Geometria Analitica e Calculo Vetorial

Geometria Analitica e Calculo Vetorial

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A análise dimensional é uma ferramenta de grande utilidade no estudo da Física:fornece pistas importantes para a solução de um problema,ajuda a intuição,e pode reduzir significativamente a complexidade de um problema.Este artigo pretende mostrar que usando adequadamente a análise dimensional,se podem obter inúmeros resultados importantes a partir de conhecimentos rudimentares de Física.Serão apresentados vários exemplos, com especial destaque para o mundo biológico.

Armando Vieira Departamento de Física Instituto Superior de Engenharia do Porto Rua de S.Tomé,4200 Porto e Centro de Física Computacional da Universidade de Coimbra (asv@isep.ipp.pt)

Existem na Natureza fenómenos complexos sobre os quais não temos a sorte de possuir uma teoria adequada, como por exemplo o escoamento turbulento de um fluido.No entanto,usando apenas as dimensões das grandezas físicas intervenientes,podemos extrair uma quantidade de informação extraordinária.Embora pouco relevante do ponto de vista de compreensão dos fenómenos físicos,esta informação é extremamente útil do ponto de vista prático e ajuda-nos a compreender melhor o problema em estudo [1]

Apesar de a turbulência ser um fenómeno ainda não totalmente compreendido,podemos saber a priori,ignorando completamente os detalhes do problema,por exemplo,como se relacionam as forças exercidas numa dada superfície com a velocidade e a densidade do fluido.

O objectivo deste artigo é mostrar que,recorrendo à análise dimensional,se podem conhecer relações interessantes desconhecendo quase por completo a física dos fenómenos em causa.Em particular,serão abordados aspectos relacionados com o tamanho,ou seja,como variam certas propriedades na matéria e nos seres vivos quando se alteram apenas as suas dimensões.Podemos assim responder a questões como:quanto varia a força de impacto de um projéctil ao reduzirmos a metade a sua densidade: quanto tempo a mais é preciso para cozer um bolo com o dobro do tamanho de outro? No caso da biologia,existem fenómenos muito curiosos que podem ser compreendidos à luz da análise dimensional,como,por exemplo, saber porque morre um homem numa queda de 10 m ao

passo que um pequeno rato sai geralmente ileso de um acidente do mesmo tipo.

A arte de adivinhar equações

Existem inúmeros casos na história da ciência onde as equações,antes de terem sido deduzidas,foram de certa forma adivinhadas ou intuídas pelos seus autores.

Vejamos como isso não é muito difícil.Tomemos o exemplo da queda dos graves.Suponhamos que queríamos determinar uma expressão para a velocidade terminal do objecto vem função da altura hde que foi largado. Como não sabemos nada de Física apenas temos de averiguar quais são as grandezas físicas relevantes.Neste caso consideramos,além da altura,a aceleração da gravidadeda terra g.Vamos então supor que vse escreve como um produto:

em que αé uma constante sem dimensões e xe ysão expoentes a determinar.Para esta equação estar dimensionalmente correcta,o lado direito deve ter as dimensõesde uma distância sobre tempo (L/T),ou seja,dimensionalmente:

Daqui se tira facilmente que x+ y= 1,e -2x= -1,ou seja

Portanto obtivemos a expressão da velocidade que pretendíamos,

Resta-nos determinar a constante α,que pode ser obtida quer experimentalmente,quer por uma análise detalhada do problema.Através desta relação funcional reduzimos a nossa ignorância à mera determinação de uma constante,o que não deixa de ser notável.

Suponhamos agora que, erradamente, considerávamos também a massa como uma grandeza relevante para este problema.Então a equação dimensional ficava:

Pode verificar-se directamente que z= 0,ou seja,a velocidade de queda de um corpo não depende da sua massa.

É claro que esta expressão só é válida se desprezarmos a resistência do ar.Se a considerássemos,teríamos novas grandezas na expressão da velocidade.Elas seriam a densidade do ar ρ,a massa do corpo me a área eficaz exposta ao deslocamento A.Ou seja,

Trata-se agora de um problema mais difícil de resolver pois temos 5 grandezas e apenas 3 equações:uma para o tempo,outra para o espaço e outra para a massa.Para estes casos existe um procedimento geral baseado no teorema πde Buckingam que permite obter relações entre quantidades adimensionais [2].

Podemos,no entanto,usar a intuição para reduzir a complexidade do problema.Por exemplo,devido agora à presença de uma forma de resistência que aumenta com a velocidade do corpo,a velocidade não pode aumentar indefinidamente.Logo a altura de queda,h,não deve entrar na expressão da velocidade a partir de um certo tempo.Após eliminarmos hnão é difícil obter a seguinte expressão:

Podemos verificar que esta equação está correcta recordando que a força que um fluido exerce numa áreaAé ρAv2 e que esta deve igualar a força gravítica mg.A esta quantidade chama-se velocidade terminal,que para o corpo humano está compreendida entre 150 a 200 km/h (Fig.1). Recorde-se que a densidade do ar é cerca de 1 kg/m3.

Ou seja,se tivermos um fenómeno descrito por uma relação funcional f(q1,q2,...,qn) = 0,em que qisão grandezas físicas quaisquer,podemos sempre encontrar

Algumas dessas grandezas adimensionais são,por exemplo,o número de Reynolds (Re = ρlv / η),em que ρé a densidade do fluido e ηa sua viscosidade.

A primeira vantagem de reescrever as equações com base em quantidades adimensionais é que reduzimos o número de variáveis no problema (normalmente ficamos com menos 3).Mas a principal vantagem talvez seja o facto de,ao reescrever as equações em função de grandezas adimensionais,podermos estabelecer semelhanças entre um modelo a escala reduzida e o protótipo real.Por exemplo,para estudar as forças exercidas pelo vento numa ponte é construído um modelo de dimensões reduzidas,tipicamente numa escala de 1:100,ou seja, uma ponte com 1 km é reduzida para 10 m.Para que os testes com o modelo sejam válidos é preciso conhecer a correspondência entre as forças exercidas no modelo e as correspondentes no protótipo.Se testarmos o modelo com valores das quantidades adimensionais iguais à realidade,e com as mesmas condições de fronteira,então teremos uma equivalência directa.

Neste caso há uma relação que pode ser facilmente extraída entre a força do vento exercida na ponte modelo e na ponte real.

protótipo e o modeloé dada

Vejamos um outro exemplo.Se,num modelo de um arco feito de alumínio à escala de 1:3,é necessária uma força de 1 N para esticar a corda,que força será necessária aplicar num arco de aço de tamanho real? Como o módulo de Young Eé dado por E = F / l2,em que Fé a força aplicada,temos que a relação de forças entre o pela expressão:

onde KEé a relação dos módulos de Young entre o alumínio e o aço e Klé a relação das dimensões lineares entre o protótipo e o modelo.Ou seja,teríamos de aplicar uma força de 1/0,02 = 50 N.

A velocidade depende agora da massa mas não da altura. Isto significa que,na realidade,a velocidade do corpo aumenta inicialmente de acordo com a equação da queda dos graves,mas que,após algum tempo,ela irá estabilizar num valor constante.

A~ l2,a velocidade terminal é proporcional a:se

Como m ~ l3,em que lé a dimensão linear do corpo,e aumentarmos o tamanho de um objecto ele irá cair com uma maior velocidade.Por exemplo,um elefante,que tem uma dimensão linear cerca de 100 vezes superior à do rato,terá uma velocidade terminal 10 vezes maior.

Mais uma vez a nossa ignorância acerca de um fenómeno complexo fica reduzida apenas à determinação de uma constante.

Vejamos mais um caso não trivial:encontrar uma expressão para a frequência de vibração fundamentalf,de uma estrela.Usando o diâmetro da estrela D,a sua densidade ρ e a constante de gravitação universal G,o leitor pode obter facilmente a seguinte expressão:

em queOu seja,a frequência depende ape-

nas da raiz quadrada da densidade e é independente do tamanho da estrela.

A semelhança mecânica

A análise dimensional é muito útil em engenharia para analisar processos que envolvem por vezes dezenas de grandezas físicas.

O teorema πde Buckingam estabelece a possibilidade de reescrever as equações que descrevem um dado fenómeno em função de quantidades adimensionais,em número sempre inferior à quantidade de grandezas físicas envolvidas no problema.

CG=α KF F prototipo modelo= /

Fig.1:Um paraquedista em queda livre atinge rapidamente a velocidade terminal.

Outras aplicações

Vamos agora ver algumas aplicações ao mundo da biologia.Por que razão um rato consegue sair ileso de uma queda de vários metros de altura enquanto um ser humano fica esmagado?

Vejamos quanto vale a força de impacto de um corpo de massa mcom velocidade vao chocar com uma superfície rígida:

onde usámos o facto de ∆t= 2∆x / ∆vpara um movimento uniformemente retardado,sendo ∆xo valor da distorção linear provocada pelo embate do corpo.

Usando a lei de Hooke,F= k∆x,com ka constante de elasticidade do material,fica

Usando a equação da velocidade terminal de um corpo em queda,a força fica proporcional ao quadrado das dimensões lineares do corpo (F ~ l2) - lembremos que m ~ l3.

Resta-nos saber como medir a taxa de destruição provocada por uma força num ser vivo.Iremos considerar a distorção percentual ∆x/ lno corpo do animal para medir o seu "esmagamento".Então:

linearesvezes maiores,ou seja um "esmaga-

Ou seja,quanto maior for o animal,mais será ele "esmagado".Um animal com o dobro do peso terá dimensões mento" 26 por cento maior.Deixo para o leitor a tentativa de explicar por que razão as crianças se magoam relativamente menos que os adultos numa queda.

Um outro exemplo interessante é perceber por que razão os animais nos climas frios tendem a ser maiores que nos climas mais quentes.A razão é que a perda de calor dos animais é essencialmente proporcional à superfície enquanto o calor gerado é proporcional ao volume.Logo a relação entre o calor gerado e o calor perdido é dada por volume/área = l3/l2= l.Ou seja,animais maiores perdem percentualmente menos calor.

Façamos finalmente uma aplicação a um problema de condução de calor.Consideremos o problema de saber o tempo necessário para arrefecer (ou aquecer) um corpo a uma temperatura no seu centro To,quando a sua superfície está à temperatura Ts.A relação que se obtém é:

em que Fo= at / l2é o número de Fourier e Bi= hl / k é o número de Biot.As constantes são a difusividade térmicaa,a condutividade térmica k,e o coeficiente de transferênciatérmica h.Ou seja,dimensionalmente pode escrever-se uma equação para o tempo da forma:

Podemos agora responder à questão de quanto tempo mais leva um corpo a arrefecer em relação a um outro nas mesmas condições mas de tamanho diferente.O tempo de arrefecimento é proporcional a l2.Vamos ver o caso do arrefecimento do nosso planeta.Suponhamos que uma esfera de 1 m de raio,com uma composição grosseiramente idêntica à da Terra,leva cerca de 10 h para que a temperatura seja apenas 90 por cento inferior à temperatura do centro,ou seja Ts/T0= 0,9.Então,para o centro da Terra (raio de 6400 km) arrefecer até 90 por cento da temperatura da superfície levaria o tempo 10 (6,4 x106)2= 4,1 x1014horas.O que daria 46,7 mil milhões de anos.Como a Terra tem apenas cerca de 4 mil milhões de anos,podemos ficar descansados que tão depressa não ficaremos enregelados!

Leis de escala no mundo biológico

Sabe-se empiricamente que,com um bom grau de aproximação,quase todas as grandezas referentes aos seres vivos (chamemos-lhes X,que pode ser a força,o ritmo cardíaco,a taxa metabólica,etc.) variam com a sua massa da seguinte forma [2,3,4]:

em que γ=1/4 ou 3/4.

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