Apostila de Introdução a Lógica Matemática, Notas de estudo de Matemática

Baixe Apostila de Introdução a Lógica Matemática e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity! SUMÁRIO PREFÁCIO 02 UNIDADE I 03 CAPÍTULO I – A Lógica e o cotidiano 03 O TRUQUE DAS CARTAS 03 O PROBLEMA DO LEITE 03 O PARADOXO DO QUEIJO 03 A LÓGICA DO DIA-A-DIA 04 CAPÍTULO II – A Lógica e sua história 05 A RAZÃO E A LÓGICA 05 A LÓGICA 12 A LÓGICA MATEMÁTICA 13 A HISTÓRIA DA LÓGICA 13 SITEOGRAFIA 16 UNIDADE II 17 CAPÍTULO I – Noções de Lógica Matemática 17 CÁLCULO PROPOSICIONAL 17 A ÁLGEBRA DOS CONJUNTOS 20 TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA 24 CAPÍTULO II – A Falácia 54 DEFINIÇÃO 54 CAPÍTULO III – A Lógica Fuzzy 57 HISTÓRICO 57 INTRODUÇÃO 58 TEORIA DOS CONJUNTOS TRADICIONAIS 59 TEORIA DOS CONJUNTOS FUZZY 62 LÓGICA FUZZY 64 PROPOSIÇÕES FUZZY 64 SITEOGRAFIA 69 PAGE 69 Prefácio “Se... então...”, “Se e somente se”, “portanto”, “logo“, “caso contrário”, “segue-se que”... São alguns dos termos que começa a fazer parte do dia a dia do estudante de nível superior quando inicia sua graduação em matemática. Na sua grande maioria, na qual eu mesmo me incluo, estes termos não são claramente explicados pelos professores e quase somos forçados a engoli-los, aceitá- los e quiçá compreende-los. O próprio professor é mais vítima que algoz, pois também foi obrigado a digeri-los sob a pressão tácita de que se não conseguisse teria claramente “errado de área”. Este curso tem como objetivo principal proporcionar, a todos aqueles que estão em contato com a matemática, a percepção e aprofundamento na sua base lógico- racional. Podendo então estruturar-se em compreensão mais apurada do “passo a passo” que constitui a linguagem desta bela ciência. Veremos também que a lógica está no nosso dia-a-dia, em nossa linguagem, na forma de compreendermos o mundo que nos cerca e que o seu estudo nos trará benefícios como, por exemplo a organização de nossas vidas. Bem-vindos ao mundo do “verdadeiro ou falso” ou será que existe uma outra possibilidade? Prof. Henrique Reffert UNIDADE I PAGE 69 Em nossa vida cotidiana usamos a palavra razão em muitos sentidos. Dizemos, por exemplo, “eu estou com a razão”, ou “ele não tem razão”, para significar que nos sentimos seguros de alguma coisa ou que sabemos com certeza alguma coisa. Também dizemos que, num momento de fúria ou de desespero, “alguém perde a razão”, como se a razão fosse alguma coisa que se pode ter ou não ter, possuir e perder, ou recuperar, como na frase: “Agora ela está lúcida, recuperou a razão”. Falamos também frases como: “Se você me disser suas razões, sou capaz de fazer o que você me pede”, querendo dizer com isso que queremos ouvir os motivos que alguém tem para querer ou fazer alguma coisa. Fazemos perguntas como: “Qual a razão disso?”, querendo saber qual a causa de alguma coisa e, nesse caso, a razão parece ser alguma propriedade que as próprias coisas teriam, já que teriam uma causa. Assim, usamos “razão” para nos referirmos a “motivos” de alguém, e também para nos referirmos a “causas” de alguma coisa, de modo que tanto nós quanto as coisas parecemos dotados de “razão”, mas em sentido diferente. Esses poucos exemplos já nos mostram quantos sentidos diferentes a palavra razão possui: certeza, lucidez, motivo, causa. E todos esses sentidos encontram-se presentes na Filosofia. Por identificar razão e certeza, a Filosofia afirma que a verdade é racional; por identificar razão e lucidez (não ficar ou não estar louco), a Filosofia chama nossa razão de luz e luz natural; por identificar razão e motivo, por considerar que sempre agimos e falamos movidos por motivos, a Filosofia afirma que somos seres racionais e que nossa vontade é racional; por identificar razão e causa e por julgar que a realidade opera de acordo com relações causais, a Filosofia afirma que a realidade é racional. É muito conhecida a célebre frase de Pascal, filósofo francês do século XVII: “O coração tem razões que a razão desconhece”. Nessa frase, as palavras razões e razão não têm o mesmo significado, indicando coisas diversas. Razões são os motivos do coração, enquanto razão é algo diferente de coração; este é o nome que damos para as emoções e paixões, enquanto “razão” é o nome que damos à consciência intelectual e moral. Ao dizer que o coração tem suas próprias razões, Pascal está afirmando que as emoções, os sentimentos ou as paixões são causas de muito do que fazemos, dizemos, queremos e pensamos. Ao dizer que a razão desconhece “as razões do coração”, Pascal está afirmando que a consciência intelectual e moral é diferente das paixões e dos sentimentos e que ela é capaz de uma atividade própria não motivada e causada pelas emoções, mas possuindo seus motivos ou suas próprias razões. Assim, a frase de Pascal pode ser traduzida da seguinte maneira: Nossa vida emocional possui causas e motivos (as “razões do coração”), que são as paixões ou os sentimentos, e é diferente de nossa atividade consciente, seja como atividade intelectual, seja como atividade moral. A consciência é a razão. Coração e razão, paixão e consciência intelectual ou moral são diferentes. Se alguém “perde a razão” é porque está sendo arrastado pelas “razões do coração”. Se alguém “recupera a razão” é porque o conhecimento intelectual e a consciência moral se tornaram mais fortes do que as paixões. A razão, enquanto consciência moral, é a vontade racional livre que não se deixa dominar pelos PAGE 69 impulsos passionais, mas realiza as ações morais como atos de virtude e de dever, ditados pela inteligência ou pelo intelecto. Além da frase de Pascal, também ouvimos outras que elogiam as ciências, dizendo que elas manifestam o “progresso da razão”. Aqui, a razão é colocada como capacidade puramente intelectual para conseguir o conhecimento verdadeiro da Natureza, da sociedade, da História e isto é considerado algo bom, positivo, um “progresso”. Por ser considerado um “progresso”, o conhecimento científico é visto como se realizando no tempo e como dotado de continuidade, de tal modo que a razão é concebida como temporal também, isto é, como capaz de aumentar seus conteúdos e suas capacidades através dos tempos. Algumas vezes ouvimos um professor dizer a outro: “Fulano trouxe um trabalho irracional; era um caos, uma confusão. Incompreensível. Já o trabalho de beltrano era uma beleza: claro, compreensível, racional”. Aqui, a razão, ou racional, significa clareza das idéias, ordem, resultado de esforço intelectual ou da inteligência, seguindo normas e regras de pensamento e de linguagem. Todos esses sentidos constituem a nossa idéia de razão. Nós a consideramos a consciência moral que observa as paixões, orienta a vontade e oferece finalidades éticas para a ação. Nós a vemos como atividade intelectual de conhecimento da realidade natural, social, psicológica, histórica. Nós a concebemos segundo o ideal da clareza, da ordenação e do rigor e precisão dos pensamentos e das palavras. Para muitos filósofos, porém, a razão não é apenas a capacidade moral e intelectual dos seres humanos, mas também uma propriedade ou qualidade primordial das próprias coisas, existindo na própria realidade. Para esses filósofos, nossa razão pode conhecer a realidade (Natureza, sociedade, História) porque ela é racional em si mesma. Fala-se, portanto, em razão objetiva (a realidade é racional em si mesma) e em razão subjetiva (a razão é uma capacidade intelectual e moral dos seres humanos). A razão objetiva é a afirmação de que o objeto do conhecimento ou a realidade é racional; a razão subjetiva é a afirmação de que o sujeito do conhecimento e da ação é racional. Para muitos filósofos, a Filosofia é o momento do encontro, do acordo e da harmonia entre as duas razões ou racionalidades. Origem da palavra razão Na cultura da chamada sociedade ocidental, a palavra razão origina-se de duas fontes: a palavra latina ratio e a palavra grega logos. Essas duas palavras são substantivos derivados de dois verbos que têm um sentido muito parecido em latim e em grego. Logos vem do verbo legein, que quer dizer: contar, reunir, juntar, calcular. Ratio vem do verbo reor, que quer dizer: contar, reunir, medir, juntar, separar, calcular. Que fazemos quando medimos, juntamos, separamos, contamos e calculamos? Pensamos de modo ordenado. E de que meios usamos para essas ações? Usamos PAGE 69 palavras (mesmo quando usamos números estamos usando palavras, sobretudo os gregos e os romanos, que usavam letras para indicar números). Por isso, logos, ratio ou razão significam pensar e falar ordenadamente, com medida e proporção, com clareza e de modo compreensível para outros. Assim, na origem, razão é a capacidade intelectual para pensar e exprimir-se correta e claramente, para pensar e dizer as coisas tais como são. A razão é uma maneira de organizar a realidade pela qual esta se torna compreensível. É, também, a confiança de que podemos ordenar e organizar as coisas porque são organizáveis, ordenáveis, compreensíveis nelas mesmas e por elas mesmas, isto é, as próprias coisas são racionais. Desde o começo da Filosofia, a origem da palavra razão fez com que ela fosse considerada oposta a quatro outras atitudes mentais: 1. ao conhecimento ilusório, isto é, ao conhecimento da mera aparência das coisas que não alcança a realidade ou a verdade delas; para a razão, a ilusão provém de nossos costumes, de nossos preconceitos, da aceitação imediata das coisas tais como aparecem e tais como parecem ser. As ilusões criam as opiniões que variam de pessoa para pessoa e de sociedade para sociedade. A razão se opõe à mera opinião; 2. às emoções, aos sentimentos, às paixões, que são cegas, caóticas, desordenadas, contrárias umas às outras, ora dizendo “sim” a alguma coisa, ora dizendo “não” a essa mesma coisa, como se não soubéssemos o que queremos e o que as coisas são. A razão é vista como atividade ou ação (intelectual e da vontade) oposta à paixão ou à passividade emocional; 3. à crença religiosa, pois, nesta, a verdade nos é dada pela fé numa revelação divina, não dependendo do trabalho de conhecimento realizado pela nossa inteligência ou pelo nosso intelecto. A razão é oposta à revelação e por isso os filósofos cristãos distinguem a luz natural - a razão - da luz sobrenatural - a revelação; 4. ao êxtase místico, no qual o espírito mergulha nas profundezas do divino e participa dele, sem qualquer intervenção do intelecto ou da inteligência, nem da vontade. Pelo contrário, o êxtase místico exige um estado de abandono, de rompimento com a atividade intelectual e com a vontade, um rompimento com o estado consciente, para entregar-se à fruição do abismo infinito. A razão ou consciência se opõe à inconsciência do êxtase. Os princípios racionais Desde seus começos, a Filosofia considerou que a razão opera seguindo certos princípios que ela própria estabelece e que estão em concordância com a própria realidade, mesmo quando os empregamos sem conhecê-los explicitamente. Ou seja, o conhecimento racional obedece a certas regras ou leis fundamentais, que respeitamos até mesmo quando não conhecemos diretamente quais são e o que são. Nós as respeitamos porque somos seres racionais e porque são princípios que garantem que a realidade é racional. Que princípios são esses? São eles: PAGE 69 possível, que não podemos saber as razões pelas quais os átomos se movimentam, nem sua velocidade e direção, nem os efeitos que produzirão. Esses dois problemas levaram a introduzir um novo princípio racional na Natureza: o princípio da indeterminação. Assim, o princípio da razão suficiente é válido para os fenômenos macroscópicos, enquanto o princípio da indeterminação é válido para os fenômenos em escala hipermicroscópica. Um outro problema veio abalar o princípio da identidade e da não-contradição. A física sempre considerou que a Natureza obedece às leis universais da razão objetiva sem depender da razão subjetiva. Em outras palavras, as leis da Natureza existem por si mesmas, são necessárias e universais por si mesmas e não dependem do sujeito do conhecimento. Contudo, a teoria da relatividade mostrou que as leis da Natureza dependem da posição ocupada pelo observador, isto é, pelo sujeito do conhecimento e, portanto, para um observador situado fora de nosso sistema planetário, a Natureza poderá seguir leis completamente diferentes, de tal modo que, por exemplo, o que é o espaço e o tempo para nós poderá não ser para outros seres (se existirem) da galáxia; a geometria que seguimos pode não ser a que tenha sentido noutro sistema planetário; o que pode ser contraditório para nós poderá não ser para habitantes de outra galáxia e assim por diante. Um outro problema, também atingindo os princípios da razão, foi trazido pela lógica. O lógico alemão Frege apresentou o seguinte problema: quando digo “a estrela da manhã é a estrela da tarde” estou caindo em contradição e perdendo o princípio da identidade. No entanto, “estrela da manhã” é o planeta Vênus e “estrela da tarde” também é o planeta Vênus; dessa perspectiva, não há contradição alguma no que digo. É preciso, então, distinguir em nosso pensamento e em nossa linguagem três níveis: o objeto a que nós nos referimos, os enunciados que empregamos e o sentido desses enunciados em sua relação com o objeto referido. Somente dessa maneira podemos manter a racionalidade dos princípios da identidade, da não-contradição e do terceiro-excluído. Enfim, um outro tipo de problema foi trazido com o desenvolvimento dos estudos da antropologia, que mostraram como outras culturas podem oferecer uma concepção muito diferente da que estamos acostumados sobre o pensamento e a realidade. Isso não significa, como imaginaram durante séculos os colonizadores, que tais culturas ou sociedades sejam irracionais ou pré-racionais, e sim que possuem uma outra idéia do conhecimento e outros critérios para a explicação da realidade. Como a palavra razão é européia e ocidental, parece difícil falarmos numa outra razão, que seria própria de outros povos e culturas. No entanto, o que os estudos antropológicos mostraram é que precisamos reconhecer a “nossa razão” e a “razão deles”, que se trata de uma outra razão e não da mesma razão em diferentes graus de uma única evolução. Indeterminação da Natureza, pluralidade de enunciados para um mesmo objeto, pluralidade e diferenciação das culturas foram alguns dos problemas que abalaram a razão, no século XX. A esse abalo devemos acrescentar dois outros. O primeiro deles foi trazido por um não-filósofo, Marx, quando introduziu a noção de ideologia; o segundo também foi trazido por um não-filósofo, Freud, quando introduziu o conceito de inconsciente. PAGE 69 A noção de ideologia veio mostrar que as teorias e os sistemas filosóficos ou científicos, aparentemente rigorosos e verdadeiros, escondiam a realidade social, econômica e política, e que a razão, em lugar de ser a busca e o conhecimento da verdade, poderia ser um poderoso instrumento de dissimulação da realidade, a serviço da exploração e da dominação dos homens sobre seus semelhantes. A razão seria um instrumento da falsificação da realidade e de produção de ilusões pelas quais uma parte do gênero humano se deixa oprimir pela outra. A noção de inconsciente, por sua vez, revelou que a razão é muito menos poderosa do que a Filosofia imaginava, pois nossa consciência é, em grande parte, dirigida e controlada por forças profundas e desconhecidas que permanecem inconscientes e jamais se tornarão plenamente conscientes e racionais. A razão e a loucura fazem parte de nossa estrutura mental e de nossas vidas e, muitas vezes, como por exemplo no fenômeno do nazismo, a razão é louca e destrutiva. Fatos como esses - as descobertas na física, na lógica, na antropologia, na história, na psicanálise - levaram o filósofo francês Merleau-Ponty a dizer que uma das tarefas mais importantes da Filosofia contemporânea deveria ser a de encontrar uma nova idéia da razão, uma razão alargada, na qual pudessem entrar os princípios da racionalidade definidos por outras culturas e encontrados pelas descobertas científicas. Esse alargamento é duplamente necessário e importante. Em primeiro lugar, porque ele exprime a luta contra o colonialismo e contra o etnocentrismo - isto é, contra a visão de que a “nossa” razão e a “nossa” cultura são superiores e melhores do que as dos outros povos. Em segundo lugar, porque a razão estaria destinada ao fracasso se não fosse capaz de oferecer para si mesma novos princípios exigidos pelo seu próprio trabalho racional de conhecimento. A Lógica A Lógica é uma ciência de índole matemática e fortemente ligada à Filosofia. Já que o pensamento é a manifestação do conhecimento, e que o conhecimento busca a verdade, é preciso estabelecer algumas regras para que essa meta possa ser atingida. Assim, a lógica é o ramo da filosofia que cuida das regras do bem pensar, ou do pensar correto, sendo, portanto, um instrumento do pensar. A aprendizagem da lógica não constitui um fim em si. Ela só tem sentido enquanto meio de garantir que nosso pensamento proceda corretamente a fim de chegar a conhecimentos verdadeiros. Podemos, então, dizer que a lógica trata dos argumentos, isto é, das conclusões a que chegamos através da apresentação de evidências que a sustentam. O principal organizador da lógica clássica foi Aristóteles, com sua obra chamada Órganon. Ele divide a lógica em formal e material. Um sistema lógico é um conjunto de axiomas e regras de inferência que visam representar formalmente o raciocínio válido . Diferentes sistemas de lógica formal foram construídos ao longo do tempo quer no âmbito estrito da Lógica Teórica, quer em aplicações práticas na computação e em Inteligência artificial. PAGE 69 Tradicionalmente, lógica é também a designação para o estudo de sistemas prescritivos de raciocínio, ou seja, sistemas que definem como se "deveria" realmente pensar para não errar, usando a razão, dedutivamente e indutivamente. A forma como as pessoas realmente raciocinam é estudado noutras áreas, como na psicologia cognitiva. Como ciência, a lógica define a estrutura de declaração e argumento e elabora fórmulas através das quais estes podem ser codificados. Implícita no estudo da lógica está a compreensão do que gera um bom argumento e de quais os argumentos que são falaciosos. A lógica filosófica lida com descrições formais da linguagem natural. A maior parte dos filósofos assumem que a maior parte do raciocínio "normal" pode ser capturada pela lógica, desde que se seja capaz de encontrar o método certo para traduzir a linguagem corrente para essa lógica. A Lógica matemática Lógica Matemática é o uso da lógica formal para estudar o raciocínio matemático-- ou, como propõe Alonzo Church (*Introduction to Mathematical Logic* (Princeton, New Jersey:Princeton University Press,1956; décima edição, 1996),'lógica tratada pelo método matemático'. No início do século XX, lógicos e filósofos tentaram provar que a matemática, ou parte da matemática, poderia ser reduzida à lógica.(Gottlob Frege, p.ex., tentou reduzir a aritmética à lógica; Bertrand Russell e A. N. Whitehead, tentaram reduzir toda a matemática então conhecida à lógica -- a chamada 'lógica de segunda ordem'.) Uma das suas doutrinas lógico-semânticas era que a descoberta da forma lógica de uma frase, na verdade, revela a forma adequada de dizê-la, ou revela alguma essência previamente escondida. Há um certo consenso que a redução falhou -- ou que precisaria de ajustes --, assim como há um certo consenso que a lógica -- ou alguma lógica -- é uma maneira precisa de representar o raciocínio matemático. Ciência que tem por objeto o estudo dos métodos e princípios que permitem distinguir raciocínios válidos de outros não válidos; A História da lógica A história da lógica documenta o desenvolvimento desta em várias culturas e tradições. Enquanto muitas culturas tenham usado complicados sistemas de raciocínio, somente na China, Índia e Grécia os métodos de raciocínio tiveram um desenvolvimento sustentável. Embora as datas sejam incertas, especialmente no caso da Índia, é possível que a lógica emergiu nos três países por volta do século 4 a.C. A lógica moderna (ver lógica) descende da tradição grega, mas também há influências PAGE 69 função-argumento) e da articulação do conceito de quantificação (implícito na lógica clássica da generalidade), tornando assim possível a sua manipulação em regras de dedução formal. (os enunciados "para todo o x", "existe um x" que denotam operações de quantificação sobre variáveis lógicas têm a sua origem no seu trabalho fundador, ex: "Todos os humanos são mortais" se torna "Todos os X são tais que, se x é um humano então x é mortal."). Ao contrário de Aristóteles, e mesmo de Boole, que procuravam identificar as formas válidas de argumento, a preocupação básica de Frege era a sistematização do raciocínio matemático, ou dito de outra maneira, encontrar uma caracterização precisa do que é uma “demonstração matemática”. Frege havia notado que os matemáticos da época freqüentemente cometiam erros em suas demonstrações, supondo assim que certos teoremas estavam demonstrados, quando na verdade não estavam. Para corrigir isso, Frege procurou formalizar as regras de demonstração, iniciando com regras elementares, bem simples, sobre cuja aplicação não houvesse dúvidas. O resultado que revolucionou a lógica, foi a criação do cálculo de predicados (ou lógica de predicados). Em 1889 Giuseppe Peano publicou seus nove axiomas, que mas tarde cinco destes vieram a ser conhecido com axiomas de Peano e, destes cinco, um veio a ser a formalização do princípio da indução matemática Siteografia http://www.cefetgo.br/pensar/PAGES/convite/cnvt/und02/m01.htm http://pt.wikipedia.org/wiki/L%C3%B3gica http://enciclopedia.tiosam.com/enciclopedia/enciclopedia.asp? title=Hist%C3%B3ria_da_l%C3%B3gica http://www.vestibular1.com.br/ UNIDADE II Capítulo 1– Noções de Lógica Matemática PAGE 69 CÁLCULO PROPOSICIONAL Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. CONCEITO DE PROPOSIÇÃO PROPOSIÇÃO: sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa. • A lua é quadrada. • A neve é branca. • Matemática é uma ciência. Não serão objeto de estudo as sentenças interrogativas ou exclamativas. OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL • VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinas minúsculas p,q,r,s,.... para indicar as proposições (fórmulas atômicas) . Exemplos: A lua é quadrada : p A neve é branca : q • CONECTIVOS LÓGICOS: As fórmulas atômicas podem ser combinadas entre si e, para representar tais combinações usaremos os conectivos lógicos : ∧: e , ∨: ou , → : se...então , ↔ : se e somente se , ∼: não Exemplos: • A lua é quadrada e a neve é branca. : p ∧ q (p e q são chamados conjunctos) • A lua é quadrada ou a neve é branca. : p ∨ q ( p e q são chamados disjunctos) • Se a lua é quadrada então a neve é branca. : p → q ( p é o antecedente e q o conseqüente) • A lua é quadrada se e somente se a neve é branca. : p ↔ q • A lua não é quadrada. : ∼p • SÍMBOLOS AUXILIARES : ( ) , parênteses que servem para denotar o "alcance" dos conectivos; Exemplos: • Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. : ((p ∧ q) → ∼ p) • A lua não é quadrada se e somente se a neve é branca. : ((∼ p) ↔q)) • DEFINIÇÃO DE FÓRMULA : 1. Toda fórmula atômicaé uma fórmula. 2. Se A e B são fórmulas então (A ∨ B) , (A ∧ B) , (A → B) , (A ↔ B) e (∼ A) também são fórmulas. 3. São fórmulas apenas as obtidas por 1. e 2. . Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ∼, ∨ , ∧ , →, ↔ . Com o mesmo conectivo adotaremos a convenção pela direita. PAGE 69 Exemplo: a fórmula p ∨ q ∧ ∼ r → p → ∼ q deve ser entendida como (((p ∨ q) ∧ (∼ r)) → ( p → (∼ q))) AS TABELAS VERDADE A lógica clássica é governada por três princípios (entre outros) que podem ser formulados como segue: • Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo. • Princípio da Contradição: Dadas duas proposições contraditórias (uma é negação da outra), uma delas é falsa. • Princípio do Terceiro Excluído: Dadas duas proposições contraditórias, uma delas é verdadeira. Com base nesses princípios as proposições simples são ou verdadeiras ou falsas - sendo mutuamente exclusivos os dois casos; daí dizer que a lógica clássica é bivalente. Para determinar o valor (verdade ou falsidade) das proposições compostas (moleculares), conhecidos os valores das proposições simples (atômicas) que as compõem usaremos tabelas- verdade : 1.Tabela verdade da "negação" : ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). p ~p V F F V 2. Tabela verdade da "conjunção" : a conjunção é verdadeira se e somente os conjunctos são verdadeiros. p q p ∧ q V V V V F F F V F F F F 3. Tabela verdade da "disjunção" : a disjunção é falsa se, e somente, os disjunctos são falsos. p q p ∨ q V V V V F V F V V F F F 4. Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. p q p → q V V V V F F F V V PAGE 69 A figura abaixo forma um Diagrama de Venn apropriado para três conjuntos. Temos 8 regiões que correspondem, respectivamente, às 8 linhas da tabela-verdade ao lado do diagrama : p q r 1 V V V 2 V V F 3 V F V 4 V F F 5 F V V 6 F V F 7 F F V 8 F F F Exemplo: O diagrama de Venn abaixo corresponde à fórmula ∼((p ∧ q) → r) e à expressão (p ∩ q) ∩ r’. O valor V da fórmula (última coluna) corresponde à região 2 do diagrama de Venn. p q r ∼ ((p ∧ q) → r ) V V V F V V V V V F V V F F V F V F F V V V F F F F V F F V V F F V V F V F F F V F F F V F F V V F F F F F V F TAUTOLOGIA E CONTRA -TAUTOLOGIA • TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA : Fórmula que possui apenas valor V em sua tabela verdade. Exemplo : p ∨∼ p p ∼ p p ∨ ∼ p 1 V F V 2 F V V • CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade. Exemplo : p ∧ ∼ p p ∼ p p ∧ ∼ p 1 V F F 2 F V F PAGE 69 p q p → q 1 V V V 2 V F F 3 F V V 4 F F V • CONTINGENTE ou INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade. Exemplo : p → q • REGRAS DE INFERÊNCIA.: A fórmula α implica tautologicamente a fórmula β e indicamos α ⇒ βse e somente se a fórmula α→βé uma tautologia . Regras Fórmulas Atômicas Fórmulas Compostas Modus Ponens MP p ∧ (p → q) ⇒ q A, A→ B / B Modus Tollens MT ∼ q ∧ ( p → q ) ⇒ ∼ p ∼ B, A→ B / ∼ A Silogismo Hipotético SH (p→ q) ∧ ( q → r) ⇒ (p → r) A → B, B → C / A → C Silogismo Disjuntivo SD (p ∨ q) ∧ ∼ p ⇒ q ∼ A, A ∨ B / B Simplificação SM p ∧ q ⇒ p A ∧ B / A Adição AD p ⇒ p ∨ q A / A ∨ B Eliminação EL (p → (q ∨ r) ) ∧∼ q ⇒ p →r ∼ B , (A → (B∨ C) / A → C Prova por Casos CS (p → r) ∧ ( q → r) ⇒ (p ∨ q) → r A → C, B → C / (A ∨ B ) → C • EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS : As fórmulas α e β são tautologicamente equivalentes e indicamos α⇔βse e somente se a fórmula α↔βé uma tautologia Comutativa p ∧ q ⇔ q ∧ p p ∨ q ⇔ q ∨ p Associativa (p ∧ q)∧ r ⇔ p ∧ (q ∧ r) (p ∨ q)∨ r ⇔ p∨ (q∨ r) Idempotente p ∧ p ⇔ p p ∨ p ⇔ p Propriedades de V p ∧ V ⇔ p p ∨ V ⇔ V Propriedades de F p ∧ F ⇔ F p ∨ F ⇔ p Absorção p ∧ ( p ∨ r ) ⇔ p p ∨ (p ∧ r) ⇔ p Distributivas p ∧ (q ∨ r) ⇔ (p ∧ q ) ∨ (p ∧ r) p ∨ (q ∧ r) ⇔ (p ∨ q ) ∧ (p ∨ r) Distributivas p → (q ∧ r) ⇔ (p→ q) ∧ (p → r) p → (q ∨ r) ⇔ (p→ q) ∨ (p → r) Leis de De Morgan ∼ (p ∧ q) ⇔∼ p ∨ ∼ q ∼ (p ∨ q) ⇔∼ p ∧ ∼ q Def. implicação p → q ⇔ ~p ∨ q p → q ⇔ ∼ ( p ∧∼ q) Def. bicondicional p ↔ q ⇔ (p → q) ∧ ( q → p) p ↔ q ⇔ (~p ∨ q) ∧ (~q ∨p) Negação ∼ (∼ p) ⇔ p Contraposição p → q ⇔ ∼ q →∼ p Exportação(⇒ ) Importação (⇐ ) (p ∧ q) → r ⇔ p → ( q → r ) Troca de Premissas p → (q → r ) ⇔ q → ( p →r ) Exemplo : Dadas as fórmulas A: p → (q ∧ r) e B : ∼(q ∧ r ) →∼ p vamos verificar que A ⇒ B ou ainda que A / B. Basta verificar, com o uso das tabelas verdade, que A → B é tautologia. p q r ( p → (q ∧ r)) →(∼ (q ∧ r ) → ∼ p) PAGE 69 V V V V V V V V F F V F V F V F V F V F F F V F F V V V V V F V F V V V F F V V V V F F F V V V Neste exemplo, A ⇔ B pois A ↔ B é tautologia. As TAUTOLOGIAS são infinitas e desempenham um importante papel nos processos de dedução no Cálculo Proposicional como veremos em próximos tópicos. FORMAS NORMAIS CONJUNTIVA E DISJUNTIVA Algumas EQUIVALÊNCIAS TAUTOLÓGICAS dadas acima nos permitem transformar qualquer fórmula em uma fórmula logicamente equivalente, que não contenha os conectivos →e ↔ , transformando-a em uma FORMA NORMAL CONJUNTIVA (FNC) ou em uma FORMA NORMAL DISJUNTIVA (FND) como segue: 1. substitui-se fórmulas: A→ B por ∼A ∨ B e A ↔ B por (∼ A ∨ B) ∧ (∼ B ∨ A) 2. elimina-se a negação que precede os parênteses substituindo-se: ∼(A ∧ B) por ∼A ∨∼ B e ∼(A∨ B) por ∼A ∧∼ B . 3. eliminam-se as negações múltiplas substituindo ∼(∼ A) por A. 4. elimina-se o alcance dos conectivos substituindo para obter a FNC : A ∨ (B ∧ C) por (A ∨ B) ∧ (A ∨ C) para obter a FND : A ∧ (B ∨ C) por (A ∧ B) ∨ (A ∧ C) Deste modo, uma fórmula está em FORMA NORMAL CONJUNTIVA: FNC ou em FORMA NORMAL DISJUNTIVA: FND se, e somente se: 1. No máximo contém os conectivos∼, ∧ , ∨. 2. A negação ∼ não tem alcance sobre os conectivos ∧ e ∨ . 3. Não aparecem negações sucessivas. 4. O conectivo ∨ não tem alcance sobre ∧ na FNC e, o conectivo ∧ não tem alcance sobre ∨ na FND. Exemplos: FNC : (∼ p ∨ q) ∧ (r ∨ s ∨ p) FND : p ∨ (q ∧ r) ∨ (∼ s ∧ p) Exemplo: Determine uma FND e uma FNC equivalente à fórmula ((p ∨ q) ∧∼ q) → ( r ∧ q) . 1. ((p ∨ q) ∧ ∼ q) → ( r ∧ q) Fórmula dada 2. ∼ ((p ∨ q) ∧∼ q) ∨ ( r ∧ q) 1. Def. de Implicação 3. (∼ (p ∨ q) ∨∼∼ q) ∨ (r ∧ q) 2. De Morgan 4. (∼ p ∧ ∼ q) ∨ q ∨ (r ∧ q ) 3. Negação e De Morgan 5. (∼ p ∧ ∼ q) ∨ q ∨ (r ∧ q ) 4.FND 6. ((∼ p ∨ q) ∧ (∼ q ∨ q)) ∨ (r ∧ q) 5. Distributiva 7. ((∼ p ∨ q) ∧ V) ∨ (r ∧ q) 6. Tautologia 8. (∼ p ∨ q) ∨ ( r ∧ q) 7. Propriedade de V PAGE 69 De modo sucinto podemos dizer que o MAPA DE KARNAUGH, idealizado em 1950 por MauriceKarnaugh, é um método de simplificação de expressões lógicas fundamentado em teoremas da Álgebra Booleana e utilizando representações gráficas. Utilizando o mapa de Karnaugh podemos simplificar fórmulas ou expressões booleanas em FND COMPLETA, sem o uso direto de propriedades para obter tais simplificações. REPRESENTAÇÃO GRÁFICA : Temos as seguintes representações gráficas (mapas), de acordo com o número de variáveis (aqui representadas por letras maiúsculas) das expressões: (no que se segue entende-se AB como A • B) a) Duas variáveis: A A’ B B’ b) Três variáveis : AB AB’ A’B’ A’B C C’ c) Quatro variáveis : AB AB’ A’B’ A’B CD CD’ C’D’ C’D Em cada mapa: •Os quadrados de cima e os de baixo são adjacentes; os da esquerda e os da direita são adjacentes. •Os quadrados adjacentes diferem apenas por uma variável . •Cada quadrado indicará um DISJUNCTO da FNDCOMPLETA que está sendo representada. •Cada DISJUNCTO será representado escrevendo 1 no respectivo quadrado. Exemplos: Representar a expressão AB’C + A’B’C + ABC’ AB AB’ A’B’ A’B C 1 1 C’ 1 Representar a expressão AB’+ A’B + A’B’ A A’ B 1 B’ 1 1 Podemos construir Mapas de Karnaugh para 5 ou mais variáveis passando para representações gráficas tridimensionais tornando-se inadequado. SIMPLIFICAÇÃO : Para simplificar procedemos do seguinte modo: 1. Agrupar , traçando ovais ao redor de todos os "1" para formar grupos de 2n "1" adjacentes. 2. Nenhum "1" pode ficar fora dos grupos formados. Se necessário, agrupá-lo sozinho. PAGE 69 3. Quanto maior o grupo, mais simplificada ficará a expressão. 4. Se necessário, um "1" pode ser agrupado mais de uma vez. Nunca agrupá-lo se não houver necessidade. 5. A variável que se repetir em cada grupo permanece na expressão. A variável que não se repete é eliminada. Exemplos: a) Simplificando a expressão ABC + AB’C’ + A’BC obtemos a expressão AB’C’ + BC b) Simplificando a expressão AB’+ A’B + A’B’ obtemos A’+ B’ c) Simplifique usando um applet apropriado para 4 variáveis. APLICAÇÕES DE ÁLGEBRA BOOLEANA : ÁLGEBRA DOS CIRCUITOS A introdução de uma Álgebra Booleana no estudo dos circuitos deve-se ao matemático americano CLAUDE ELWOOD SHANNON (1916-2001) (A Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits - 1938). De modo sucinto mostraremos esse tipo de relacionamento com a Cálculo Proposicional e a Álgebra Booleana. Um interruptor é um dispositivo ligado a um ponto de um circuito, que pode assumir um dos dois estados, "fechado" ou "aberto". No estado "fechado" (que indicaremos por 1) o interruptor permite que a corrente passe através do ponto, enquanto no estado "aberto" (que indicaremos por 0) nenhuma corrente pode passar pelo ponto. 1.Circuito com um interruptor p: p A indicação "fechado" ou "aberto" do interruptor será conhecida com a indicação de p=1 ou p=0 respectivamente. 2.Circuito com dois interruptores p e q: • Em paralelo indicado por p + q p q Neste caso não passa corrente se e somente p=0 e q=0 ou seja, estão ambos "abertos" o que corresponde no Cálculo Proposicional à tabela verdade da disjunção p ∨ q . • Em série indicado por p • q ou pq p q Neste caso passa corrente se e somente se p=1 e q=1 ou seja, estão ambos "fechados" o que corresponde no Cálculo Proposicional à tabela verdade da conjunção p ∧ q . • Circuitos acoplados contraditórios: quando um abre o outro fecha e reciprocamente correspondendo à tabela verdade da negação. PAGE 69 • Circuitos acoplados equivalentes: se comportam do mesmo modo correspondendo à tabela verdade da bi-implicação p ↔ q . Exemplo : A expressão booleana correspondente ao esquema abaixo é : (( p• q) + ((p• q) + q)) = pq + pq + q Simplificando a expressão: (( p• q) + ((p• q) + q)) = ( p• q) + q = q (por absorção) representamos o circuito simplificado obtido : Exemplo : A expressão e um circuito correspondente à fórmula ( p → q) ∨ ∼ r ⇔∼ p ∨ q ∨∼ r será : p’ + q +r’ Exemplo : Um comitê tem 3 membros . Um projeto passa se e somente se o presidente vota a favor e obtém maioria. Projetar um circuito de modo que cada membro vote a favor apertando um botão e tal que a luz se acenda se o projeto for aprovado. Solução: Sendo P o presidente e A e B os outros dois membros, a tabela verdade abaixo corresponde às informações dadas onde 1 representa a aprovação do projeto. Obtendo a FND correspondente temos (P • A • B) + (P • A • B’ ) + (P • A’ • B) que simplificando por Mapa de Karnaugh temos PA + PB = P ( A + B) sendo simples a representação do circuito. P A B ? 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 VALIDADE DE ARGUMENTO No início deste roteiro, mencionamos que nosso principal objetivo é a investigação da validade de ARGUMENTOS: Conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Vamos verificar como podemos proceder na investigação de certos argumentos de modo formal. DEFINIÇÃO: Chamamos ARGUMENTO uma seqüência A1 , A2 ,A3 ,... , An , B (n ≥ 0) de fórmulas onde os Ai (0< i < n) chamam-se premissas e a última fórmula B, conclusão. PAGE 69 2. q → ∼ r premissa 3. r ∨ s premissa 4. ∼(∼ s → p) premissa adicional 5.∼p →∼ r 1.2. Silogismo Hipotético 6. ∼r → s 3. Def. de implicação 7. ∼p → s 5.6. Silogismo Hipotético 8. ∼s → p 7. Contraposição 9. ∼(∼ s → p) ∧ (∼ s → p) 4. 8. Conjunção 10. F DEMONSTRAÇÃO INDIRETA – ÁRVORE DE REFUTAÇÃO ÁRVORE DE REFUTAÇÃO é um método para verificar a validade de um argumento, análogo à demonstração por absurdo.Para testarmos a validade de um argumento construímos uma lista de fórmulas consistindo de suas premissas A1, A2 , A3 ,... ,An e a negação da sua conclusão ∼B que formam a RAIZ DA ÁRVORE. A árvore continua abaixo com a construção de seus RAMOS por aplicações de regras, que serão especificadas abaixo, e gerando novas linhas na árvore. A árvore termina quando as fórmulas de seus ramos são: variáveis proposicionais, negações de variáveis proposicionais, ou quando encontrarmos em todos os ramos uma fórmula F. Se encontrarmos em todos os ramos da árvore uma fórmula F, então a nossa tentativa de refutação falhou ou seja, o argumento é válido. Se em algum ramo da árvore não foi possível encontrar uma fórmula F, então refutamos o argumento, isto é, o argumento não é válido. Exemplo: Construir uma árvore de refutação para mostrar que: p ∧ q |F 8E 7 ∼∼ p - Escrevemos a premissa e a negação da conclusão: 1. p ∧ q 2. ∼∼∼p - Sabemos que p ∧ q é verdadeira se, e somente se, p e q são ambas verdadeiras; daí, podemos substituir p ∧ q por p e q gerando as linhas 3. e 4., respectivamente, e MARCANDO (∠ ) a fórmula p ∧ q . (Uma fórmula marcada não poderá mais ser utilizada na construção da árvore!!!) 1. p ∧ q ∠ 2. ∼∼∼p 3. p 4. q - Como ∼∼∼p é verdadeira se e somente se ∼p é verdadeira, marcamos ∼∼∼p e substituímos por ∼p gerando a linha 5. : 1. p ∧ q ∠ 2. ∼∼∼p ∠ 3. p 4. q 5. ∼p - A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis proposicionais ou negações de variáveis proposicionais. Por outro lado encontramos nas linhas 3. e 5. uma fórmula F, ou seja, nossa tentativa de refutação falhou e portanto o argumento é válido. Isso será expresso escrevendo um X no final da lista, gerando a linha 6 e fechando o único ramo da árvore. 1. p ∧ q ∠ PAGE 69 2.∼∼∼p ∠ 3. p 4. q 5. ∼p 6. X A árvore de refutação está completa. A nossa busca para uma refutação do argumento dado falhou e, portanto, o argumento é válido. Exemplo:Construir uma árvore de refutação para mostrar que : p ∨ q, ∼ p |F 8E 7q - Iniciamos a árvore escrevendo a lista de fórmulas as premissas e a negação da conclusão: 1. p ∨ q 2. ∼p 3. ∼q - Sabemos que p ∨ q é verdadeira se, e somente se, p é verdadeira ou q é verdadeira. Para representar esse fato, marcamos p ∨ q e ramificamos a árvore, gerando a linha 4 com dois ramos: 1. p ∨ q ∠ 2. ∼p 3. ∼q / \ 4. p q - A árvore terminou pois das premissas e da negação da conclusão obtivemos variáveis proposicionais ou negações de variáveis proposicionais. Por outro lado encontramos uma fórmula F em um ramo, nas linhas 2. e 4. e no outro ramo, nas linhas 3. e 4., ou seja, nossa tentativa de refutação falhou e portanto o argumento é válido. Isso será expresso escrevendo um X no final de cada ramo da lista gerando a linha 5 e fechando os dois ramos da árvore. 1. p ∨ q ∠ 2. ∼p 3. ∼q / \ 4. p q 5. X X A árvore de refutação está completa. Como a tentativa de refutação falhou nos dois ramos, o argumento dado é válido. Exemplo:Construir uma árvore de refutação para verificar a validade do argumento: p ∨ q, p |F 8E 7 ∼ q 1. p ∨ q 2. p 3. ∼∼q ∠ - Temos que ∼∼q é equivalente a q; daí, marcamos ∼∼q e escrevemos q gerando a linha 4. : 1. p ∨ q 2. p 3. ∼∼q ∠ 4. q - Como no exemplo anterior, marcamos p ∨ q e ramificamos a árvore gerando a linha 5. com dois ramos: 1. p ∨ q ∠ PAGE 69 2. p 3. ∼∼q ∠ 4. q / \ 5. p q - A árvore terminou e nos dois ramos não há contradições, ou seja, uma fórmula F. Neste caso os ramos não serão fechados e o argumento não é válido. REGRAS PARA A CONSTRUÇÃO DE UMA ÁRVORE DE REFUTAÇÃO As regras para a construção de uma árvore de refutação estão relacionadas com as tabelas verdade já conhecidas. Ao aplicar uma regra em uma fórmula da árvore, temos a observar que : - a fórmula será marcada ( ∠ ) para evitar aplicações repetidas de uma regra em uma mesma fórmula. - a aplicação de uma regra deve gerar : uma ou duas linhas, um ramo ou dois ramos conforme a regra, e será aplicada em todos os ramos abertos (não fechados com X) aos quais a fórmula pertence. Temos as seguintes regras : 1. REGRA DA DUPLA NEGAÇÃO (∼∼) : Uma fórmula do tipo ∼∼A gera uma linha e escrevemos A na linha. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula ∼∼A pertence pois, ∼∼ A é verdadeira se e somente se A é verdadeira. 2. REGRA DA CONJUNÇÃO (∧): Uma fórmula do tipo A ∧ B gera duas linhas e escrevemos, em cada linha, as fórmulas A e B. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A ∧ B pertence pois, A ∧ B assume valor V se, e somente, as fórmulas A e B são verdadeiras. 1. A ∧ B ∠ 2. A 3. B 3. REGRA DA DISJUNÇÃO (∨): Uma fórmula do tipo A ∨ B gera uma linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A ∨ B pertence pois, A ∨ B assume valor V se, e somente, a fórmula A é verdadeira ou a fórmula B é verdadeira. 1.A ∨ B ∠ / \ 2. A B 4. REGRA DA IMPLICAÇÃO (→): Uma fórmula do tipo A → B gera uma linha e dois ramos e escrevemos, na linha e, em cada ramo, as fórmulas ∼ A e B respectivamente. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A → B pertence pois, A → B assume valor V se, e somente, a fórmula ∼ A é verdadeira ou a fórmula B é verdadeira. 1. A → B ∠ / \ 2. ∼ A B 5. REGRA DA BI- IMPLICAÇÃO (↔) : Uma fórmula do tipo A↔B gera duas linhas e dois ramos e escrevemos nas linhas as fórmulas A e B em um ramo e as fórmulas ∼A e∼B no outro ramo. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula A↔B pertence pois, A↔B assume valor V se, e somente, a fórmula PAGE 69 programas são conhecidos como SISTEMAS ESPECIALISTAS ou SISTEMAS BASEADOS NO CONHECIMENTO que simulam em muitos casos a ação de um ser humano. Essas linguagens declarativas inclui predicados, quantificadores , conectivos lógicos e regras de inferência que, como veremos, fazem parte do Cálculo de Predicados. Também podemos observar, como expomos abaixo, que existem vários tipos de argumentos os quais, apesar de válidos, não é possível justificá-los com os recursos do Cálculo Proposicional: 1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas. Pedro não é amigo de Jonas. Logo, Pedro não é amigo de Carlos. 2. Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. Portanto, alguns animais são racionais. A verificação da validade desses argumentos nos leva não só ao significado dos conectivos mas também ao significado de expressões como "todo", "algum", "qualquer", etc. Símbolos da Linguagem Para que possamos tornar a estrutura de sentenças complexas mais transparente é necessário a introdução de novos símbolos na linguagem do Cálculo Proposicional, obtendo-se a linguagem do Cálculo de Predicados de 1a Ordem. Nesta nova linguagem teremos, além dos conectivos do cálculo proposicional e os parênteses, os seguintes novos símbolos: variáveis: x,y,z,.....,x ,y ,z ,...... constantes : a,b,c,....,a ,b ,c ,...... símbolos de predicados: P , Q , R , S ,.... quantificadores : ∀ (universal) , ∃ (existencial) termos: as variáveis e as constantes são designadas pelo nome genérico de termos os quais serão designados por t1 , t2 , ...,tn ... as variáveis representam objetos que não estão identificados no Universo considerado ("alguém", "algo", etc.); as constantes representam objetos identificados do Universo ("João", "o ponto A", etc. ); os símbolos de predicados representam propriedades ou relações entre os objetos do Universo. Exemplos: "Maria é inteligente" : I(m) ; onde "m" está identificando Maria e "I" a propriedade de "ser inteligente". "Alguém gosta de Maria" : G(x,m) ; onde G representa a relação "gostar de" e "x" representa "alguém". De modo geral temos: P(x) : significa que x tem a propriedade P . (∀x)P(x): significa que a propriedade P vale para todo x, ou ainda, que todos os objetos do Universo considerado tem a propriedade P. (∃x)P(x): significa que algum x tem a propriedade P, ou ainda, que existe no mínimo um objeto do Universo considerado que tem a propriedade P. Notamos que os símbolos de predicados serão unários, binários ou n-ários conforme a propriedade que representam envolver, respectivamente um, dois ou mais objetos do universo e dizemos também que o símbolo de predicado tem peso 1, peso 2 ... ou peso n. PAGE 69 OBS.: Um símbolo de predicados 0-ário (peso zero) identifica-se com um dos símbolos de predicado; por exemplo: "chove" podemos simbolizar "C". As fórmulas mais simples do Cálculo de Predicados de 1a Ordem são chamadas de fórmulas atômicas e podem ser definidas como: "Se P for um símbolo de predicado de peso n e se t1 , t2 , ...,tn forem termos então P(t1 , t2 , ...,tn ) é uma fórmula atômica." DEFINIÇÃO DE FÓRMULA: 1.Toda fórmula atômica é uma fórmula. 2.Se α e β forem fórmulas então (∼α), (α∧β) , (α∨ β) , (α→ β) e (α↔β) são fórmulas. 3.Se α for uma fórmula e x uma variável então (∀x)α e (∃x)α são fórmulas. 4.As únicas fórmulas são dadas por 1. 2. e 3. acima. Exemplos de fórmulas: P(x,a); R(y,b,t); (∀z)(P(x,a) → R(y,b,z)); ∼(∃x)(∼P(x,a) ∧ R(y,b,t)); (∃y)(∀x)R(y,b,t).Assim os argumentos dados no início podem ser representados simbolicamente como: 1. Todo amigo de Carlos é amigo de Jonas. Pedro não é amigo de Jonas. Logo, Pedro não é amigo de Carlos. (∀x) (P(x,c) → P(x,j)) ∼ P(p,j) ∼ P(p,c) onde P(x,y) significa que x é amigo de y e c, p, j são constantes que representam Carlos, Pedro e Jonas respectivamente. 2. Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. Portanto, alguns animais são racionais. (∀x) (P(x) → Q(x)) (∃x) (R(x) ∧ P(x)) (∃x) (R(x) ∧ Q(x)) onde P ,Q ,R simbolizam as propriedades de: ser humano, ser racional e ser animal respectivamente. ESCOPO DE UM QUANTIFICADOR : Se α é uma fórmula e x uma variável, então em (∀x)α ou em (∃x)α dizemos que α é o escopo do quantificador (∀x) ou (∃x). Por exemplo na fórmula (∃y)(∀x)(R(y,b,t) → (∀z) P(z,a)) temos os seguintes quantificadores e seus respectivos escopos: (∃y) : (∀x)(R(y,b,t) → (∀z) P(z,a)) (∀x) : (R(y,b,t) → (∀z) P(z,a)) (∀z) : P(z,a) NEGAÇÃO DE FÓRMULAS QUANTIFICADAS: da definição de fórmula dada acima podemos perceber que um quantificador universal ou existencial pode ser precedido de uma negação. Vejamos como podemos proceder se for necessário a eliminação dessa negação. Consideremos, por exemplo, a fórmula (∀x)P(x) e o conjunto universo U={a,b,c}. É evidente que nesse caso temos: (∀x)P(x) ⇔ P(a) ∧ P(b) ∧ P(c). PAGE 69 Podemos considerar então que : ∼(∀x)P(x) ⇔∼(P(a) ∧ P(b) ∧ P(c)) ⇔∼P(a) ∨∼P(b) ∨∼P(c) o qual significa que existe no mínimo um objeto em U tal que ∼P(x) , ou seja , ∼(∀x)P(x) ⇔ (∃x) ∼P(x) ou ainda de modo geral para uma fórmula α qualquer temos (1)∼(∀x) α⇔ (∃x) ∼α Da equivalência acima segue imediatamente que : (2). ∼(∀x)∼P(x) ⇔ (∃x)P(x) (3). ∼(∃x)P(x) ⇔ (∀x)∼P(x) (4). ∼(∃x)∼P(x) ⇔ (∀x)P(x) ENUNCIADOS CATEGÓRICOS Certos enunciados se apresentam freqüentemente na Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados de Enunciados Categóricos. Relacionaremos os quatro enunciados mais comuns que são representados pelas letras A, E, I, O : A - da forma "Todo P é Q" (universal afirmativa) E - da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q" (universal negativa) I - da forma "Algum P é Q" (particular afirmativa) O - da forma "Algum P não é Q" (particular negativa) simbolizados respectivamente como: A - (∀x)(P(x) → Q(x)) E - (∀x)(P(x) →∼Q(x)) I - (∃x)(P(x) ∧ Q(x)) O - (∃x)(P(x) ∧∼Q(x)) DIAGRAMAS DE VENN PARA ENUNCIADOS CATEGÓRICOS Se considerarmos P e Q dados acima como dois conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem ser interpretados como segue: A: "Todo P é Q" afirma que todos os elementos de P são elementos de Q, ou seja, que P é um subconjunto de Q, isto é, P ⊂ Q . E: "Nenhum P é Q" afirma que os conjuntos P e Q não têm elementos em comum, isto é, que P ∩ Q =∅ ou ainda que P ⊂ Q’. I : "Algum P é Q" afirma que os conjuntos P e Q têm pelo menos um elemento em comum, isto é, P ∩ Q ≠∅ O: "Algum P não é Q" afirma que P tem pelo menos um elemento que não está em Q, ou ainda, que P ∩ Q’ ≠ ∅ . Estas interpretações podem ser feitas através de Diagramas de Venn, os quais são úteis na verificação da validade de argumentos cujas premissas e conclusão são enunciados categóricos do tipo A, E, I ou O mas não devem ser considerados instrumentos de prova rigorosa. Lembramos que no Cálculo Proposicional os diagramas de Venn foram utilizados para PAGE 69 14. Regra do Quantificador Universal (∀) : Uma fórmula do tipo (∀x)β(x) gera uma linha na qual escrevemos a fórmula β(c) onde c é qualquer constante que já ocorre em qualquer ramo da árvore e substituirá as ocorrências da variável x, do quantificador, na fórmula β. Procedemos assim em todos os ramos abertos aos quais a fórmula (∀x)β(x) pertence. Justificativa: A fórmula (∀x)β(x) significa que todos os objetos do universo tem a propriedade β. Sendo assim, a regra deve ser aplicada a todas as constantes presentes na árvore e eventualmente para aquelas que surgirem durante a "construção" da árvore como observamos abaixo. OBSERVAÇÕES IMPORTANTES: 1. Como sabemos, as fórmulas para as quais são aplicadas as regras, sempre serão "marcadas" (∠). No entanto, para a regra (∀) do quantificador universal isto não será obedecido pois, se surgir uma nova constante na árvore por aplicação da regra (∃), para esta constante deverá ser aplicada a regra (∀) em todas as fórmulas do tipo (∀x)β(x) da árvore. 2.Somente se nenhuma constante ocorre em algum ramo é que podemos introduzir uma nova constante para usar em possíveis aplicações da regra (∀) ao longo do referido ramo. Exemplo I.: Vamos verificar que a fórmula (∀x)P(x) → (∃x)P(x) é válida por árvore de refutação. 1. ∼((∀x)P(x) → (∃x)P(x)) ∠ Premissa 2. (∀x)P(x) 1. (∼→) 3. ∼(∃x)P(x)∠ 1. (∼→) 4. (∀x)∼P(x) 3. (∼∃) 5. P(a) 2. (∀) (obs.2 acima) 6. ∼P(a) 4. (∀) 7. X 5. e 6. Exemplo II. Verifique a validade do argumento categórico : Todos os cientistas são estudiosos. - (∀x)(C(x) → E(x)) Alguns cientistas são inventores. - (∃x)(C(x) ∧ I(x)) Alguns estudiosos são inventores. - (∃x)(E(x) ∧ I(x)) 1. (∀x)(C(x) → E(x)) Premissa 2. (∃x)(C(x) ∧ I(x)) ∠ Premissa 3. ∼(∃x)(E(x) ∧ I(x)) ∠ Premissa Adicional 4. (∀x) ∼ (E(x) ∧ I(x)) 3.(∼∃) 5. (C(a) ∧ I(a)) ∠ 2. (∃) : a é nova constante 6. (C(a) → E(a)) ∠ 1.(∀) : a é constante que já ocorre 7. ∼ (E(a) ∧ I(a)) ∠ 4. (∀) : a é constante que já ocorre 8. C(a) 5. (∧) 9. I(a) 5. (∧) / \ 10. ∼C(a) E(a) 6.(→) / \ 11. X (10,8) ∼E(a) ∼I(a) 7.(∼∧) 12. X (1,10) X(11,9) O argumento é válido pois todos os ramos foram fechados. PAGE 69 Exemplo III. Verifique a validade do argumento categórico : Nenhum estudante é velho . (∀x)(E(x) → ∼V(x)) Alguns jovens não são estudantes (∃x)(J(x) ∧∼E(x)) Alguns velhos não são jovens. (∃x)(V(x) ∧∼J(x)) 1. (∀x)(E(x) →∼V(x)) Premissa 2. (∃x)(J(x) ∧∼E(x))∠ Premissa 3. ∼ (∃x)(V(x) ∧∼J(x))∠ Premissa Adicional 4. (∀x) ∼ (V(x) ∧∼J(x)) 3. (∼∃) 5. (J(a) ∧∼E(a))∠ 2. (∃) : a é nova constante. 6. (E(a) → ∼V(a))∠ 1. (∀) : a é constante que já existe. 7. ∼(V(a) ∧∼J(a))∠ 4. (∀) : a é constante que já existe 8. J(a) 5. (∧) 9. ∼E(a) 5.(∧) / \ 10. ∼E(a) ∼V(a) 6.(→) / \ / \ 11. ∼V(a) ∼∼J(a) ∼V(a) ∼∼J(a) 7.(∼∧) 12. / \ / \ O argumento não é válido pois a árvore terminou e temos ramos abertos. Exemplo IV. (∀x)(∃y)P(x,y) , P(a,a) 1. (∀x)(∃y)P(x,y) Premissa 2. ∼ P(a,a) Premissa adicional. 3. (∃y)P(a,y)∠ 1. (∀) : a é constante que já existe. 4. P(a,b) 3. (∃) : b é nova constante. 5. (∃y)P(b,y)∠ 1. (∀) : b é constante que já existe. 6. P(b.c) 5. (∃) : c é nova constante. Como podemos observar a árvore nunca terminará; é infinita. Vamos assumir que o argumento não é válido. Na verdade não existe um método efetivo que nos permita decidir sempre, e para qualquer argumento do Cálculo de Predicados, se tal argumento é válido ou não é válido. Este resultado mostra que o Cálculo de Predicados é indecidível. A indecidibilidade do Cálculo de Predicados pode ser provada e é conhecida como "Tese de Church" . Há muitos livros de lógica que abordam este assunto. Quando verificamos a validade de um argumento estamos verificando se, no caso das premissas serem verdadeiras elas inferem uma determinada conclusão. Isto é possível ser feito por vários métodos no Cálculo Proposicional os quais não todos se generalizam para o Cálculo de Predicados como verificamos acima. DEFINIÇÕES: Para estudarmos o Cálculo de Predicados sobre outros aspectos algumas definições são importantes e as especificamos abaixo: OCORRÊNCIAS LIVRE E LIGADA DE UMA VARIÁVEL: Uma ocorrência de uma variável x numa fórmula é ligada se x é uma variável de um quantificador na fórmula ou x está no escopo de um quantificador (∀x) ou (∃x) na fórmula. Caso contrário a ocorrência de x é livre. PAGE 69 VARIÁVEL LIGADA (LIVRE): Se a ocorrência de x é ligada (livre) numa fórmula, dizemos que x é variável ligada (livre) na fórmula. Assim uma variável pode ser livre ou ligada numa mesma fórmula. Exemplo:Na fórmula (∃y)((∀x)R(y,b,t) → (∀z) P(x,a)) temos cinco variáveis que estão numeradas onde: 1 2 3 4 5 1,2,3,4 são ligadas e 5 é livre. Vemos que x ocorre livre e ligada na mesma fórmula. SENTENÇA: Uma fórmula em que não há ocorrências livres de variáveis chamamos de sentença. TERMO LIVRE PARA UMA VARIÁVEL: Um termo t é livre para a variável y na fórmula α se, quando se substitui as ocorrências livres de y por t, as ocorrências de t em α assim obtidas ocorrem livres. Exemplos: 1. x é livre para y em P(y). 2. x não é livre para y em (∀x)P(y). 3. x é livre para x em qualquer fórmula. 4. qualquer termo é livre para x numa fórmula α se em α não há ocorrência livre de x. BIBLIOGRAFIA BÁSICA I. FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS PARA CIÊNCIA DA COMPUTAÇÃO – Judith L.Gersting - LTC(Livros Técnicos e Científicos) - 1995 II. INTRODUCTION TO MATHEMATICAL LOGIC-E. Mendelson -Wadsworth & Brooks/ Cole Mathematics Series - 1987 III. THE LANGUAGE OF FIRST-ORDER LOGIC – Jon Barwise and John Etchemendy – CSLI – Stanford - 1992 BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR 1. NOÇÕES DE LÓGICA MATEMÁTICA - Abar, C. A . A. P. – www.pucsp.br/~logica (roteiro teórico)e www.pucsp.br/~abarcaap (exercícios) 2. ÁLGEBRA BOOLEANA E CIRCUITOS DE CHAVEAMENTO – E. Mendelson - McGraw Hill - 1977 3. INICIAÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA - E. de Alencar Filho -E.Nobel -1984 4. INTRODUÇÃO À LÓGICA MATEMÁTICA - B.Castrucci - GEEM -1982 5. INTRODUCTION TO METAMATHEMATICS - S.C.Kleene - van Nostrand - 1952 6. LÓGICA - John Nolt / Dennis Rohatyn - Schaum/McGraw Hill - 1991 7. LÓGICA - O CÁLCULO DE PREDICADOS - L.Hegenberg - EDUSP - 1973 8. LÓGICA - O CÁLCULO SENTENCIAL - L.Hegenberg - Herder/EDUSP - 1973 9. LÓGICA DINÂMICA - T. Barreiro de Nudler -Kapelusz Argentina - 1994 10. LÓGICA E ÁLGEBRA DE BOOLE - J. Daghlian - Atlas - 1986 11. LÓGICA MATEMÁTICA- H. Cyrino e F. Arantes - Papirus – 1984 12. A FIRST COURSE IN FUZZY LOGIC –Hung T. Nguyen and Elbert A. Walker – CRC Press – 1997 PAGE 69 Ex: "Este caminhão é composto apenas por componentes leves, logo ele é leve também." • Falácia da Divisão (Tomar a parte pelo todo): Oposto da falácia de composição. Assume que uma propriedade do todo é aplicada a cada parte. Ex: "Você deve ser rico, pois estuda em um colégio de ricos." • Falácia do homem de palha: Consiste em criar idéias reprováveis ou fracas, atribuindo-as à posição oposta. Ex: "Meu adversário, por ser de um partido de esquerda, é a favor do comunismo radical, e quer retirar todas as suas posses, além de ocupar as suas casas com pessoas que você não conhece." • Cum hoc ergo propter hoc : (falsa causa) Afirma que apenas porque dois eventos ocorreram juntos eles estão relacionados. Ex: "O Guarani vai ganhar o jogo de hoje porque hoje é quinta-feira e até agora ele ganhou em todas as quintas-feiras em que jogou." • Post hoc ergo propter hoc : Consiste em dizer que, pelo simples fato de um evento ter ocorrido logo após o outro, eles têm uma relação de causa e efeito. Ex: "O Japão rendeu-se logo após a utilização das bombas atômicas por parte dos EUA. Portanto, a paz foi alcançada devido à utilização das armas nucleares." • Petitio Principii : Ocorre quando as premissas são tão questionáveis quanto a conclusão alcançada. Ex: "Sócrates tentou corromper a juventude da Grécia, logo foi justo condená-lo à morte." • Circulus in Demonstrando : Ocorre quando alguém assume como premissa a conclusão a que se quer chegar. Ex: "Sabemos que Joãozinho diz a verdade pois muitas pessoas dizem isso. E sabemos que Joãozinho diz a verdade pois nós o conhecemos." • Falácia da Pressuposição : Consiste na inclusão de uma pressuposição que não foi previamente esclarecida como verdadeira, ou seja, na falta de uma premissa. Ex: "Você já parou de bater na sua esposa?" • Ignoratio Elenchi (Conclusão sofismática): Ou "Falácia da Conclusão Irrelevante". Consiste em utilizar argumentos válidos para chegar a uma conclusão que não tem relação alguma com os argumentos utilizados. Capítulo 3 – A Lógica Fuzzy Histórico PAGE 69 Aristóteles, filósofo grego (384 - 322 a.C.), foi o fundador da ciência da lógica, e estabeleceu um conjunto de regras rígidas para que conclusões pudessem ser aceitas logicamente válidas. O emprego da lógica de Aristóteles levava a uma linha de raciocínio lógico baseado em premissas e conclusões. Como por exemplo: se é observado que "todo ser vivo é mortal" (premissa 1), a seguir é constatado que "Sarah é um ser vivo" (premissa 2), como conclusão temos que "Sarah é mortal". Desde então, a lógica Ocidental, assim chamada, tem sido binária, isto é, uma declaração é falsa ou verdadeira, não podendo ser ao mesmo tempo parcialmente verdadeira e parcialmente falsa. Esta suposição e a lei da não contradição, que coloca que "U e não U" cobrem todas as possibilidades, formam a base do pensamento lógico Ocidental. A Lógica Difusa (Fuzzy Logic) viola estas suposições. O conceito de dualidade, estabelecendo que algo pode e deve coexistir com o seu oposto, faz a lógica difusa parecer natural, até mesmo inevitável. A lógica de Aristóteles trata com valores "verdade" das afirmações, classificando-as como verdadeiras ou falsas. Não obstante, muitas das experiências humanas não podem ser classificadas simplesmente como verdadeiras ou falsas, sim ou não, branco ou preto. Por exemplo, é aquele homem alto ou baixo? A taxa de risco para aquele empreendimento é grande ou pequena? Um sim ou um não como resposta a estas questões é, na maioria das vezes, incompleta. Na verdade, entre a certeza de ser e a certeza de não ser, existem infinitos graus de incerteza. Esta imperfeição intrínseca à informação representada numa linguagem natural, tem sido tratada matematicamente no passado com o uso da teoria das probabilidades. Contudo, a Lógica Difusa, com base na teoria dos Conjuntos Nebulosos (Fuzzy Set), tem se mostrado mais adequada para tratar imperfeições da informação do que a teoria das probabilidades. De forma mais objetiva e preliminar, podemos definir Lógica Difusa como sendo uma ferramenta capaz de capturar informações vagas, em geral descritas em uma linguagem natural e convertê-las para um formato numérico, de fácil manipulação pelos computadores de hoje em dia. Considere a seguinte afirmativa: Se o tempo de um investimento é longo e o sistema financeiro tem sido não muito estável, então a taxa de risco do investimento é muito alta. Os termos "longo", "não muito estável" e "muito alta" trazem consigo informações vagas. A extração (representação) destas informações vagas se dá através do uso de conjuntos nebulosos. Devido a esta propriedade e a capacidade de realizar inferências, a Lógica Difusa tem encontrado grandes aplicações nas seguintes áreas: Sistemas Especialistas; Computação com Palavras; Raciocínio Aproximado; Linguagem Natural; Controle de Processos; Robótica; Modelamento de Sistemas Parcialmente Abertos; Reconhecimento de Padrões; Processos de Tomada de Decisão (decision making). A Lógica Difusa ou Lógica Nebulosa, também pode ser definida , como a lógica que suporta os modos de raciocínio que são aproximados, ao invés de exatos, como estamos naturalmente acostumados a trabalhar. Ela está baseada na teoria dos conjuntos nebulosos e difere dos sistemas lógicos tradicionais em suas características e detalhes. Nesta lógica, o raciocínio exato corresponde a um caso limite do raciocínio aproximado, sendo interpretado como um processo de composição nebulosa. A lógica em questão foi desenvolvida por Lofti A. Zadeh da Universidade da Califórnia em Berkeley na década de 60 e combina lógica multivalorada, teoria probabilística, inteligência artificial e redes neurais para que possa representar o PAGE 69 pensamento humano, ou seja, ligar a linguística e a inteligência humana, pois muitos conceitos são melhores definidos por palavras do que pela matemática. O valor verdade de uma proposição pode ser um subconjunto nebuloso de qualquer conjunto parcialmente ordenado, ao contrário dos sistemas lógicos binários, onde o valor verdade só pode assumir 2 valores : verdadeiro (1) ou falso (0). Introdução Os Conjuntos Fuzzy e a Lógica Fuzzy provêm a base para geração de técnicas poderosas para a solução de problemas, com uma vasta aplicabilidade, especialmente, nas áreas de controle e tomada de decisão. A força da Lógica Fuzzy deriva da sua habilidade em inferir conclusões e gerar respostas baseadas em informações vagas, ambíguas e qualitativamente incompletas e imprecisas. Neste aspecto, os sistemas de base Fuzzy têm habilidade de raciocinar de forma semelhante à dos humanos. Seu comportamento é representado de maneira muito simples e natural, levando à construção de sistemas compreensíveis e de fácil manutenção. A Lógica Fuzzy é baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy. Esta é uma generalização da teoria dos Conjuntos Tradicionais para resolver os paradoxos gerados à partir da classificação “verdadeiro ou falso” da Lógica Clássica. Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou “completamente verdadeiro” ou “completamente falso”. Entretanto, na Lógica Fuzzy, uma premissa varia em grau de verdade de 0 a 1, o que leva a ser parcialmente verdadeira ou parcialmente falsa. Com a incorporação do conceito de “grau de verdade”, a teoria dos Conjuntos Fuzzy estende a teoria dos Conjuntos Tradicionais. Os grupos são rotulados qualitativamente (usando termos lingüístico, tais como: alto, morno, ativo, pequeno, perto, etc.) e os elementos deste conjuntos são caracterizados variando o grau de pertinência (valor que indica o grau em que um elemento pertence a um conjunto). Por exemplo, um homem de 1,80 metro e um homem de 1,75 metro são membros do conjunto “alto”, embora o homem de 1,80 metro tenha um grau de pertinência maior neste conjunto. Com base nesta breve introdução, será conceitualizada a teoria dos Conjuntos Fuzzy, Lógica Fuzzy e das Proposições Fuzzy nas seguintes seções. Estas conceitualizações se fazem necessárias neste trabalho, pois a sua espinha dorsal é, totalmente, baseada nos conceitos de RNAs apresentadas anteriormente e na teoria dos Conjuntos Fuzzy. Teoria dos Conjuntos Tradicionais A teoria dos Conjuntos Fuzzy é em grande parte uma extensão da teoria dos Conjuntos Tradicionais. Baseando-se nesta declaração é apropriado fazer uma breve revisão de conceitos da teoria dos Conjuntos Tradicionais. Existem três métodos através do qual um conjunto A sobre o conjunto universo X pode ser definido: 1. Um conjunto A cujo os membros são a1, a2, a3 é geralmente definido por: PAGE 69 Teoria dos Conjuntos Fuzzy Um Conjunto Fuzzy é definido em um universo de discurso (conjunto base) X, e caracterizado pela sua função de pertinência: A : X F 0A E [0,1] ( ) onde A(x) representa o grau com que x pertence a A e expressa a extensão com que x se enquadra na categoria representada por A. Uma função de pertinência particular pode ser visualizada por meio da Equação ). Como constata-se esta função é triangular e as variáveis a, b e c são parâmetros da função. ( ) Conforme definido anteriormente, a teoria dos Conjuntos Fuzzy é uma extensão da teoria dos Conjuntos Tradicionais. Assim, as principais operações e relações entre Conjuntos Fuzzy são definidas como extensão das operações e relações tradicionais, como pode ser visto na , onde A e B denotam Conjuntos Fuzzy sobre um conjunto base X e A(x) e B(x) representam os graus de pertinência de x nos Conjuntos Fuzzy A e B respectivamente. NF 0B 0 Operação Representação Natureza 1 Complemento F 0D 8A(x) = 1 - A(x) Operação 2 Diferença (A F 0B 9 B) se A(x) F 0 B 9 B(x) para pelo menos um elemento de x F 0C E X Relação 3 Igualdade (A = B) se A(x) = B(x) para todo x F 0C E X Relação 4 Inclusão (A F 0C D B) se A(x) F 0 A 3 B(x) para todo x F 0 C EX Relação 5 Intersecção A F 0C 7B = A(x) F 0 C 7 B(x) = min [A(x), B(x)] Operação 6 União AF 0C 8B = A(x) F 0 C 8 B(x) = max [A(x), B(x)] Operação Tabela – Operações e Relações com Conjuntos Fuzzy Além das operações e das relações os Conjuntos Fuzzy possuem algumas características especiais. Entre tais características encontram-se: Corte F 06 1 , Conjunto de Níveis, Suporte, Altura e Normalização. A seguir tais características serão PAGE 69 apresentadas de forma sintética, supondo que A é um Conjunto Fuzzy sobre o conjunto base X. Corte F 06 1 O Corte F 06 1 (F 0 6 1A) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao Conjunto Tradicional que contém todos os elementos do conjunto universo X com grau de pertinência em A maior ou igual a F 06 1, enquanto que o Corte F 0 6 1 forte (F 0 6 1+A) contém todos os elementos em um conjunto universo X com grau maior que F 06 1, onde F 0 6 1 F 0 C E [0,1]. F 0 6 1A = {x F 0C E X | A(x) F 0 B 3 F 0 6 1} ( ) F 0 6 1+A = {x F 0C E X | A(x) F 0 3 E F 0 6 1} ( ) Conjunto de Níveis O Conjunto de Níveis (F 04 C ) de um Conjunto Fuzzy A corresponde a um conjunto que contém todos os valores F 06 1 F 0 C E [0,1] e que representam Cortes F 0 6 1 de A distintos. O Conjunto de Níveis do Conjunto Fuzzy A é representado formalmente por: F 0 4 CA = { F 0 6 1 | A(x) = F 0 6 1 para algum x F 0 C E X} ( ) Suporte O Suporte de um Conjunto Fuzzy A, em um conjunto universo X, é o Conjunto Tradicional que contém todos os elementos de X que possuem grau de pertinência diferente de zero em A. Claramente, o Suporte de A é exatamente o mesmo que o Corte F 06 1 forte de A para F 0 6 1 = 0. Vários símbolos especiais costumam ser usados para representar o Suporte de um conjunto, tais como: S(A) ou supp(A). Este trabalho usará a simbologia de 0+A para esta representação. 0+A = {x F 0C E X | A(x) > 0} ( ) Altura A Altura (h) de um Conjunto Fuzzy A corresponde ao seu maior grau de pertinência, entre todos os elementos do conjunto. h(A) = supxF 0 C EX A(x) ( ) Normalização Um Conjunto Fuzzy A é chamado de Normal quando a sua Altura é igual a 1, ou seja, pelo menos um grau de pertinência, dos elementos do conjunto, possui valor máximo, enquanto que os conjuntos que não possuem Altura igual a um são chamados de subnormal. Portanto: A é dito normal se h(A) = 1 A é dito subnormal se h(A) < 1 PAGE 69 Caso um Conjunto Fuzzy possua apenas um elemento com grau de pertinência igual a um, este elemento é denominado protótipo do conjunto. Um Conjunto Fuzzy não normalizado pode ser normalizado por meio da divisão dos graus de pertinência de cada elemento, pelo maior grau de pertinência encontrado no conjunto. Definidas as características especiais dos Conjuntos Fuzzy se faz necessário apresentar as Proposições Fuzzy extraídas de, para um posterior entendimento deste trabalho. Lógica Fuzzy Uma das características da Lógica Clássica é o axioma do Terceiro Excluído, isto é não existe alternativa para um valor verdade além do par {Verdadeiro, Falso}. Ao lidar com problemas do mundo real, no entanto, é como que o conhecimento disponível não seja nem absolutamente verdadeiro nem absolutamente falso, podendo ser, por exemplo paradoxais, incertos, desconhecidos, indeterminados, verdadeiros em geral, verdadeiros com uma certa probabilidade, etc. Para estender a Lógica Clássica de maneira a permitir o tratamento deste tipo de conhecimento, é necessário alterar o conjunto de valores {Verdadeiro, Falso}. Dentre dos formalismos propostos para alterar este conjunto de valores encontra-se a Lógica Fuzzy. A Lógica Fuzzy é baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy para sua representação. Neste tipo de Lógica há a presença de uma séries de elementos, entre estes pode-se citar as Proposições Fuzzy e a Inferência Fuzzy. Na literatura são encontrados vários métodos de inferência utilizando o paradigma Fuzzy. Proposições Fuzzy As Proposições Fuzzy podem ser classificadas em quatro tipos: 1. Proposições Fuzzy Incondicionais e não Qualificadas; 2. Proposições Fuzzy Incondicionais e Qualificadas; 3. Proposições Fuzzy Condicionais e não Qualificadas; 4. Proposições Fuzzy Condicionais e Qualificadas. Proposições Fuzzy Incondicionais e não Qualificadas A forma canônica das proposições p deste tipo, é representada pela equação p : V é F ( ) PAGE 69 do Conjunto Jovem Para muito verdade 0 0 0.25 0.2 0.36 0.4 0.50 0.55 0.65 0.7 0.75 0.87 1 0.1 Tabela – Conjunto Fuzzy representado o qualificador muito verdade Assumindo que a idade de Gabi seja 20 anos, tal valor dentro do conjunto jovem possui grau de pertinência igual a 0.65, consequentemente, o valor de 0.65 para o conjunto jovem possui grau de pertinência igual a 0.70 no Conjunto Fuzzy muito verdade. Em geral, o grau de verdade T(p), de qualquer proposição qualificada p, é dado para cada x F 0C E X pela Equação ). T(p) = S(N(x)) ( ) As proposições não qualificadas são casos especiais de proposições qualificadas-verdade, em que o qualificador verdade S, assume o valor verdadeiro. Proposições Fuzzy Condicionais e não Qualificadas. Proposições p deste tipo são representadas pela seguinte forma canônica: p : Se X é A, então Y é B ( ) onde X, Y são variáveis cujo valores estão nos conjuntos X e Y respectivamente, e A e B são Conjuntos Fuzzy em X e Y respectivamente. Estas proposições podem ser vistas como proposições na forma: F 0 E 1X,Y F 0 F 1 é R ( ) onde R é um Conjunto Fuzzy em X x Y, que é determinado para cada x F 0C E X e cada y F 0 C E Y por: R(x,y) = F 0B 6 [A(x), B(y)] ( ) onde F 0B 6 denota uma função que define como a relação R é obtida. A função F 0 B 6 , apresentada detalhada, pode ser uma conjunção Fuzzy, um disjunção Fuzzy ou uma implicação Fuzzy. Neste trabalho é ilustrado o método de Implicação de Lukasiewcz definido por. F 0 B 6 (a,b) = min(1, 1 – a + b) ( ) Seja A = 0.1 / x1 + 0.8 / x2 + 1.0 / x3 e B = 0.5 / y1 + 1 / y2. Então, R = 1 / x1, y1 + 1 / x1, y2 + 0.7 / x2, y1 + 1 / x2, y2 + 0.5 / x3, y1 + 1 / x3, y2 PAGE 69 Isto significa, por exemplo, que T(p) = 1 quando X = x1 e Y = y1; T(p) = 0.7 quando X = x2 e Y = y1; e assim por diante. Proposições Fuzzy Condicionais e Qualificadas Proposições deste tipo podem ser caracterizadas pela seguinte forma canônica: p : Se X é A, então Y é B é S ( ) O valor verdade destas proposições é obtido pela combinação dos métodos descritos nas seções 5.2 e 5.3. Sites: 1. http://www.sandiego.edu/LogicSlave/fmslog.html 2. http://www.nova.edu./~hammack/MathDL/Venn/index.html 3. http://www.javafile.com 4. http://pt.wikipedia.org/wiki/Fal%C3%A1cia 5. http://www.pucsp.br/~logica/ 6. http://www.din.uem.br/ia/controle/fuz_conj.htm 7. http://users.femanet.com.br/~fabri/fuzzy.htm PAGE 69