Circunferencia e Elipse

Circunferencia e Elipse

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I. CIRCUNFERÊNCIA

1.1. Definição

Denomina-se circunferência o conjunto de todos os pontos de um plano eqüidistantes de um ponto fixo C, denominado centro da circunferência.

1.2. Equação da Circunferência

Considere o plano cartesiano e a circunferência de centro C (a, b) e raio r, conforme indica a figura.

No caso particular de o centro da circunferência estar na origem, isto é, a = b = 0, a equação será:

Exemplos:

  1. Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (4, 7) e raio r = 2.

  2. Determinar a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 3) e que passa pelo ponto P(-1, 2).

  3. Achar a equação da circunferência cujas extremidades de um diâmetro são os pontos A (0, -8) e B (6, 0). (Ponto médio)

  4. Achar a equação da circunferência que passa pelos pontos A (0, 1) e B (1, 4) e tem centro sobre a reta de equação x = 2.

  1. Equação Geral da Circunferência

A equação reduzida da circunferência é dada por . Desenvolvendo os quadrados, obtemos:

Fazendo , e , vem:

Equação geral da circunferência

Toda circunferência pode ser representada por uma equação da forma , mas nem toda equação dessa forma representa uma circunferência. Como , temos as seguintes possibilidades:

Exemplos:

  1. Determinar a forma geral da equação da circunferência com centro no ponto Q (-1, 2) e raio r = 3.

Resposta:

  1. Determinar as coordenadas do centro e o raio da circunferência de equação .

Resposta:

  1. Verificar se a equação representa uma circunferência.

Resposta: (não)

  1. Determinar a equação da circunferência que passa pelos pontos A(4, 2), B(-1, 1) e C(1, -1).

1.4. Exercícios

  1. Verifique se as equações dadas representam uma circunferência:

  1. Em cada caso, obter as coordenadas do centro e a medida do raio da circunferência:

  1. Determine a equação da circunferência que passa pelos pontos A(0, 0), B(4, 1) e C(1, 4).

  2. Determine a equação da circunferência com centro no ponto C (2, 5) e raio r = 3.

  3. Uma circunferência de raio r = 4 tem o centro no ponto Q (0, -2). Determine a equação dessa circunferência.

  4. Dada a circunferência de equação , determine as coordenadas do centro C (a, b) e o raio r.

  5. Verifique entre os pontos A (0, 3), B (7, 2) e C (-1, 3), quais pertencem à circunferência de equação .

  6. Determine a equação da circunferência com centro no ponto Q (-1, 2) e que passa pelo ponto M (2, 0).

  7. Observando a circunferência da figura ao lado, determine a sua equação.

  1. Verifique se o gráfico da equação é uma circunferência.

  2. Por que a equação não tem como gráfico uma circunferência?

  3. Verifique se a equação representa uma circunferência.

Respostas

1) a) sim

  1. não

  2. sim

  3. sim

  4. sim

2) a)

3)

6)

  1. A e B pertencem e C não pertence.

  1. Não.

11)

12) Não.

II. Elipse

Definição: Elipse é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja distância a dois pontos fixos desse plano é constante.

Na figura acima representamos os dois pontos fixos do plano a que se refere a definição como F1 e F2.

A figura acima será considerada uma elipse, se e somente se:

, ou seja, a soma das distâncias de qualquer ponto da elipse aos focos deve permanecer constante. Fixaremos essa soma em 2a.

Tomando a distância entre os focos como 2c, teremos que 2a > 2c.

2.1. Elementos da Elipse

  • Focos: são os pontos F1 e F2.

  • Distância focal: é a distância 2c entre os focos.

  • Centro: é o ponto médio C do segmento F1F2.

  • Eixo maior: é o segmento A1A2 de comprimento 2a. (o segmento A1A2 contém os focos e os seus extremos pertencem à elipse)

  • Eixo menor: é o segmento B1B2 de comprimento 2b (B1B2  A1A2 no seu ponto médio).

  • Vértice: são os pontos A1, A2, B1 e B2.

Obs.: em toda a elipse vale a relação .

Para obter a equação da Elipse deveremos referencia-la ao sistema plano de coordenadas cartesianas.

2.2. Equação da Elipse de centro na origem.

1º caso: o eixo maior está sobre o eixo x.

Como a distância entre os focos é 2c, então F1 (-c, 0) e F2(c, 0).

Se P (x, y) é ponto de uma elipse conforme a figura acima, então por definição teremos:

Dividindo todos os membros da equação por , obtemos:

que é a equação reduzida da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo dos x.

2º caso: o eixo maior está sobre o eixo y.

Com raciocínio análogo ao 1º caso, obtemos a equação:

 Forma reduzida da equação da elipse de centro na origem e eixo maior sobre o eixo x

2.3. Translação de eixos

Consideremos no plano cartesiano xOy um ponto O’(h,k), arbitário. Vamos introduzir um novo sistema x’O’y’ tal que os eixos O’x’ e O’y’ tenham a mesma unidade de medida, a mesma direção e o mesmo sentido dos eixos Ox e Oy.

Nestas condições, um sistema pode ser obtido do outro, através de uma translação de eixos.

Seja um ponto P qualquer do plano tal que suas coordenadas são:

  1. x e y em relação ao sistema xOy;

  2. x’ e y’ em relação ao sistema x’O’y’.

Pela figura acima, obtém-se:

ou

Estas são as fórmulas de translação que permitem transformar coordenadas de um sistema para outro.

2.4. Equação da Elipse de centro fora da origem do sistema, C (h, k).

1º caso: o eixo maior é paralelo ao eixo x.

Anteriormente definimos a equação da elipse com centro na origem do sistema xOy. Como agora a elipse está fora da origem, referenciamos esta elipse ao sistema x’O’y’, cuja origem coincidirá com o centro C (h, k).

Assim, a equação da elipse no sistema x’O’y’ será:

Substituindo nesta equação obtemos a equação:

 equação da elipse com centro C (h, k) e eixo maior sobre o eixo x no sistema XOY.

2º caso: eixo maior é paralelo ao eixo y.

De forma análoga teremos:

No sistema x’O’y’ a equação da elipse será:

No sistema xOy a equação da elipse será:

equação da elipse de C (h, k) e eixo maior paralelo ao eixo y.

Obs. 1: Como segue-se que logo a > b. Assim o maior dos denominadores na equação reduzida de uma elipse será a2.

Assim: - Se a2 é denominador de x2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo x.

  • Se a2 é denominador de y2 a elipse terá seu eixo maior sobre ou paralelo ao eixo y.

2.5. Exercícios

  1. Graficar as elipses de equações , e determinar as coordenadas dos Focos e dos Vértices.

  2. Seja a elipse de equação , determinar:

  1. A equação na forma reduzida;

  2. O esboço do gráfico;

  3. As coordenadas dos vértices.

  1. Identificar o lugar geométrico (ou a figura geométrica) a partir de sua representação analítica e fazer a representação geométrica (ou representação gráfica).

  1. A(2, 3)

  2. x = 2

  3. y = -4

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