Racionalização

Racionalização

RACIONALIZAÇÃO DOS DENOMINADORES DE FRAÇÕES IRRACIONAIS

As técnicas a serem explicitadas considerarão, claro, as frações irracionais dos tipos indicados nos exemplos b) e c) acima.

Tem grande importância no processo de racionalização a seguinte propriedade das frações: Uma fração não se altera quando o numerador e o denominador são multiplicados pelo mesmo número diferente de zero.

Definições

Racionalização dos denominadores irracionais de uma fração irracional é a operação que tem por finalidade transformá-la em um número inteiro ou em uma fração equivalente com denominador racional.

Exemplos

Fator racionalizante de uma expressão irracional é uma outra expressão, também irracional, em que o produto entre elas resulta em uma expressão sem radical, ou seja, que a torne uma expressão racional.

Para que o significado de fator racionalizante seja melhor entendido nada como alguns exemplos:

Observe que nos exemplos da definição de Racionalização dos denominadores irracionais foi utilizado o conceito de fator racionalizante.

Produtos Notáveis

Os produtos notáveis, ou derivados deles, têm um papel importante na racionalização de denominadores de frações irracionais. Por isso, faço um parêntesis para, antes de colocar as técnicas, definir alguns dos mais utilizados:

1) a2 - b2 = (a + b)(a - b)

2) a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2)

3) a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2)

Note que no exemplo b) acima foi utilizado o produto notável definido em 1) e no c) o definido em 2).

Técnicas ou Regras de Racionalização Mais Frequentes

T1. Frações irracionais do tipo:

têm como fator racionalizante:

Exemplos:

T2. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

têm como fatores racionalizantes:

respectivamente.

Demonstração do segundo tipo:

Bem simples, basta somente usar o produto notável definido em 1) acima:

A demonstração dos demais seguem raciocínio semelhante e ficam como exercício.

Exemplos

T3. Frações irracionais que têm no denominador um polinômio de termos que são do mesmo índice 2 (raízes quadradas):

A idéia é fazer recair no caso anterior mediante uma adequada associação de termos. Para ilustrar, é apresentada a demonstração para n = 3. Você observará que a racionalização necessitará de dois fatores racionalizantes.

Demonstração:

Exemplo:

T4. Frações irracionais que têm no denominador um binômio de termos que são do mesmo índice 3 (raízes cúbicas):

têm como fator racionalizante:

A demonstração já foi feita no exemplo c) da definição de fator racionalizante e é consequência dos produtos notáveis 2) e 3) definidos anteriormente.

Referências:

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