ibn ) , (2.7) de modo que a equação (2.5) pode ser reescrita como ∞∑ n=1 ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) = ∞∑ n=1 cne inω0x + cne−inω0x. (2.8) Pelas equações (2.2b) e (2.2c) observamos que an = 2 T ∫ T f(x)cos(nω0x)dx = 2 T ∫ T f(x)cos(−nω0x)dx = a−n, bn = 2 T ∫ T f(x)sen(nω0x)dx = − 2 T ∫ T f(x)sen(−nω0x)dx = −b−n. Assim cn = 1 2 ( an + ibn ) = 1 2 ( a−n − ib−n ) = c−n, e o somatório em (2.8) pode ser reescrito como ∞∑ n=0 ancos(nω0x) + bnsen(nω0x) = ∞∑ n=0 cne inω0x + c−ne−inω0x, 29 Utilizando a equação (1) (Formulário - página 45), podemos reescrever a equação (2.14a) como cn = { 0 , se n é par − 2inπ , se n é ímpar . (2.14c) Assim, substituindo ω0 = 1 na equação (2.12), a representação em Série de Fourier Complexa da onda quadrada da Figura 1.4 é dada por f(x) ∼ . . . + 2i 5π e−5ix + 2i 3π e−3ix + 2i π e−ix − 2i π eix − 2i 3π e3ix − 2i π e5ix − . . . ou, na forma de somatório, f(x) ∼ −2i π ∑ k∈Z 1 2k + 1 ei(2k+1)x. Exemplo 2.2 A partir dos coeficientes complexos cn do Exemplo 2.1 determine os coeficientes trigono- métricos a0, an e bn. Como c0 = a02 , equação (2.11), pelo resultado da equação (2.14b) temos a0 = 0. Para determinarmos an e bn recorremos às equações (2.6) e (2.7). Assim, fazendo (2.6)+(2.7) : an = cn + cn, (2.15a) fazendo (2.7)−(2.6) : ibn = cn − cn. (2.15b) Usando a equação (2.15a) e o resultado da equação (2.14c), obtemos an = cn + cn = { 0 + 0 = 0 , se n é par − 2inπ + 2inπ = 0 , se n é ímpar ∴ an = 0. Usando a equação (2.15b) e o resultado da equação (2.14c), obtemos ibn = cn − cn = { 0 + 0 = 0 , se n é par 2i nπ − 2inπ = − 4inπ , se n é ímpar ∴ bn = { 0 , se n é par 4 nπ , se n é ímpar . Observe que os resultados a0 = an = 0 já eram esperados, uma vez que a onda quadrada em questão possui simetria ímpar. Compare este resultado com o Exemplo 1.4 na página 9. Exemplo 2.3 Determine a representação em Série de Fourier Complexa da onda triangular mostrada na Figura 1.5 (página 11). Conforme vimos no Exemplo 1.5 esta onda triangular tem período T = 2, freqüência fundamental ω0 = π e forma analítica f(x) = { −x , −1 ≤ x < 0 x , 0 ≤ x < 1 , f(x + 2) = f(x). Para a determinação de cn, substituímos ω0 = π na equação (2.13). Assim cn = 1 2 ∫ 1 −1 f(x)e−inπxdx = 1 2 [∫ 0 −1 −xe−inπxdx + ∫ 1 0 xe−inπxdx ] . (2.16a) 32 Pela equação (5) (Formulário - página 45) com ω0 = π, a equação (2.16a) torna-se cn = 1 2 [ − ( ix nπ + 1 n2π2 ) e−inπx ∣∣0 −1 + ( ix nπ + 1 n2π2 ) e−inπx ∣∣1 0 ] = 1 2 [ − 1 n2π2 + ( − i nπ + 1 n2π2 ) einπ + ( i nπ + 1 n2π2 ) e−inπ − 1 n2π2 ] , e como, para n ∈ Z, einπ = cos(nπ) = cos(−nπ) = e−inπ, obtemos cn = 1 2 [ − 2 n2π2 + 2 n2π2 cos(nπ) ] = 1 n2π2 [ cos(nπ)− 1 ] . (2.16b) Observe que c0 não pode ser calculado pela equação (2.16b), pois resultaria em divisão por zero. Logo devemos calculá-lo separadamente: c0 = 1 2 ∫ 1 −1 f(x)dx = 1 2 [∫ 0 −1 −xdx + ∫ 1 0 xdx ] = 1 2π [ −x 2 2 ∣∣0 −1 + x2 2 ∣∣1 0 ] = 1 2 ( 1 2 + 1 2 ) = 1 2 Usando a equação (1) (Formulário - página 45), a equação (2.16b) torna-se cn = { 0 , se n é par − 2n2π2 , se n é ímpar . Assim, substituindo ω0 = π na equção (2.12), a representação em Série de Fourier Complexa da onda triangular da Figura 1.5 é dada por f(x) ∼ . . .− 2 25π2 e−5iπx − 2 9π2 e−3iπx − 2 π2 e−iπx + 1 2 − 2 π2 eiπx − 2 9π2 e3iπx − 2 25π2 e5iπx − . . . ou, na forma de somatório, f(x) ∼ 1 2 − 2 π2 ∑ k∈Z 1 (2k + 1)2 ei(2k+1)πx. 2.1.1 Problemas Propostos Problema 2.1 Refaça os cálculos do Exemplo 2.1 (página 31) integrando sobre o intervalo (a) [0, 2π] (b) [−2π, 0] (c) [2π, 4π] Problema 2.2 Refaça os cálculos do Exemplo 2.3 (página 32) integrando sobre o intervalo (a) [0, 2] (b) [−2, 0] (c) [2, 4] Problema 2.3 A partir dos coeficientes complexos cn do Exemplo 2.3 determine os coeficientes trigono- métricos a0, an e bn. Compare o resultado com o Exemplo 1.5 na página 11. Problema 2.4 Para cada função periódica a seguir esboce seu gráfico em um intervalo de três períodos e encontre sua representação em Série de Fourier Complexa. 33 (a) f(x) = { 0 , −1 ≤ x < 0 1 , 0 ≤ x < 1 , f(x) = f(x + 2). (b) f(x) = { 0 , −π ≤ x < 0 x , 0 ≤ x < π , f(x + 2π) = f(x). (c) f(x) = { −3− x , −3 ≤ x < 0 3− x , 0 ≤ x < 3 , f(x) = f(x + 6). (d) (retificador de meia onda) f(x) = { 0 , −π ≤ x < 0 sen(x) , 0 ≤ x < π , f(x) = f(x + 2π). (e) (retificador de onda completa) f(x) = sen(x), 0 ≤ x < π, f(x) = f(x + π). Problema 2.5 Obtenha a representação em Série de Fourier Complexa da função periódica do Problema 1.9 da página 13 a partir de sua representação em Série de Fourier Trigonométrica. Problema 2.6 Obtenha a representação em Série de Fourier Complexa da função periódica do Problema 1.10 da página 13 a partir de sua representação em Série de Fourier Trigonométrica. Problema 2.7 Obtenha a representação em Série de Fourier Complexa da função periódica do Exemplo 1.7 da página 19 a partir de sua representação em Série de Fourier Trigonométrica. Problema 2.8 Analise as equações (2.6), (2.7) e (2.11) para se convencer que: (a) Se f possui simetria par então os coeficientes cn de sua expansão em Série de Fourier Complexa são números reais puros; (b) Se f possui simetria ímpar então os coeficientes cn de sua expansão em Série de Fourier Com- plexa são números imaginários puros; 2.2 Números Complexos - Formas de Representação Antes de abordarmos os espectros discretos relembramos rapidamente alguns resultados fundamentais sobre os números complexos. O leitor que se sente confortável com a álgebra elementar e as diversas formas de representação dos números complexos pode passar diretamente para a Seção 2.3. Números Complexos - Forma Cartesiana Um número complexo é um número da forma z = x + iy, onde • x é a parte real de z, e escrevemos x = Re[z], • y é a parte imaginária de z, e escrevemos y = Im[z]. 34 Números Complexos - Forma Polar (ou Trigonométrica) Na Figura 2.1 observamos que x = |z|cos(φ) e y = |z|sen(φ), de modo que o número complexo z = x+ iy pode ser reescrito na forma z = x + iy = |z|cos(φ) + i |z|sen(φ), ou seja z = |z|[cos(φ) + isen(φ)], (2.19) chamada forma polar ou trigonométrica de z. Números Complexos - Forma Exponencial Pela definição da exponencial complexa ex+iy = ex[cos(y) + isen(x)], observamos que cos(φ) + isen(φ) = eiφ, de modo que a forma polar dada pela equação (2.19) pode ser reescrita como z = |z|eiφ, (2.20) chamada forma exponencial de z. Números Complexos - Forma Fasorial - 6 eixo real eixo imaginário b (2, 2) ≡ (2√2, π4 ) b(−2,−2) ≡ (2√2,− 3π4 ) b (0, 1) ≡ (1, π2 ) b (0,−1) ≡ (1,−π2 ) b(3, 0) ≡ (3, 0)b(−3, 0) ≡ (3, π) Figura 2.3: Alguns números complexos - forma cartesiana e forma fasorial. 37 Uma outra maneira de se representar um número complexo é através de sua forma fasorial z = (|z|, φ), (2.21) isto é, através de um par ordenado onde a primeira componente nos dá a amplitude do número complexo e a segunda componente nos dá sua fase. A Figura 2.3 ilustra alguns exemplos onde o primeiro par ordenado representa o número complexo na forma cartesiana e o segundo representa o número complexo na forma fasorial. 2.2.1 Problemas Propostos Problema 2.9 Represente cada número complexo a seguir em um mesmo plano complexo. A seguir determine sua amplitude e sua fase e reescreva-o nas formas cartesiana, polar, exponencial e fasorial. (a) z = 2 + 2i (b) z = 3− 3i (c) z = −1− i (d) z = 2 + √ 3i (e) z = −2 +√3i (f) z = 1−√3i (g) z = −1−√3i (h) z = 2 + 2i (i) z = 3 (j) z = −5 (k) z = 2i (l) z = −4i 2.3 Os espectros de Amplitude e de Fase Os coeficientes cn da expansão de uma função em Série de Fourier Complexa são números complexos. Na verdade devemos entender cn como uma função complexa de domínio discreto Z, isto é, uma função da forma cn : Z −→ C, que associa a cada inteiro n ∈ Z um número complexo cn ∈ C. Por se tratar de uma função, gostaríamos de representar cn na forma gráfica cn×n. Acontece que tal representação não é possível, uma vez que as imagens cn são complexas. Para representarmos graficamente uma função complexa discreta f : Z −→ C temos duas possibilidades. (a) Decompomos as imagens f(n) em suas partes real e imaginária, isto é, f(n) = Re[f(n)] + i Im[f(n)] e a seguir os traçamos os gráficos Re[f(n)]× n e Im[f(n)]× n separadamente. Tal representação, apesar de perfeitamente plausível, possui pouca utilidade, pois geralmente não estamos interessados nos comportamentos de Re[f(n)] e Im[f(n)] de forma isolada. (b) Uma segunda possibilidade é reescrevermos f(n) na forma fasorial f(n) = (|f(n)|, φn ) e a seguir traçamos os gráficos |f(n)| × n e φn × n separadamente. 38 Usando o segundo raciocínio podemos representar cn através de dois diagramas [4]: um para as amplitudes (conhecido como espectro de amplitudes) e outro para as fases (conhecido como espectro de fases): • Espectro de amplitudes: é um diagrama onde grafamos os valores das amplitudes |cn| dos coeficientes de Fourier versus nω0, isto é, um gráfico da forma4 |cn| × nω0. • Espectro de fase: é um diagrama onde grafamos os valores das fases φn dos coeficientes de Fourier versus nω0, isto é, um gráfico da forma φn × nω0. O próximo Exemplo ilustra a construção destes espectros. Exemplo 2.4 Determine os espectros de amplitudes e de fases da onda dente de serra do Exemplo 1.8 (página 21) mostrada na Figura 1.11 (página 21). Conforme vimos no Exemplo 1.8 esta onda quadrada tem período T = 2π, freqüência fundamental ω0 = 1 e forma analítica f(x) = x, se −π ≤ x < π e f(x) = f(x + 2π). Vimos também que os coeficientes trigonométricos são a0 = an = 0 e bn = − 2 n cos(nπ). A partir dos coeficientes trigonométricos usamos as equações (2.6) e (2.11) para determinarmos cn. Pela equação (2.6) temos cn = 1 2 ( an − ibn ) = 1 2 [ 0 + i 2 n cos(nπ) ] = i cos(nπ) n , (2.22) e pela equação (2.11) temos c0 = 0. Usando a equação (1) (Formulário - página 45) podemos reescrever a equação (2.22) como cn =    0 , se n = 0; i n , se n > 0 e n par ou se n < 0 e n ímpar, − in , se n > 0 e n ímpar ou se n < 0 e n par, ou na forma fasorial cn = (|cn|, φn ) =    (0, 0) , se n = 0;( 1 n , π 2 ) , se n > 0 e n par ou se n < 0 e n ímpar,( 1 n ,−π2 ) , se n > 0 e n ímpar ou se n < 0 e n par, Para obtermos o espectro de amplitudes grafamos |cn| (a primeira componente de cada par ordenado da forma fasorial) em função de nω0, neste caso, em função de nπ. A Figura 2.4 ilustra o espectro obtido. Para obtermos o espectro de fases grafamos φn (a segunda componente de cada par ordenado da forma fasorial) em função de nω0, neste caso, em função de nπ. A Figura 2.5 ilustra o espectro obtido. 4Observamos que nos espectros de amplitudes e de fases utilizamos nω0 (isto é, múltiplos inteiros da freqüência funda- mental) como variável independente, e não simplesmente n. O motivo é simples: nω0 são exatamente as freqüências dos (infinitos) harmônicos que ocorrem na expansão em Série de Fourier. 39 - 61 4 b π b 2 π2 2π b 3π b 2 9π2 4π b 5π b 1 25π2 6π b 7π b 1 49π2 −π b −2π b −3π b −4π b −5π b −6π b −7π b nω0 |cn| Figura 2.6: Espectro de amplitudes do Exemplo 2.5. Assim, de acordo com a equação (2.12), observando nos espectros que ω0 = π), a representação em Série de Fourier complexa deste sinal é dada por5 f(x) ∼ 1 4 − 2 π2 ∑ k∈Z 1 (2k + 1)2 ei(2k+1)πx. ou, na forma expandida f(x) ∼ . . .− 2 25π2 e−5iπx − 2 9π2 e−3iπx − 2 π2 e−iπx + 1 4 − 2 π2 eiπx − 2 9π2 e3iπx − 2 25π2 e−5iπx − . . . Para obtermos os coeficientes trigonométricos inicialmente observamos, pela equação (2.25c), que cn = cn. Assim, pela equação (2.15a) temos an = cn + cn = { 0 , se n é par − 4n2π2 , se n é ímpar , e pela equação (2.15b) ibn = cn − cn = 0, donde bn = 0. Finalmente, pela equação (2.11), temos a0 = 12 . Assim, de acordo com a equação (2.1), a representação em Série de Fourier trigonométrica deste sinal é dada por6 f(x) ∼ 1 4 − 4 π2 ∞∑ k=1 1 (2k − 1)2 cos [(2k − 1)πx] . ou, na forma expandida f(x) ∼ 1 2 − 4 π2 cos(πx)− 4 9π2 cos(3πx)− 4 25π2 cos(5πx) + . . . 5Compare com a equação (??). 6Compare com a equação (1.13c). 42 - 6 −7π −6π −5π −4π −3π −2π −π π 2π 3π 4π 5π 6π 7π b b b b b b b b b b b b b b b π nω0 φn Figura 2.7: Espectro de fases do Exemplo 2.5. 2.3.1 Problemas Propostos Problema 2.10 A partir dos coeficientes complexos obtidos no Exemplo 2.1 (página 31), trace os espec- tros de amplitudes e de fases da onda quadrada da Figura 1.4 (página 9). Problema 2.11 A partir dos coeficientes complexos obtidos no Exemplo 2.3 (página 32), trace os espec- tros de amplitudes e de fases da onda triangular da Figura 1.5 (página 11). Problema 2.12 A partir dos coeficientes complexos obtidos no Problema 2.7 (página 34), trace os es- pectros de amplitudes e de fases da onda da Figura 1.10 (página 20). - 6 nω0 |cn| a 12 a 2π π a 2π a 23π 3π a 4π a 25π 5π a 6π a 27π 7π a 8π (a) Espectros de amplitudes do Problema 2.13. - 6 nω0 φn a π2 π a 2π a 3π a 4π a 5π a 6π a 7π a 8π (b) Espectros de fases do Problema 2.13. Figura 2.8: Espectros do Problema 2.13. 43 Problema 2.13 Obtenha a representação em Série de Fourier (Complexa e Trigonométrica) do sinal cujos espectros são dados na Figura 2.8. Problema 2.14 Obtenha a representação em Série de Fourier (Complexa e Trigonométrica) do sinal cujos espectros são dados na Figura 2.9. - 6 nω0 |cn| a a 1 1 a 12 2 a 13 3 a 14 4 a 15 5 (a) Espectros de amplitudes do Problema 2.14. - 6 nω0 φn a π4 1 a−π4 2 a 3 a 4 a 5 (b) Espectros de fases do Problema 2.14. Figura 2.9: Espectros do Problema 2.14. Problema 2.15 Mostre que para uma função periódica um atraso τ no tempo não tem nenhum efeito sobre o espectros de amplitudes mas altera o espectro de fases por −nω0τ , isto é, gera um atraso de nω0τ para a componenete de freqüência nω0. 44