DESCONHECIDO, Autor - Apostila Cálculo II

DESCONHECIDO, Autor - Apostila Cálculo II

(Parte 2 de 6)

I = dx

1) Método da Integração por Partes Sejam u e v duas funções de x. Da fórmula da derivada do produto, tem-se que:

du v - (u.v) d dv u du v - u.v) ( d dv u du v dv u d(u.v)

Esta técnica de integração consiste em substituir a integral que se deseja calcular por outra integral, de preferência mais simples do que a integral original. A primeira coisa a ser feita na aplicação desta fórmula é a escolha para os termos u e dv, que deve seguir os seguintes critérios.

a) Você deve ser capaz de calcular a integral ∫dv para encontrar a expressão de v.

Se não conseguir calcular esta integral, faça outra escolha para u e dv.

Apostila de Cálculo I b) Você deverá obter uma integral ∫du vque seja mais simples ou pelo menos semelhante à integral original; afinal de contas, esta é a integral que você efetivamente calculará. Em geral, a integral ∫du vserá mais simples quando a expressão u é simplificada pela diferenciação.

Exemplos:

1) Calcular a integral ∫dx ex x .

Não use as expressões u=ex e dv=xdx, pois a nova integral torna-se mais complexa do que a original; use as expressões u=x e dv=ex dx e o problema se resolve facilmente. Então:

e dx e vdxdu
dx e dvx u
()C1eC x.edx e-e x.dx e . x x+−=+−=∫∫=xe

2) Calcular a integral ∫dx x sen x Basta usar as expressões u=x e dv = sen x dx

xcos vdxdu
dx x sen dvx u

Csen x.cos- dx x cos- xcos x.- dx x sen . x +−=∫∫=x 3) Calcular a integral ∫dx e x3x2

Apostila de Cálculo I

Use as expressões dx e dv ex u3x2

9 ==; neste caso a integral subsequente deverá ser calculada aplicando-se novamente a fórmula de integração por partes.

3x3x 3x2

1 dx e vdx2x du
dx e dvx u

dxex 3

1 . xdx 2x e

Reaplica-se o método na integral do último termo dxex 3x∫:

3x3x3x e

1 dx e vdxdu
dx e dvx u

3x3x3x3x3xe 9

. xdxe

A integral inicial fica:

C e 27

Exercícios: Calcular as integrais:

1) ∫dx x cos x.

Apostila de Cálculo I

2) Método da Integração por Substituições Trigonométricas

Se o integrando contém expressões das formas

()()()n22n22n22xa ou ax xa+−−, tente fazer substituições imediatas (do tipo u=a2-x2 , u=x2-a2 ou u=a2+x2), que serão úteis desde que hajam outros termos no integrando que simplifiquem a nova integral. Se não for este o caso, proceda da seguinte forma para realizar uma substituição trigonométrica:

a) Desenhe um triângulo retângulo.

b) Identifique a hipotenusa e os dois catetos do triângulo retângulo; lembrese de que um dos lados do triângulo deverá representar uma das expressões

c) Use as definições das funções trigonométricas e obtenha a substituição correspondente.

Temos os seguintes tipos de substituições:

Apostila de Cálculo I

(a) Se no integrando aparece a expressão ()n22xa−, use a substituição:

dθ θ c adx , θ sen a x os== e ()θ cos axa22 =−.

Substituição trigonométrica: dθ θ c adx , θ sen a x os== e ()θ cos axa22 =−.

(b) Se no integrando aparece a expressão()n22ax −, use a substituição dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e ()θ tg a ax

Substituição trigonométrica: dθ θ tg θsec adx , θsec a x == e()θ tg a ax 2 =−

(c) Se no integrando aparece a expressão ()n22xa +, use a substituição dθ θ sec adx , θ tg a x 2 == e ()θsec a xa 2=+.

Substituição trigonométrica: dθ θ sec adx , θ tg a x 2 == e ()θsec a xa 2 =+

Apostila de Cálculo I

Não há necessidade de memorizar todas estas substituições; basta desenhar o triângulo apropriado e ler as expressões correspondentes na figura.

Resolvidos

1) Calcular a integral ()dx x16x 1

cosθ 4 x-16 e dθ θ cos 4 dxcom , θ sen 4 x 2

Faz-se a substituição ===

θ cotg16 θcossec 16

1 dθ

1 dθ θ cos 4.

θ cos 4 . θsen 16. 1 dx

Voltando a variável original ()

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