Material by: Caio Guimarães (Equipe Rumoaoita.com) Referência: cadernos de aula: Professor Eduardo Wagner

Seções Cônicas

1 - Elipses

Definição 1.1: Dados os pontos no plano, F e F´ com FF´=2c e um comprimento 2a > 2c, é denominada Elipse de focos F e F com eixo maior 2a o Lugar Geométrico dos pontos P tais que PF+PF´=2a.

Construção geométrica: Constrói-se no papel um segmento de comprimento 2a de extremidades F e F, e marca-se um ponto qualquer nesse segmento (chamemos esse ponto de P). Com um compasso, marcase o comprimento FA. A partir do ponto F marca-se o arco FA no papel. Novamente com o compasso, marca-se o comprimento F´A no segmento, e em seguida traça-se o arco FA no papel. O ponto de encontro entre os arcos traçados é um ponto da elipse. Fazendo vários pontos dessa maneira teremos um esboço da elipse:

Definição 1.2: A quantidade excentricidade é definida pela razão e=c/a. Denotaremos as quantidades: a – semi-eixo maior da elipse b – semi-eixo menor da elipse c – semi-distância focal

A excentricidade é a quantidade que define o quanto a elipse se aproxima de uma circunferência. Uma elipse pode ser mais “gorda” se c for diminuindo em relação a ‘a’, ou mais “fina” se c for crescendo em relação a ‘a’. Se c=0, a elipse se degenera numa circunferência.

Equação canônica: Um exercício simples de geometria analítica nos dá a equação do LG definido como elipse. Deixamos ao leitor a prova disso como uma forma de aquecimento para o que vem à diante.

² x y yab

Raio Vetor é um vetor que liga o foco da elipse a qualquer ponto da elipse. Existem infinitos raios-vetores para cada um dos dois focos da elipse. Porém podemos calcular seus comprimentos em função do ponto da elipse que está em sua extremidade.

PF + PF´ =2a

PF = 2a - PF

(PF´)²=(2a – PF)²
PF´² = 4a² +PF² - 4a. PF

Logo:

Desenvolvendo essa expressão por analítica, em um sistema de eixos coordenados canônico:

xc y ax c y aP F xc a a PF

cPF a x a

Sabemos que PF= 2a – PF´ , logo:

PF a ex

(x é a abcissa do ponto P)

Parâmetro da elipse é definido como metade da corda focal perpendicular ao eixo maior. Latus Retum é a quantidade definida como o dobro do parâmetro da elipse.

ap c p a p c

ac bp a bparametro p a

bLatus retum l a

Forma Polar do Raio vetor:

Vimos que o raio vetor tem comprimento como sendo uma função de x:

Ora, podemos escrever a posição x em função de r e mais alguns parâmetros da figura:

rx a e c r x rx e a ec cbrx e a a

rx e p

Segue então, que os raios vetores de F são função do ângulo θ:

pr e

pr e

Questão Contextualizada Resolvida: (IME 2004) Considere uma elipse de focos F e F´, e M um ponto qualquer dessa curva. Traça-se por M duas secantes MF e MF´, que interceptam a elipse em P e P, respectivamente. Demonstre que a

soma: 1

Solução:

Sejam r, r´, s, s´ os 4 raios vetores a serem considerados. Do resultado anterior, a respeito de raios vetores na forma polar, utilizemos a sugestão:

te pr ae c

p r p br e

Logo:

ar r a r r b r r b

as s a s

Somando as duas equações:

rs a ars

ters a c

Latus Retum

Havíamos definido o Latus Retum de uma elipse como sendo a quantidade expressa pelo dobro do parâmetro da elipse. Podemos redefinir a quantidade como sendo o comprimento da corda focal mínima da elipse. Para isso basta provar que, de todas as cordas focais, a de comprimento mínimo será perpendicular ao eixo principal da elipse.

pr p pe r

p e er e

Teoremas Importantes

Antes de enunciarmos alguns teoremas importantes, daremos mais duas definições auxiliares:

Circunferência Principal da Elipse: É a circunferência cujo centro coincide com o da elipse e seu raio vale a.

Circunferências Diretoras Centros em F e F´ e raio 2a.

Teorema 1.1 - Teorema das Tangentes

Seja M pertencente à elipse de focos F e F´. A bissetriz externa em M do triangulo MFF´ é tangente à elipse

Demonstração:

M pertence à elipse A reta t é bissetriz externa P é ponto médio do segmento FS é perpendicular ao segmento MP (ou seja, t é mediatriz do segmento FS)

Com isso MS=MF

FS= FM+MS = FM+MF=2 a. Logo S está na circunferência diretora.

Seja Q pertencente à reta t, diferente do ponto M Do triangulo QF´S:

Logo Q não está na elipse. Como Q é um outro ponto qualquer, temse que M pertence à elipse e somente M pertence à elipse. Ou seja, de todos os pontos de t, o único pertencente à elipse é M, com isso, t é tangente à elipse. CQD

Corolário: A normal em M é bissetriz interna no triangulo MFF´.

Teoremas 1.2 i) O simétrico de um foco em relação a uma tangente está na circunferência diretora relativa ao outro foco. i) A projeção de um foco em relação a uma tangente está na circunferência principal (Teorema de La Hire).

Demonstração:

A demonstração de (i) foi feita na demonstração do teorema 1.1.

Da semelhança entre os triângulos FOP, e FF´S, temos que OP vale a metade de FS, ou seja, OP=a. Logo P, a projeção de F sobre a tangente, está na circunferência principal.

Teorema 1.3 – Teorema de Poncelet para Elipses

Seja P um ponto externo a uma elipse e t e t´ as tangentes partindo de P, como ilustrado na figura:

Então: i) α= α´ i) β= β´

Demonstração

(i) O triangulo PF´S é congruente ao triângulo PS´F (caso L)

β= β(da simetria)

(i) β = β” (da congruência dos triângulos mencionados) Logo: β= β´

Questão Contextualizada Resolvida: Uma elipse tem eixos 2a e 2b. Encontre o LG dos pontos de onde se pode traçar tangentes perpendiculares a essa elipse.

Solução:

Poncelet, α = βSegue

Seja S o simétrico de F´ em relação a t´. Logo α= α . Do teorema de então que: α = β

Seja P= (x,y) o ponto variável. Um sistema de eixos ortogonais é

tal que F=(0,c), e F`= (0,-c).

x cyx cy a xy c a a x y a ac ab xy a b

Logo P descreve uma circunferência de centro no centro da elipse e raio igual a 22ab+

Exercícios de Fixação

1. Os pontos A, B e C estão nesta ordem sobre uma reta r. AB=6,

BC=1. Uma circunferência variável, k, é tangente em C à r. As tangentes a k traçadas por A e B cortam-se em P. Determine o LG de P.

Uma circunferência K de centro P passa por A e é tangente interiormente a K. Determine o LG de P.

3. Uma elipse tem focos (0,0) e (4,0) e é tangente à reta x+2y=5. Determine o comprimento do eixo maior da elipse.

4. É dada uma circunferência de diâmetro AB=12. Seja CD uma corda perpendicular a AB. Os pontos M e N dividem CD em 3 partes iguais. Determine o LG dos pontos M e N.

5. O ponto M pertence a uma elipse de focos F e F com semieixos a=5, b=4. Determine o LG do incentro do triangulo MFF.

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