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Unidade de Programa Objetivos

I. Geometria Angular Trabalhar com as principais relações angulares com triângulos, polígonos e com arcos de uma circunferência.

I. Semelhança Reconhecer as condições que garantem a semelhança entre duas figuras.

I. Triângulo Retângulo Deduzir e saber aplicar as relações métricas no triângulo retângulo e deduzir a lei dos cossenos como uma relação que inclui o teorema de Pitágoras.

IV. Área Calcular as áreas das principais figuras, dos polígonos regulares e a do círculo como limite da área do polígono inscrito.

Ao elaborarmos este instrucional, procuramos apresentar a teoria de modo resumido evitando as receitas prontas e o formalismo excessivo, buscamos abordar os conceitos básicos de modo que você possa dar continuidade e se aprofundar os estudos das Geometrias Plana e Espacial.

Não pretendemos aqui, esgotar essa lista de conceitos e nem seus estudos devam limitar-se aos conceitos que listamos.

Lance mão de diferentes fontes como livros, provas de concursos, apostilas de cursos e da Internet para complementar seu estudo.

A Geometria Plana aqui está dividida em dois momentos: a Geometria

Angular, com os estudos dos ângulos de triângulo e polígonos; e a Geometria Métrica com semelhança, triângulo retângulo e o cálculo de área.

Esperamos que este material seja útil no desenvolvimento de seus trabalhos e no seu aprendizado.

Prof. José Carlos Morais de Araújo

UNIDADE I3
I – Ângulos3
I – Classificação3
I – Considerações Importantes3
IV – Teorema Angular de Tales5
V – Ângulo externo de um Triângulo5
VI – Classificação dos Triângulos6
EXERCÍCIOS8
VII – Polígono1
VIII – Soma dos Ângulos de um Polígono1
IX – Diagonal12
EXERCÍCIOS13
X – Relação entre Arcos e Ângulos15
EXERCÍCIOS16
UNIDADE I18
SEMELHANÇA18
I – Proporção18
I – Definição de semelhança19
I – Semelhança de Triângulos19
EXERCÍCIO21
UNIDADE I23
TRIÂNGULO RETÂNGULO23
I – Introdução23
EXERCÍCIOS25
EXERCÍCIOS26
I – Lei dos Cossenos28
EXERCÍCIOS29
UNIDADE IV31
I. ÁREA31
I – Principais áreas:31
I – Polígono Regular32
IV - Círculo3

GLOSSÁRIO: EXERCÍCIOS: .................................................................................................... 34

I – Ângulos

Região plana limitada por duas semi-retas de mesma origem.

são semi-retas

O ponto O, origem comum às semiretas, é o vértice do ângulo.

I – Classificação 1) Seja ∝ um ângulo qualquer. O ângulo ∝ pode ser classificado como:

2) Sejam ∝ e β dois ângulos quaisquer. Dizemos que ∝ e β são:

Obs: Seja x um ângulo. Representaremos por (90º - x) e (180º - x), respectivamente, o complemento e o suplemento do ângulo x.

I – Considerações Importantes

1) Bissetriz de um ângulo é a semi-reta que divide o ângulo em dois ângulos congruentes (isto é, de medidas iguais)

∝ = 90º Reto

Complementares: ∝ + β = 90º ∝

Agudo

∝ < 90º ∝ > 90º

Obtuso β∝ Suplementares: ∝ + β = 180º

2) Retas Perpendiculares são retas concorrentes (que possuem um ponto em comun) que formam ângulos retos. Denotamos por:

r ⊥s: r perpendicular a s

3) Duas retas paralelas cortadas por uma transversal formam oito ângulos que guardam algumas propriedades.

r ⁄⁄ s: r é paralela a s Observe que ∝ + β = 180º

Esses ângulos são classificados, aos pares, de acordo com a posição que ocupam em relação às paralelas e à transversal. Destacamos:

Alternos internos Colaterais externos Correspondentes

Observe que, independente dos nomes que tenham esses ângulos, é possível identificar medidas de ângulos dessa figura se soubermos a medida de pelo menos um deles. Exemplos.

Nas figuras acima temos: α = 50º , β = 40º e 5x + 4x = 180º, portanto, x = 20º.

s r r s

50º α 140o β 4x

As relações mais importantes dos estudos de ângulos são as que fazem referências aos ângulos do triângulo.

IV – Teorema Angular de Tales

Num triângulo, a soma dos ângulos internos é 180º. A + B + C = 180º

Traçando uma reta paralela ao lado AB passando pelo ponto C podemos visualizar essa propriedade.

V – Ângulo externo de um Triângulo Chamamos de ângulo externo o suplemento do ângulo interno. O triângulo tem 3 ângulos externos.

α + C = 180ºe A + B + C = 180º
Então: α + C = A + B+ C ⇒α = A + B

Observe que:

Conclusão: O ângulo externo é sempre a soma dos ângulos internos não adjacentes a ele.

Lembre-se que o ângulo externo é formado por um dos lados e pelo prolongamento de outro.

α Ângulo externo a + b b a a + c a c b +c c

VI – Classificação dos Triângulos

Um triângulo pode ser classificado segundo o comportamento de seus ângulos ou de seus lados.

1) Quanto aos Ângulos

Acutângulo Retângulo Obtusângulo Ângulos agudos Um Ângulo reto Um Ângulo obtuso

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