Integral Dupla

Integral Dupla

(Parte 2 de 2)

Calcule a integral:

Problema 01

Determine o volume do sólido contido abaixo do parabolóide acima do retângulo

Problema 02

Determine o volume do sólido limitado pela superfície e pelos planos

x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 e z = 0

Exercícios.

  • STEWART: 15.1(18) + 15.2(36) + 15.3 (54 exercícios).

  • ANTON: 15.1(36) + 15.2(65) + 15.2 (65 exercícios).

  • LIETHOLD: 18.1(22) + 18.2(35) + 18.2 (35 exercícios).

PARTE 2

Queremos agora resolver a Integral Dupla numa região do plano xy que não seja um simples retângulo.

Basicamente trataremos de dois tipos de regiões:

Região Tipo 1:

pode ser delimitada por duas retas verticais (x = a e x = b) e por duas curvas

(y = g1(x) e y = g2(x)) com g1(x) £ g2(x)

Exemplo da Região Tipo 1:

R = {(x,y) | x = 2, x = 3, y = x2 e y = x}

Região Tipo 2:

pode ser delimitada por duas retas horizontais (y = c e y = d) e por duas curvas

(x = h1(y) e x = h2(y)) com h1(x) £ h2(x)

Exemplo da Região Tipo 2:

R = {(x, y) | y = 3 - 2x, y = x2 -1, y = 1 e y = 3}

Como vamos trabalhar com a Região Tipo 1?

Região Tipo 1:

A integral interna é sempre em y

Exemplo 01:

Calcular a integral onde R, no primeiro quadrante, limitado por

Agora é só calcular a integral.

Como vamos trabalhar com a Região Tipo 2?

Região Tipo 2:

A integral interna é sempre em x.

Exemplo 02:

Calcular a integral onde R:no primeiro quadrante, limitado por

Limites de integração na Região Tipo 1:

Uma vez que x é constante na primeira integração então traçamos uma reta vertical na região. Esta reta intercepta duas vezes a fronteira da região: exatamente em g1(x) e g2(x): são os limites da integral interna.

Limites de integração na Região Tipo 1:

Para obtermos os limites da integral externa

(em x) deslocamos a reta vertical para a esquerda e para a direita.

Exemplo 03.

Onde R é região limitada por y = 16/x; y = x e x = 8.

Limites de integração na Região Tipo 2:

Uma vez que y é constante na primeira integração então traçamos uma reta horizontal na região. Esta reta intercepta duas vezes a fronteira da região: exatamente em h1(y) e h1(y): são os limites da integral interna.

Para obtermos os limites da integral externa (em y) deslocamos a reta horizontal para baixo e para cima.

Exemplo 04:

R: y = 1, y = 2, x = 0 e y = x

Exemplo 05:

R: no 1º. Quadrante, limitado por y = x2, y = 4 e x = 0.

  • Exemplo 06:

R é a região limitada pelas retas y = 2x, y = x/2 e x = p.

(Parte 2 de 2)

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