Apostila de numeros complexos

Apostila de numeros complexos

(Parte 1 de 6)

Funcoes de Uma Variavel Complexa Sergio L. Zani

Sumario

1 Introducao 5 2 Os numeros complexos 9 3 Representacao vetorial de um numero complexo 13 4 Forma polar de um numero complexo 17 5 Raızes de numeros complexos 21 6 Alguns subconjuntos do plano complexo 25 7 Algumas funcoes elementares 29 8 Limite e continuidade 37 9 Derivacao e as equacoes de Cauchy-Riemann 41 10 Funcoes analıticas 51

1.1 Raiz n−esima57
1.2 Logaritmo59
1.3 Potencia61

1 Funcoes multivalentes 57 12 Curvas no plano complexo 63 13 Integracao 67

14.1 Independencia do Caminho7

14 O Teorema de Cauchy-Goursat 75 15 Primitiva 79 16 A formula de Cauchy 85

19.1 Serie de Taylor112
19.2 Zeros de funcao analıtica115
21.1 Singularidades e Serie de Laurent129
2.1 Integrais Improprias Reais135
2.2 Outros Tipos de Integrais139

2 O Teorema do Resıduo e Aplicacoes 131 4

Capıtulo 1 Introducao

Por que precisamos dos numeros complexos?

Antes de responder a esta questao vamos dar uma olhada porque ja precisamos estender o conceito de numeros para podermos resolver algumas equacoes algebricas simples. Primeiramente, assumiremos os naturais, N = {1,2,...}, como o conceito primordial de numero. Nos numeros naturais estao definidas duas operacoes: a adicao (+) e a multiplicacao (· ou ×). Tambem existe uma ordem natural nestes numeros (<). Considere o seguinte

Problema 1 Encontre um numero natural que somado a 2 resulta em 1. Se n for este tal numero natural, devera satisfazer

Como o lado esquerdo da equacao 1.1 e sempre maior do que 2 1 < 2 vemos que nao existe solucao para este problema dentro dos numeros naturais. Assim, primeira extensao do conceito de numero se faz necessaria. Daı surgem os numeros inteiros que ampliam o conceito dos numeros naturais e preservam as operacoes e a ordem que ja existiam anteriormente. O elemento 0 e tal que 0 + m = m para todo M ∈ N e, dado n ∈ N, −n denota o inteiro que satisfaz (−n) + n = 0. Note que problema 1 tem solucao em Z. Vejamos o seguinte

Problema 2 Encontre um numero inteiro cujo dobro seja a unidade. Se n fosse um inteiro que solucionasse este problema deverıamos ter

Porem, o lado esquerdo de 1.2 e par, enquanto que o numero um e ımpar. Ou seja, nao existe solucao para o problema 2 dentro dos numeros inteiros. A solucao e ampliar mais uma vez o conceito de numeros estendendo-o para o conjunto dos numeros racionais. Aqui a extensao

equivalentes se pn = qm. Quando isto acontece, representaremos por pq ou p/q todos os pares

(m,n),n 6= 0 tais que pn = qm, e chamaremos p/q de um numero racional. Podemos tambem definir a soma e a multiplicacao entre dois racionais da seguinte maneira qn e pq · m n = pm

Os numeros racionais tambem tem uma ordem natural que estende a ordem existente previamente nos inteiros: dados dois racionais r,s podemos supor que r = p/q, q > 0 e s = m/n, n > 0, e dizemos que r,s se pn < qm. As operacoes e a ordem assim definidas para os numeros racionais preservam as anteriores. Note que 2 apresenta solucao em Q. Considere agora o

Problema 3 Encontre um quadrado cuja area seja dois. Se r for a medida do lado de um tal quadrado, deverıamos ter

Esta equacao, porem, nao tem solucao dentro dos numeros racionais. Basta ver que se colocarmos r = p/q, e notarmos que podemos assumir que p e q nao apresentam divisores em comum (com excecao de 1 ou −1), entao 1.3 e equivalente a

Assim p2 e par e, portanto, p e par (por que?). Logo, podemos escrever p = 2k para algum inteiro k. Colocando esta informacao na equacao 1.4 obtemos

Ou seja, q2 e par e, consequentemente, q tambem e par. Mas isto e impossıvel pois p e q nao possuem divisores comuns que sejam 1 e −1. Concluindo, o problema 3 nao apresenta solucao em Q, isto e, nao existe nenhum numero racional que satisfaca a equacao r2 = 2. Note porem, que existe uma infinidade de racionais que satisfazem a desigualdade r2 < 2 e que podemos tomar r2 tao proximo de 2 quanto quisermos. Basta considerar, por exemplo, a sequencia de

A proxima extensao a ser considerada, a dos numeros reais, e mais elaborada do que as anteriores e nao a apresentaremos aqui. Contudo, o conjunto dos numeros reais, R, pode ser entendido como um conjunto ordenado contendo os numeros racionais, sobre o qual estao definidas duas operacoes (adicao e multiplicacao) que preservam as propriedades anteriores e satisfazendo o axioma do supremo: todo subconjunto nao vazio X ⊂ R e limitado superiormente possui supremo, isto e, existe um numero real c tal que x ≤ c para todo x ∈ X e se d ∈ R satisfizer esta mesma propriedade entao c ≤ d. Note que o conjunto X = {x ∈ R;x > 0,x2 < 2} e nao vazio, pois 1 ∈ X, e e limitado superiormente por 2, por exemplo. Desta maneira, X possui supremo em R. Pode-se provar que o supremo de X, digamos c, satisfaz c2 = 2, resolvendo-se, assim, o problema 3 em R. Considere o

Problema 4 Encontre um numero cujo quadrado seja igual a −1.

uma contradicao.

Antes de continuarmos, talvez seja natural tentar explicar porque se deveria resolver um problema como 4. Uma motivacao para isto pode ser dada pela equacao diferencial que descreve o movimento do pendulo: y′′ + y = 0. (1.5)

Note que as funcoes ex e e−x, x ∈ R satisfazem y′′ − y = 0 e, portanto, e natural procuramos solucao de 1.5 da forma y(x) = eλx. Somos levados a

Capıtulo 2 Os numeros complexos

Tambem podemos definir a multiplicacao de um par (x,y) por um numero real λ da seguinte forma: λ(x,y) = (λx,λy) (multiplicacao por escalar).

A primeira das operacoes acima nada mais e do que a soma de coordenadas vetoriais que ja e familiar de Algebra Linear ou Calculo I e como visto, satisfaz as propriedades associativa e comutativa apresenta um elemento neutro e para todo par ordenado existe um recıproco que somada a ele resulta no elemento neutro. Note que C com a adicao e a multiplicacao por escalar real e um espaco vetorial sobre R de dimensao dois. Com relacao a operacao 2, temos a seguinte

Proposicao 1 A operacao definida em C = R × R por

Prova: 1. Associatividade: Por um lado, temos

2. Associatividade: Por um lado, temos

Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar.

3. Elemento Neutro: Temos

e obtemos

Se n ∈ N e z ∈ C definimos zn = zn−1 · z, n ≥ 2,z1 = z. O inverso multiplicativo de um numero complexo z nao nulo sera denotado por z−1 e se m e um inteiro negativo, definimos

As operacoes de multiplicacao e adicao se relacionam atraves da distributividade como pode ser visto na seguinte

Por outro,

Comparando as expressoes acima obtemos o que querıamos mostrar.

Definicao 1 O conjunto C munido das operacoes de adicao e multiplicacao definidas acima e chamado de corpo dos numeros complexos.

dizem que o subconjunto dos numeros complexos dado por R = {(x,0);x ∈ R} e preservado pela adicao e multiplicacao. Desta forma, e natural identificarmos R com o conjunto dos numeros reais. Em outras palavras: podemos assumir que o conjunto dos numeros reais e um subconjunto dos numeros complexos.

Como ja observamos, C e um espaco vetorial sobre R com respeito a adicao e a multiplicacao por escalares reais. Alem do mais, por seus elementos serem pares ordenados, C e um espaco vetorial bidimensional sobre R. Desta forma, como (1,0) e (0,1) formam uma base, todo par z = (x,y) ∈ C se escreve de maneira unica como

Ja vimos que (1,0) e o elemento neutro da multiplicacao e como (1,0) ∈ R, vamos denota-lo tambem por 1. Vejamos o comportamento de (0,1). Temos

Assim, o numero complexo (0,1) possui quadrado recıproco aditivo do elemento neutro da adicao. Usaremos a notacao i = (0,1), obtendo

Com isto, todo elemento z = (x,y) ∈ C pode ser escrito de modo unico como z = x1 + yi, ou ainda z = x + yi. Tambem escreveremos z = x + iy.

Dado z = x + iy, x,y ∈ R, o numero x e chamado de parte real do numero complexo z e e denotado por <z. O numero y e chamado de parte imaginaria do numero complexo z e e denotado por =z. Temos z = 0 se e somente se <z = =z = 0. Com esta nova notacao, as operacoes em C podem ser escritas da seguinte forma

Capıtulo 3

Representacao vetorial de um numero complexo

Ja vimos que um numero complexo z = x+iy,x,y ∈ R e uma representacao de um par ordenado (x,y). Assim, podemos representa-lo num plano cartesiano xOy, identificando o eixo x com os numeros reais (os multiplos de 1 = (1,0)). O eixo y representa os multiplos de i = (0,1) e sera denominado de eixo imaginario.

3
y

xi 1O

Com esta visao geometrica dos numeros complexos, definimos o modulo de z = x+iy,x,y ∈

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