Cálculos de vigas

Cálculos de vigas

(Parte 1 de 3)

PEF2308 Fundamentos de Mecânica das Estruturas Prof. Osvaldo Nakao

Texto de apoio às aulas presenciais compilação de exercícios resolvidos

Elaborado pelos acadêmicos Rodrigo Suzuki Okada João Paulo P. L. Sâmara

- Junho 2006 –

PEF 2308 – Compilação de Exercícios Resolvidos

1. Definições03
2. Apoios no plano03
2.1. Engastamento03
2.2. Articulação Fixa03
2.3. Articulação Móvel03
3. Exercícios Resolvidos04
3.1. Viga em balanço04
3.2. Viga Simplesmente Apoiada06
3.3. Vigas inclinadas08
3.4. Vigas poligonais10
3.5. Estruturas Espaciais14

Índice 4. Formulário 17

PEF 2308 – Compilação de Exercícios Resolvidos

3 1. Definições

• Apoios: pontos de sustentação de qualquer estrutura.

• Força Normal (N): força que atua perpendicularmente à seção transversal, ou seja, na direção do eixo da peça. Pode-se expressar em kN.

• Força Cortante (V): força que atua no plano da seção transversal, ou seja, perpendicularmente ao eixo da peça. Pode-se expressar em kN.

• Momento Fletor ou de Flexão (M): momento que atua em torno dos eixos contidos no plano da seção transversal. Pode-se expressar em kN.m.

• Momento Torçor ou de Torção (T): momento que atua em torno do eixo perpendicular à seção transversal. Pode-se expressar em kN.m.

• Esforços Solicitantes: força normal, força cortante, momento fletor e momento de torção.

• Carregamentos: força aplicada em um único ponto, força aplicada em um comprimento (força distribuída por unidade de comprimento), força aplicada em uma superfície (força distribuída por unidade de área). Pode-se expressar em kN , em kN/m, ou em kN/m2.

2. Apoios no plano 2.1. Engastamento

O engastamento impede qualquer movimento (translações ou rotações) pelo aparecimento de reações. A figura ilustra o engastamento de uma barra num plano. Nesse caso, Xa impede a translação horizontal, Ya impede a translação vertical e Ma impede o giro em torno do ponto de engastamento. Por exemplo, um poste de iluminação está engastado ao solo.

Apoio em que não se permite nenhum tipo de translação para a estrutura. Na figura, as reações Xa e Ya impedem a translação horizontal e vertical, respectivamente. A articulação fixa permite o giro em torno do eixo ortogonal ao plano de Xa e Ya. O apoio de uma cadeira sobre um piso rústico pode ser considerado uma articulação fixa.

2.3. Articulação Móvel

Apoio em que se impede apenas a translação perpendicular ao plano de apoio. Na figura, a reação Yb impede apenas a translação vertical.

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3. Exercícios Resolvidos

1. Viga em balanço. Determinar as reações no apoio e esboçar os diagramas dos esforços solicitantes na viga em balanço. A força distribuída por comprimento (p) está aplicada em todo o comprimento (a) da viga em balanço.

1.1. Determinar as reações no engastamento

A força p distribuída pelo comprimento a é mecanicamente equivalente é p.a aplicada a uma distância a/2 do ponto A. Se para a estrutura estar em equilíbrio a resultante das forças aplicadas deve ser nula e o momento em torno de qualquer ponto deve ser nulo, então pode-se impor o equilíbrio na barra:

• Σ X = 0 = Xa Æ Xa = 0 • Σ Y = 0 = Ya – p.a Æ Ya = p.a

• Σ M(A) = 0 = Ma – p.a.a/2 Æ Ma = p.a2/2

1.2. Diagrama do corpo livre, e aplicação do teorema do corte.

Para conhecer como os esforços se distribuem ao longo da barra basta obtermos o diagrama dos esforços solicitantes. Para isso, corta-se a barra em uma seção genérica S a uma distância x de A, e determinam-se os esforços solicitantes que atuam nessa seção: a força normal (N), a força cortante (V) e o momento fletor (M).

• Σ X = 0 = N Æ N = 0

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• Σ Y = 0 = p.a – p.x – V Æ V = p.(a – x) • Σ M(S) = 0 = p.a2/2 – p.a.x + p.x.x/2 + M Æ M = p.( -x2/2 + a.x - a2/2)

Com isso, obtêm-se os esforços solicitantes em qualquer ponto da barra. As expressões, em função de x, também permitem esboçar os diagramas desses esforços solicitantes.

1.3. Diagramas dos esforços solicitantes

Para esboçar os diagramas pedidos, deve-se obter os valores de determinados pontos. Em particular, no início e no fim da barra.

• V(x) = p.(a – x) o V(0) = p.a o V(a) = 0

• M(x) = p.( -x2/2 + a.x - a2/2) o M(0) = - p.a2/2 o M(a/2) = - p.a2/8 o M(a) = 0

Com isso, desenham-se os diagramas, lembrando que no gráfico de momento o eixo positivo é invertido.

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2. Viga Simplesmente Apoiada: Calcular as reações de apoio, e esboçar os diagramas dos esforços solicitantes.

2.1. Calcular as reações nos apoios

A única força ativa é P. Nas articulações, como não há momento fletor aplicado, já se sabe que o momento fletor é zero, pois o giro é permitido. E, aplicam-se as condições de equilíbrio, ou seja, a resultante (somatória) das forças deve ser zero e a somatória dos momentos em torno de qualquer ponto deve ser zero. Admitindo que L = a + b, temos que:

• Σ X = 0 = Xa Æ Xa = 0

• Σ M(A) = 0 = P.a + Yb.(a+b) Æ Yb = P.a/L • Σ M(B) = 0 = -Ya.L + P.b Æ Ya = P.b/L

Há sempre, no plano, três equações independentes formando o sistema possível determinado com as três incógnitas do problema. Há outras equações (como por exemplo a somatória no Y), que podem ser utilizadas para verificação:

• Σ Y = Ya – P + Yb = P (b + a – L )/L = 0 Æ OK

Nota: A verificação leva sempre a uma condição necessária, mas que não é suficiente.

2.2. Diagrama do corpo livre, e aplicação do teorema do corte

Neste problema, há necessidade de se efetuar fazer dois cortes, um antes da força P e um depois, obtendo-se as seções S1 e S2.

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