(Parte 1 de 4)

Wikilivros, livre pensar e aprender Cálculo I

Parabolóide

Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender Índice

1.Créditos3
2.Prefácio4
3.Conceitos básicos (funções)5
4.Limites e Continuidade8
1. Limites8
2. Continuidade17
5.Derivadas18
1. Introdução (coeficientes angulares)18
2. Definição19
3. Diferenciabilidade21
4. Regras básicas21
5. Derivadas Algébricas simples25
6. Diferenciação implícita27
6.Aplicações das derivadas28
1. Aplicações das derivadas28
2. Taxas29
3. Máximo, mínimo e médio31
4.Análises de declive e concavidade36
5. Esboço de gráficos38
7.Integrais39
1. Integrais39
2. Antiderivadas e antidiferenciais41
3. Definições42
4. Operações básicas42
5. Introdução a equações diferenciais4
6. A integral indefinida48
7. A integral definida48
8.Análise de funções elementares I59

1Disponível sob Gnu Free Documentation license

1. Logarítmicas59
2. Exponenciais62
3. Logarítmicas com outras bases67
4. Trigonométricas I(Seno e cosseno)69
9.Análise de funções elementares I84
1. Trigonométricas I84
2. Inversas das trigonométricas95
3. Hiperbólicas102
4. Inversas das hiperbólicas1
10.Técnicas de integração121
1. Considerações iniciais121
2. Por partes122
3. Por substituição trigonomética129
4.Funções racionais com denominadores lineares136
5.Funções racionais com denominadores quadráticos140
6. Por substituição hiperbólica144
7. Funções racionais trigonométricas146
1.Indeterminação e integrais impróprias152
1. Indeterminação152
2. Formas indeterminadas153
3. Valor médio de Cauchy154
4. Regra de L'Hôpital155
5. Integrais impróprias157
6. Fórmula de Taylor160
12.Aplicações das integrais161
1. A integração na prática161
2. Áreas162
3. Volumes166
4. Pressão dos líquidos176
5. Comprimentos de curvas178

Wikilivros, livre pensar e aprender 2Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender Créditos

Este livro é resultado do conhecimento, do empenho e da dedicação de várias pessoas, que acreditam que o conhecimento deve ser de todos os que aspiram obtê-lo, sendo a doação um ato que é recompensado pela satisfação em difundir o saber.

Dentre os editores que participaram da criação deste livro, damos crédito pelas seguintes competências:

Ajustes de formatação: João Jerónimo

Marcos Antônio Nunes de Moura

Categorização: Jota

LeonardoG

Marcos Antônio Nunes de Moura

Conteúdo: Marcos Antônio Nunes de Moura

Correções: Edudobay

Fredmaranhao

Lou cai

Proteção do conteúdo: Dante

SallesNeto BR

3Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Prefácio:

Todos aprendemos, até este ponto, a matemática elementar, com ela podemos lidar com inúmeras de nossas necessidades mais corriqueiras do dia a dia. A partir de agora, teremos a oportunidade de dispor de recursos mais sofisticados.

O cálculo, em conjunto com outras disciplinas, fazem parte do aprendizado da matemática de nível superior, ele é uma valorosa ferramenta de análise, muito utilizada em ciências exatas; esta ferramenta recebeu o nome cálculo, como forma abreviada da expressão "cálculo infinitesimal". Este livro explora a parte inicial do estudo de cálculo básico, presente nos cursos de nível superior mais voltados às ciências exatas e suas ramificações, com ele iremos navegar pelas análises algébricas e numéricas, pressupondo valores tão pequenos que podem ser considerados relativamente ínfimos, ao mesmo tempo iniciaremos as análises de quantidades desses elementos infinitesimais tão grandes que poderíamos chamá-los de populações gigantescas.

Este livro utiliza as notações e as siglas mais encontradas nos livros didáticos de Cálculo no Brasil, algumas notações comuns em livros "on-line" seguem o padrão norte-americano e por isso estão fora dos objetivos desta publicação, que foi idealizada para ser instrumento de aprendizado para nativos da lingua portuguesa, alguns exemplos de notações são encontradas principalmente nas funções trigonométricas, como o seno que simbolizamos sen() enquanto que em outros livros verificamos sin(), ou tangente que notamos tg() enquanto que em outros vemos tan().Dividimos o estudo de Cálculo em três livros, que não são necessariamente indicados especificamente para as subdivisões do estudo feito nas universidades, embora tenhamos alguns cursos onde há uma divisão da disciplina em até 6 (seis) módulos.

Para aproximar a seqüência dos tópicos à dos cursos mais conceituados, fiz uma pesquisa e adequei os índices ao cronograma destes cursos, para isso pesquisei universidades públicas e privadas no Brasil, obviamente, seria impossível adequar a seqüência dos tópicos para todos os cursos que se utilizam deste estudo, acredito que está próxima da média de adequação.Espero que tenhamos um bom proveito do conteúdo deste e dos outros livros sobre este tema.

4Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender Conceitos básicos

Definições iniciais:

Para uma melhor compreensão do conteúdo subseqüente, sugerimos observar o tópico: Funções, no livro: Matemática Elementar, pois o estudo completo de funções foge do escopo deste livro. Neste capítulo iremos destacar princípios e notações que nos serão úteis ao longo deste livro.

Função, domínio e imagem

Seja um conjunto de pontos A, cujos membros são os números em

, então tomamos e denominamo-la variável independente, visto que, arbitrariamente, lhe podemos atribuir qualquer valor em e portanto dizemos que:

A é o domínio da variável .

Da mesma forma, admitamos um conjunto de pontos B, cujos membros são números que são obtidos única e exclusivamente por um

conjunto de regras matemáticas , quando números arbitrários em A lhe são transferidos; visto que há um único valor assumido para cada

valor arbitrário transferido a , dizemos que:

B é função de A.

Sendo B obtido através das regras de :

A é domínio da função .

Da mesma forma, como B é restrito aos valores definidos por A e às

regras definidas por , os seus elementos espelham estas condições, portanto, podemos dizer que:

B é imagem da função .

5Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Extensões de domínios

Observemos a expressão: Note que assim que atribuirmos valores a x , a mesma assumirá valores inválidos, valores de raizes quadradas de números negativos, para sanar este problema, poderemos atribuir uma faixa de valores válidos para o domínio de x , então teremos:

Assim, teremos um domínio restrito a valores iguais ou menores que 12, portanto, incluindo-o, este extremo ao qual pertence o valor 12 chamamos de extremo fechado. Temos uma situação semelhante, porém com uma sutil diferença, quando temos que fazer: logx , neste caso, temos que restringir o valor 0 e todos os números abaixo dele, desta forma:

Poderemos atribuir apenas valores maiores que 0, uma vez que este valor não pertence ao conjunto de números que podem ser atribuidos à variável, chamamos este de extremo aberto.

Notações

O conjunto de números B dos quais dependem do conjunto A de onde temos , estabelecemos o par de números , ou simplesmente:

Este é chamado de par ordenado. Sendo também a representação dos valores de , então podemos dizer que:

Sendo o valor de quando definido pelas operações em . Faixas 6Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender de valores que delimitam os domínios podem ser representados com desigualdades, como nos exemplos abaixo:

Porém, os extremos podem ser colocados em um par entre delimitadores de forma que, para os extremos fechados usamos os delimitadores [ ou ], para os extremos abertos usamos ( ou ), habilitando-nos a identificar os extremos mais claramente, desta forma podemos identificar os domínios do exemplo acima desta forma:

Também é comum usar colchetes invertidos para extremos abertos:

Operações com funções

Consideremos duas funções f e g; admitindo que as duas são, intuitivamente, expressões que se traduzem em valores, podemos dizer que:

Sendo D(f) o domínio da função f e D(g) o domínio da função g, o domínio da função resultante das operações acima é sempre:

7Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Limites Breve explanação:

Vejamos o gráfico a seguir:

Figura 1 O gráfico representa a função:

Esta função apresenta um valor indefinido quando , o que nos leva a , porém se fizermos temos ; se agora

fizermos teremos ; depois fazendo teremos

; portanto quando nós aproximamos x de 6 aproximamos y de 1. Intuitivamente faremos o mesmo usando valores maiores que 6,

8Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

então se tivermos teremos ; e para

teremos ; finalmente, se teremos e vemos que o mesmo acontece, o que isto quer dizer? O que acontece é que quando aproximamos x de 6, y se aproxima de 1, o que indica uma tendência de se igualar a 1, ou seja quando x se aproxima de 6 de forma a alcançar o limite entre ele e o número mais próximo a ele, inevitavelmente também faz com que y alcance o número mais próximo de 1 possível, então dizemos que: se f(x) = y então, o limite de f(x)quando x tende a 6 é igual a 1.

Isto é comumente representado, pela seguinte notação:

Definição

Seja a função f(x), onde , se é um número em seu domínio, existe um número δ, tal que:

e sendo f(a), definido ou não, um número que tende a L, se existe um número ε, tal que:

e quando diminuimos δ até que não seja mais possível distingüir de ,embora eles sejam infinitesimalmente diferentes, tenhamos um ε

correspondente, então L é o limite de f(x) quando tende a . Adotamos a seguinte notação:

E de forma geral definimos que:

Se então quando

9Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Propriedades

Teoremas: T1 - (Unicidade)

See então:

Demonstração:

Proponhamos que: Logo teremos que admitir:

havendo uma diferença: Da desigualdade triangular:

Se tivermos um δ que seja englobado nas condições:

Teremos observado que:

Como podemos arbitrar ε, teríamos:

fazendo Que é contraditório, portanto:

10Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender T2 - (Soma e diferença)

Demonstração:

Tomando: e , devemos , pela definição, provar que:

Posto que: ,

Podemos arbitrar: e pela desigualdade triangular:

como: , logo:

Temos como afirmar que a diferença também pode ser calculada da mesma maneira, pois as funções não estão restritas a valores positivos na demonstração acima.

T3 - (Produto)

Demonstração: Queremos verificar se: Admitamos que:

11Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

do que podemos concluir que: também tomemos:

sendo Pelo exposto temos que:

esta expressão se traduz em:

portanto:

o que confirma a validade do teorema. T4 - (Razão)

Demonstração: T5 - (Potência)

Demonstração: De fato, temos:

12Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender O que, pelo teorema do produto, nos leva a:

E portanto, estabelece o que pretendíamos demonstrar. T6 - (Radiciação)

Demonstração:

Conseqüentes para funções algébricas:

Estas regras são conseqüências diretas dos teoremas relacionados acima:

sendo

sendo Limites laterais

Consideremos a função: , podemos notar que todos os valores de x menores que 2 induzem um valor indefinido na função, esta indefinição também se refletirá nos limites dos valores da função neste intervalo de indefinição, portanto não faz sentido falar de limites absolutos quando os valores da função estão indefinidos para certa faixa do domínio. O que poderíamos fazer para analisar os valores válidos da função? Podemos limitar o seu domínio e consequentemente, deveríamos limitar os limites; quando temos um

13Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender meio de definir o intervalo de exclusão dos números, podemos também, excluir certa faixa dos limites; se quisermos adotar apenas números positivos na análise podemos fazê-lo desta forma: , da

mesma forma poderemos adotar apenas números negativos, com a seguinte restrição: , no primeiro caso dizemos que o limite da

função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela direita, no segundo caso dizemos que o limite da função é o valor da função para qual a mesma tende quando x se aproxima de a pela esquerda.

Limite lateral pela direita Dizemos que , quando:

Limite lateral pela esquerda Dizemos que , quando:

Infinitos

algo fascinanteAgora imagine um número absolutamente tão alto
quanto é possível você conceberConseguiu? Pois bem este não é

Já lhe perguntaram o que é o infinito? Certamente alguém lhe deu uma resposta poética a respeito e de fato no sentido poético, o infinito é infinito, pois aqui, falaremos desse número como sendo algo tão inatingível que nenhuma mente humana poderia imaginar. Infinito é uma tendência, uma forma de representar algo que é tão alto que jamais poderíamos atingir, é como se fosse um caminho sem fim, como o destino de um corpo sem obstáculos e atrito no espaço sem fim.

limiteEntão façamos um estudo de como representá-lo. Antes de

Desta forma é um número que só podemos representar como um mais nada pensemos qual a melhor maneira de aumentar sucessivamente o valor de uma função, isto é possível fazendo divisões por números menores que 1, ou seja se fizermos:

14Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

então poderemos dizer que

Isto é o que chamamos de infinito matemático e a partir desta, a operação inversa é imediatamente dedutível:

Este é um conceito importantíssimo na análise do cálculo e em diversos campos das ciências exatas, iremos nos aprofundar a partir deste conceito para formar ferramentas que serão úteis em diversos estudos.

Tendências infinitas

Considere a função , o seu valor jamais ultrapassará f(x) = 1 quando tomamos valores de x maiores que 1, fazendo sucessivas aproximações vemos que:

De fato temos uma tendência do valor da função se igualar a 1 quando levamos x para números muito altos, embora nunca alcance o valor 1, chamamos isso de limite no infinito, ou tendência infinita.

Podemos simbolizá-lo destas formas:

ou 15Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

O mesmo pode acontecer quando aproximamos o valor de uma variável independente ao infinito negativo, pelo lado esquerdo da função, então podemos representá-la destas formas:

Definição

Seja L o número para qual uma função f(x) tende a se igualar quando a variável independente x ultrapassa o número N, chamamos o número L de limite lateral positivo no infinito se o definimos como:

tal qual chamamos o número L de limite lateral negativo no infinito se o definimos como:

Os números são escolhidos de forma a fornecerem o maior valor possível dentro do domínio da função.

Limites infinitos

Se nos depararmos com uma função onde o denominador decresce vertiginosamente até zero, o que podemos fazer?

Esta é a típica forma de funções que crescem até o infinito, neste caso adotamos o valor da definição de infinito, visto que não é possível

colocar qualquer valor. Adotamos ou , pois , como

já definimos anteriormente.

16Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Continuidade

O básico conceito de continuidade representa a expressão da isenção de quebras na regularidade da forma da função, quando apresentamola sob a forma gráfica. O que temos que ter em mente é que a função contínua em um intervalo do seu domínio é suavemente descritível, cada valor é precedido de outro menor ou maior, mas com uma discreta variação.

Definição

Para exprimir esse fato matematicamente, definimos a função contínua f(x) no ponto [a,f(a)], onde:

Estas três condições estão presentes apenas em funções que não possuem irregularidades nas tendências e valores que produzem. As funções contínuas são muito comuns dentro do universo que analisamos, a condição de continuidade é exigida sempre que temos avaliar tendências a valores minúsculos.

17Disponível sob Gnu Free Documentation license

Wikilivros, livre pensar e aprender

Derivadas

Funções são criadas para refletir o comportamento de certos entes físicos ou estados de valores, porém existe outro meio para analisar o comportamento dos números, que não conhecemos; a derivação é um processo que se destina a analisar as variações no comportamento de um conjunto de números, ela é largamente utilizada hoje em dia.

Vamos criar os conceitos, desde o início, para entender como está fundamentada toda a base dos principios de derivação, com estes teremos meios de analisar vários problemas sob a ótica infinitesimal.

Introdução (coeficientes angulares)

Seja uma reta definida pelos pontos (x1,y1) e (x2,y2); existe uma relação entre a distância dos dois pontos que expressa a inclinação da reta;

Definimos como coeficiente angular de uma reta, a seguinte relação:

O resultado desta relação é um número que expressa quanto a reta está inclinada comparada com o eixo x (variável independente).

(Parte 1 de 4)

Comentários