Exercícios Resolvidos do Moysés Nussenzveig.Vol.: 01

Exercícios Resolvidos do Moysés Nussenzveig.Vol.: 01

(Parte 1 de 2)

Problemas Resolvidos VETORES

Atenção Leia o assunto no livro-texto e nas notas de aula e reproduza os problemas resolvidos aqui. Outros são deixados para v. treinar

PROBLEMA 1 Dois vetores, cujos módulos são de6e9u nidades de comprimento, formam um ângulo de (a) 0°,

(b) 60°, (c) 90°, (d) 150°, e (e) 180°. Determine o módulo da soma desses vetores e a direção do vetor resultante com relação ao menor vetor.

SOLUÇÃO Seja |a| 6 e |b| 9 e vamos escolher a direção Ox na direção e no sentido do vetor a.N aF igura1 , c a b, representa a soma dos vetores a e b, é o ângulo entre esses vetores e é a direção da resultante com relação vetor a (menor vetor). De acordo com o que vimos em classe, a soma de dois vetores, em termos das componentes, pode ser escrita como cx ax bx, cy ay by → c cx i cy j de onde podemos calcular a direção de c em relaçãoa oe ixo Ox, usando a expressão

Como a direção de Ox coincide com a direção do vetor a, o angulo é também o ângulo entre o vetor resultante c eo vetor a, que o problema pede. Com base na figura, vamos calcular o vetor resultante c e sua direção em relação a a para cada um dos casos mostrados.

θ = 60ºθ = 90º θ = 150º α α αα = 180º ab c c b b c b y y y y y x x α = 0º i j

Figura 1 Representação geométrica de c a b (a) Componentes:

Logo,

(b) Componentes: Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física 1

Universidade Federal do Amazonas

Logo,

(c) Componentes:

Logo,

Logo,

(e) Componentes:

Logo,

PROBLEMA 2 Calcule o ângulo entre dois vetores, de módulos iguais a 10 e 15 unidades de comprimento, nos casos em que a soma desses vetores é (a) 20 unidades de comprimento e (b) 12 unidades de comprimento. Desenhe uma figura apropriada.

SOLUÇÃO Seja |a| 10 e |b| 15, e o ângulo entre os dois vetores que queremos calcular. Vamos escolher o

Notas de Aula de Física I Vetores - Problemas Resolvidos 2

Universidade Federal do Amazonas eixo Ox na direção e sentido do vetor a, de modo que ax a 10 e ay 0. Assim

Assim, substituindo os valores na última equação, encontra-se

b2 3,75 i − 14,5 j Para calcular o ângulo entre os dois vetores, basta calcular o ângulo entre o vetor b eoe ixo Ox. Assim,

b c

|c| =20 y x

(b) Faça este ítem, seguindo o mesmo procedimento de (a). ★★★

Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física 3

Universidade Federal do Amazonas

PROBLEMA 3 Dois vetores formam um ângulo de 110°. Um dos vetores é de 20 unidades de comprimento e faz um ângulo de 40° com o vetor resultante da soma dos dois. Determine o módulo do segundo vetor e do vetor soma.

SOLUÇÃO Vamos supor que c a b e que |a| 20, fazendo um ângulo 40º com o vetor resultante c. Escolhendo o eixo Ox na direção e sentido do vetor a então o ângulo entre o vetor b e ste ixov ale 110º (o mesmo que entre a e b .

θ = 110º a x α = 40º

Figura 3

Cálculo do módulo do vetor b Da mesma forma, é o ângulo entre o vetor c eoe ixo Ox (Figura 3). Em termos das componentes:

Para 40º, e como sabemos que

queéom ódulo do vetor b.

PROBLEMA 4 O vetor resultante de dois outros é de 10 unidades de comprimento e forma um ângulo de 35° com um dos vetores componentes, que é de 12 unidades de comprimento. Determine o módulo do outro vetor e o ângulo entre os dois.

SOLUÇÃO Seja c a b e |c| 10. Vamos escolher |a| 12 eoe ixo Ox na direção e sentido deste vetor. Assim, o vetor resultante c faz um ângulo 35° com o vetor a e, por construção, com o eixo Ox. Da mesma forma, éo ângulo entre a e b e também o ângulo entre b eoe ixo Ox (direção de b (Figura 4). As componentes desses vetores são :

Notas de Aula de Física I Vetores - Problemas Resolvidos 4

Universidade Federal do Amazonas x α = 35º

Figura 4

Cálculo do ângulo entre os vetores a e b Mas, como conhecemos o móduloead ireção de c, podemos calcular suas componentes, ou seja,

Cálculo do módulo do vetor b Com o ângulo agora podemos calcular b usando a expressão para c

Esta equação do segundo grau tem duas iguais, b 6,7 queéom ódulo do vetor, que procuramos. ★★★

PROBLEMA 5 Determine o ângulo entre dois vetores, de8e1 0u nidades de comprimento, quando o vetor resultante faz um ângulo de 50° com o vetor maior. Calcule, também, o módulo do vetor resultante.

SOLUÇÃO Faça este problema; é similar ao anterior. ★★★

PROBLEMA 6 A resultante de dois vetores é de 30 unidades de comprimento e forma, com eles, ângulos de 25° e 50°. Determine os módulos dos dois vetores

SOLUÇÃO Resolva este problema; é similar aos anteriores. ★★★

Prof. Dr. Abraham Moysés Cohen Departamento de Física 5

Universidade Federal do Amazonas

PROBLEMA 7 Determine as componentes ortogonais de um vetor de 15 unidades de comprimento que forma um ângulo, com o eixo Ox, positivo, de (a) 50°, (b) 130, c) 230° e (d) 310°.

(Parte 1 de 2)

Comentários