P3 Cálculo Numérico 2008 com Resolução Poli - USP, Provas de Engenharia Civil

Baixe P3 Cálculo Numérico 2008 com Resolução Poli - USP e outras Provas em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! MAP 2121 - CÁLCULO NUMÉRICO (POLI) - Prova 3 - 04/12/08 Duração: 2 horas. Questão 1 (2.5 pontos) Calcule os coeficientes da análise harmônica da função periódica de período 2 definida por f(x) = |x| em [-1,1]. Qual é a amplitude do harmônico de ordem 2? A função tabelada abaixo será usada nas duas questões seguintes: Questão 2 (2.5 pontos) Deseja-se ajustar os dados tabelados por um po- linômio p (de menor grau possível) por um MMQ discreto, de tal forma que o erro quadrático DZ. o(f(i) — p(i))? seja menor que 107". Inicie pelo po- linômio constante e vá incrementando o grau até obter o polinômio desejado. Use os polinômios ortogonais como no EP. Qual o erro quadrático entre o polinômio obtido e o polinômio interpolador da tabela (de grau 4) ? Questão 3 (2.5 pontos) a) Mostre que se f € C?[a, b] então existe w em [a,b] tal que f(x,y, 2) = f"(w)/2, para quaisquer x, y, z distintos em (a, b]. b) Construa as diferenças divididas da função tabelada acima e estime o máximo módulo de sua segunda derivada em [-2,2] com base nestas diferenças. c) Use todos os dados da tabela para avaliar [2, f(x) da pelo método dos trapézios e estime o erro cometido, usando o item b. (O erro com n trapézios é limitado por mazsetag)]f(a)|(b — a)h2/12) Questão 4 (2.5 pontos) Uma fórmula de integração aberta não faz uso dos valores da função nos extremos do intervalo. Por exemplo, para calcular fy f(x)da dividimos [0, 4] em quatro subintervalos de mesmo tamanho e aproximamos a integral de f pela integral do polinômio de grau menor ou igual a 2 que interpola f nos pontos interiores 1, 2 e 3. a) Determine pelo método de diferenças divididas o polinômio p que in- terpola f nestes 3 pontos. b) Integre p no intervalo [0,4] (pela fórmula de Simpson) de maneira a obter a fórmula de integração. Há diferença caso você integre p exatamente? c) Use a fórmula obtida para calcular /, viedr (sim, uma mudança de variáveis se faz neressárial) Pa (0008, , QU- At - t z e. X-> *t - Ja fe É El º 2 “ar -X -léxs Jia: De Jocesi — pt) de te é 0 Pleflmede- [C6Dwi dt) = ag: HU U6) emitdts (” (É-)len2t) “o O be HE mtdes [F-Duntde) = ba= 7 (ft Slanttet o (L$-1) EHEO 0,4 64 = :03:b,:b.=0 ho Ta7e7 = E=0] ipod um | na E: TO) (raro