integral dupla

integral dupla

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Álvaro Fernandes 1

)Integral Dupla Considere uma superfície definida numa região fechada e limitada R do plano

R é a projeção da superfície sobre o plano xy.

Traçando-se retas paralelas aos eixos ox e oy, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considere somente os retângulos que estão totalmente contidos em R, numerando-os de 1 até n (figura 1). kR

Em cada retângulo , escolha um ponto kR()kkky,xP e forme a soma

Suponha que mais retas paralelas aos eixos coordenados são traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores (figura 2). Isso é feito de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos tende a zero quando n tende ao infinito. kR Nessa situação, se

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Observações: 1. A região R é denominada região de integração.

2. A soma ∑ é chamada de soma de Riemann de sobre R. ()k n

Veremos que se , a integral dupla pode ser interpretada como um ()0y,xfz≥=volume. INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DA INTEGRAL DUPLA

A soma de Riemann ∑ representa uma aproximação do volume da porção do espaço compreendida abaixo do gráfico

1k k Ay,xf ∆

cilindro vertical cuja base é o contorno de R (figura 4). z

Obs.: Se , a nos dá o volume do sólido, porém com o sinal

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Propriedades da integral dupla. Sejam e funções contínuas sobre a região R, então: ()y,xf(y,xg a) , para todo k real. ()()dAy,xf.kdAy,xf.k

c) Se a região R é composta de duas subregiões R1 e R2 que não tem pontos em comum,

De acordo com o tipo de região de integração R, podemos calcular a integral dupla de duas formas:

• Se R é uma região do tipo I, então()()()()

dydxy,xfdAy,xf

• Se R é uma região do tipo I, então()()()()

dxdyy,xfdAy,xf

Álvaro Fernandes 4 EXERCÍCIOS

+(){}3x0,2y1y,x2≤≤≤≤ℜ∈/ .
Proposição: Se R é a região retangular (){}dyc,bxay,x2≤≤≤≤ℜ∈/ , então

3. Calcule ∫∫. A região R está representada na figura 2. dAyR

∫∫()()()(ππππ,0D,1C,2,1B,2,0A e).

4.Calcule , onde R é a região retangular de vértices ()dAxysenyR

5. Calcule ∫∫, sendo R a região delimitada por dxdyeR

4x0y,y4x=== e

-x2 6. Calcule ∫∫. A região R está representada na figura 3. dAxyR

figura 1 figura 2 figura 3

Álvaro Fernandes 5 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: VOLUMES DE SÓLIDOS

Se , a nos dá o volume do sólido delimitado superiormente pela

superfície , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja base é o contorno de R.

8. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelo plano 2yz=− e pelo cilindro vertical que contorna a região plana delimitada por e 2xy=xy=. Esboce o sólido.

Respostas: 7) 15/4. 8) 2/5. 9) 128/3. 10) 16/3.

Álvaro Fernandes 6 EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO: ÁREAS DE REGIÕES PLANAS

Área (R) = ()dA1 R ∫∫ 1. Calcule a área da região R mostrada na figura abaixo:

12. Calcule a área da região plana limitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos e identifique a região.

ex ey1,ex

Respostas: 1) 146/9. 12) e – (5/2) ≅ 12,65.

Álvaro Fernandes 7 MUDANÇA DE VARIÁVEIS EM INTEGRAIS DUPLAS

Em algumas situações, uma integral dupla é bastante longa e trabalhosa de ser resolvida no sistema de coordenadas cartesianas xy. Com uma simples e conveniente mudança de coordenadas (variáveis) podemos simplificar estes cálculos.

Teorema: Sejam ()()v,uyyv,uxx== e as equações que definem uma transformação de coordenadas de um sistema uv para o sistema xy. Então:

onde R’ é a região R descrita no sistema uv e ()

de x e y em relação a u e v, dado por

() vyu y vxu

As equações θ=θ=senrycosrx definem a transformação de coordenadas do sistema polar para o sistema cartesiano. O determinante da matriz jacobiana, neste caso, é dado por senrcos

Logo,

, onde R’ é a região R descrita no sistema de coordenadas polares.

Obs.1: Para o cálculo das integrais duplas podemos considerar π≤θ≤≥20r e 0. Obs.2: Das equações θ=θ=senrycosrx e , obtemos as relações

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Exemplo: Mostre que a área de uma circunferência de raio a é 2aπ usando integral dupla em coordenadas cartesianas e polares.

(){}2222xayxa,axa/y,xR−≤≤−−≤≤−=

™ Usando integral dupla em coordenadas cartesianas:

xa R

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