somatórios

somatórios

(Parte 1 de 2)

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário

Muitas vezes precisamos escrever somas de muitas parcelas, às vezes até infinitas delas e para isso usamos uma notação muito especial que facilita a nossa vida.

k kn a 1

21

k k k k acca 1 k knn k k k k k k baba 1

Dem.:

k k k k n n k k bbbaaababababa k k k k bacbac 1

Dem.: Análoga às outras.

Dem.: nnk nk vezesnnk

3. Técnicas para computar somas:

a-) Perturbação de somatórios:

Esta é uma técnica muito legal e prática e para ser usada devidamente é necessário que se ganhe um tempo estudando opções que melhor satisfaçam os problemas. Basta acrescentar ao somatório o próximo termo e assim reescrever o somatório de forma conveniente para que termos se cancelem e facilite o cálculo. Vamos ver alguns exemplos!!

Vamos calcular ∑ . Como foi dito, temos que escolher o melhor somatório para perturbar, nesse caso

vamos perturbar a soma dos cubos.

= + 3 = - 3

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário

Outro exemplo, vamos resolver Para isso, vamos perturbar ∑=n k kk1 ! ∑=n k k1

nkkkkknk nknknkn k

1-) ∑

Treinando:

2-) Prove que = 0

k kkk1

Desafio: Calcule por perturbação de somatórios ∑.

b-) Operador diferença:

Essa é uma técnica muito interessante e poderosa que resolve muitos tipos de somatórios. Basta descobrir uma função contínua no intervalo que compreende o intervalo da soma, que quando aplicado o resulte no somatório que queremos calcular. )(kfΔ

Def.:)()1()(kfkfkf−+=Δ

Calculando ∑ temos que: = Δ k kf1

Observa-se então o porquê de essa ser uma técnica muito poderosa, temos uma fórmula pronta para resolver qualquer somatório, desde que se descubra uma função que quando aplicado o )(kfΔ encontre-se a “cara” do somatório que queremos. Vamos ver alguns exemplos: Vamos calcular o mesmo somatório anterior: ∑=n k kk1

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário nkn k nfnfkkkf

Vamos calcular ∑ . Seja f(k) = cos((k+b)x)
1cos)(e ⎟⎠⎞⎜⎝⎛−=Δ2

xxnxxnkf

12nxsenxnsen

nxsenxnsen kxsen n k .

1-) Calcule∑=

k xakxa1 k k sen.

4-) Calcule os mesmos somatórios do item anterior agora com a técnica do operador diferença.

c-) Soma de derivadas:

Existem alguns somatórios que o termo geral é parecido com a derivada de uma função que sabemos somar. Por exemplo, temos a soma em que os termos são da forma são muito parecidos com

que é a derivada de que é uma PG e que a soma é conhecida. Para calcular o somatório basta dividir o termo geral por x, integrar o termo geral resultante, que vai se tornar uma PG, somar

essa PG, derivar a resposta e depois multiplicar por x. Isto é possível porque a soma das derivadas é a derivada da soma. Vale salientar que para que essa técnica funcione sempre, é necessário que a função com a qual se parece o termo geral do nosso somatório, seja contínua no intervalo que compreende o intervalo do somatório Vejamos:

∑∑∑ x xxnnxdx x xxd

x dx xkxxkx n k n k n k k.

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário

k k nk

Obs.: É bom ficar claro que , até porque não faz sentido o cálculo de uma soma em que todos os termos fossem zero pois o resultado seria trivial. 0≠x d-) Soma de números binomiais:

Esta técnica envolve um conhecimento prévio de raízes da unidade. Essa associação é usada, porque temos algumas informações sobre os binomiais, por exemplo sabemos que (basta somar os

números das linhas do triângulo de pascal) e sabemos que na equação ,

= 0. Para a demonstração dessa propriedade, basta calcular o somatório abaixo e para isso basta substituir x por n k k

⎟⎠⎞⎜⎝⎛ n π2 na expressão encontrada no exemplo de soma de senos em PA e também no exercício proposto de soma de cossenos em PA. Acompanhe o raciocínio abaixo:

kinkn kinkn kcisπππππ n sen nni n sen

Vejamos um exemplo para a melhor compreensão.

lembrando que

⎛=+ nZnZ nnZ n

34

⎛=+ nZnZ nnZ n

Z zero n

)1()1()1(2nnnZZ+++++
)()()1(2nnnZZ−+−++Da figura: ⎟⎠⎞⎜⎝⎛=−3
= ()()3
= 3

OBS.: Há uma propriedade importante sobre soma de binomiais. Veja:

Autor: Filipe R. S. Moreira – (ITA – SP) Revisão: Thiago da Silva sobral – (ITA – SP) Nível intermediário rks rk knknkn 1

)!(! ! knkn knk nkn knk nk n s rks rks rks rk

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