teorema de Tales

teorema de Tales

(Parte 1 de 3)

17 AULA

A ciŒncia, tªo fundamental na era moderna, teve seu início por volta do ano 600 a.C. na cidade de Mileto, GrØcia, especialmente com de Tales de Mileto. Tales era filósofo, geômetra, astrônomo, físico, político e comerciante, e acredita-se que tenha nascido no ano 625 a.C. Nªo se sabe ao certo em que ano morreu.

Foi ele quem primeiro chamou a atençªo para o aspecto abstrato dos objetos geomØtricos, ao considerar um triângulo ou uma pirâmide, por exemplo, nªo como coisas concretas, feitas de madeira ou pedra, mas como objetos do nosso pensamento. Uma de suas descobertas no campo filosófico foi a de que “nªo apenas os homens estªo sujeitos a leis, mas tambØm a Natureza”. E apontando para a sombra dos degraus de um estÆdio desportivo, teria dito: “Os ângulos dos degraus obedecem a uma lei: sªo todos iguais”. (Depois veremos esse exemplo com maiores detalhes.)

Assim, uma das idØias deste grande filósofo e matemÆtico Ø esta: uma lei que se aplique a triângulos vale tanto para triângulos de construçªo (por exemplo, a construçªo de uma casa) como para aqueles desenhados (a planta da casa) e mesmo para triângulos...“imaginÆrios”, como ele se referia aos triângulos abstratos, os do nosso pensamento, aqueles com que de fato lida a geometria.

O Teorema de Tales Introduçªo

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AULAOutra importantíssima característica do pensamento de Tales Ø que estas leis matemÆticas - ou teoremasteoremasteoremasteoremasteoremas, como sªo chamadas - devem ser provadas (ou

demonstradas) por um raciocíonio lógico. (E nªo apenas explicadas com argumentos religiosos ou míticos, como se fazia atØ entªo em lugares antes mais desenvolvidos, como o Egito e a Babilônia.) Desse modo, Tales procurava sempre demonstrar cada uma de suas afirmaçıes novas baseando-se em outras afirmaçıes jÆ demonstradas, outros teoremas, formando assim cadeias de raciocínio.

Nesta aula vocŒ terÆ a oportunidade de redescobrir alguns desses teoremas bastante interessantes e œteis na vida prÆtica que sªo atribuídos a Tales, especialmente aquele que ficou conhecido com seu nome: o Teorema de Tales.

VocŒ ficarÆ surpreso ao ver quantas aplicaçıes diferentes existem destes teoremas: desde o cÆlculo da altura de prØdios e outras distâncias inacessíveis (veja a aula 20) atØ o modo certo de aumentar a feijoada! Como veremos, tudo isso

Teorema de Tales Ø “a figura da regra de trŒs”. Mascada coisa a seu tempo!

trata de proporcionalidade de nœmeros (ou regra de trŒsregra de trŒsregra de trŒsregra de trŒsregra de trŒs). Na realidade, o

Conta-se que, numa viagem ao Egito, Tales foi desafiado pelos sacerdotes egípcios a explicar como “adivinhara” a altura de uma das pirâmides. Os sacerdotes acreditavam que essa informaçªo era sagrada e havia sido inadvertidamente fornecida a ele, que, por esse motivo deveria ser preso. Tales explicou seu raciocínio exemplificando-o com o cÆlculo da altura de um obelisco cuja sombra era mais fÆcil de ser medida. Aqui estÆ o problema para vocŒ tentar responder: Em certo momento do dia, uma vareta de 1 m, espetada verticalmente no chªo, faz uma sombra que mede 20 cm. No mesmo instante, um obelisco de pedra, ali perto, faz uma sombra de 4 m. Qual a altura do obelisco?

Atençªo: como o Sol estÆ muito longe de nós, podemos considerar seus raios como retas paralelas. Tente encontrar o que se pede trabalhando com papel quadriculado e rØgua.

´ngulos opostos pelo vØrtice

Um dos teoremas atribuídos a Tales Ø muito simples de ser entendido concretamente: quando seguramos uma vareta de madeira em cada mªo e cruzamos essas varetas estamos representando retas concorrentes. Independentemente da abertura que vocŒ dÆ às varetas, elas sempre formam, à sua esquerda e à direita, dois ângulos (opostos pelo vØrtice) iguais.

Nossa aula

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b + c = 180ºˆˆ c b a + b = 180ºˆˆ

Lembre: Como se mede um ângulo com transferidor:

Exemplo: O menor dos ângulos que estas retas formam mede 58”. O maior mede 180” - 58”=122”.

“Por que ângulos opostos pelo vØrtice sªo sempre iguais?”, Tales se perguntou. Podemos explicar isso do seguinte modo, baseando-se na figura do transfe- ridor: os ângulos ∃a e ∃b formam juntos um ângulo de 180” (ângulo raso), que chamamos de ângulos suplementares (veja a figura abaixo); da mesma forma, tambØm ∃b e ∃c sªo ângulos suplementares. Ou seja:

b ca ca

Duas varetas formam 4 ângulos, opostos dois a dois

Quanto mede cada um destes dois ângulos opostos pelo vØrtice?

∃a =
∃c =

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110º70º y x y x

110º 70º

Sobre duas retas concorrentes nªo hÆ muito mais o que dizer: dos quatro ângulos que se formam, quaisquer dos ângulos vizinhos sªo suplementares e quaisquer dos ângulos opostos pelo vØrtice sªo iguais. Assim, vamos estudar agora o que ocorre quando acrescentamos uma terceira reta a estas duas, paralela a uma delas.

Retas paralelas cortadas por uma transversal

Jœnior Ø um garoto esperto. Outro dia, no “velho Maracanª”, ele mostrava ao tio (com quem conversa muito sobre seus estudos) os ângulos formados nos degraus do estÆdio. Ele ilustrou seu raciocínio deitando o pau da bandeira de seu clube atravessado em relaçªo aos degraus. Visto de lado, o pau da bandeira forma ângulos iguais com todos os degraus. Vemos tambØm que isso só acontece porque os degraus sªo todos horizontais, e portanto paralelos.

iniciais(Meça os ângulos x e y da figura abaixo, e compare-os com os ângulos

Voltemos, entªo, ao que acontece quando acrescentamos uma terceira reta às duas retas concorrentes do início da aula. De modo geral, a terceira reta formarÆ quatro novos ângulos (dois pares), diferentes dos ângulos das retas iniciais, que medem 70” e 110”.)

Mas hÆ uma posiçªo especial na terceira reta em que x e y medem precisamente 70” e 110”: quando a terceira reta Ø paralela a uma das retas. (Como os degraus que Jœnior viu no estÆdio, que sªo paralelos).

110º70º

110º70º110 ”

70 ” 70 ”

AULAEsta experiŒncia do garoto pode ter sido vivida tambØm por Tales de Mileto, que hÆ 2600 anos enunciou:

Quando retas paralelas sªo cortadas por uma reta transversal,Quando retas paralelas sªo cortadas por uma reta transversal,Quando retas paralelas sªo cortadas por uma reta transversal,Quando retas paralelas sªo cortadas por uma reta transversal,Quando retas paralelas sªo cortadas por uma reta transversal, os ângulos formados numa das retas paralelas sªoos ângulos formados numa das retas paralelas sªoos ângulos formados numa das retas paralelas sªoos ângulos formados numa das retas paralelas sªoos ângulos formados numa das retas paralelas sªo correspondentes e iguais aos ângulos da outra.correspondentes e iguais aos ângulos da outra.correspondentes e iguais aos ângulos da outra.correspondentes e iguais aos ângulos da outra.correspondentes e iguais aos ângulos da outra.

É fÆcil verificar isso concretamente. A seguir, o item sobre a aplicaçªo prÆtica no desenho tØcnico mostra como o ângulo de uma das retas paralelas Ø “transportado” pela reta transversal atØ encaixar-se no ângulo da outra reta. Por isso os ângulos sªo correspondentes e iguais.

Uma aplicaçªo prÆtica no desenho tØcnico

medir os ângulos) que a recíprocarecíprocarecíprocarecíprocarecíprocadesta afirmaçªo tambØm Ø verdadeira. Ou

Na verdade, vocŒ pode verificar experimentalmente (como fez acima, ao seja: quando os ângulos sªo correspondentes e iguais, entªo as retas sªo paralelas. Desenhe ângulos correspondentes e constate o paralelismo das retas.

Este novo fato tem uma aplicaçªo prÆtica muito usada no desenho tØcnico, como, por exemplo, no desenho da planta de uma casa. Para traçar retas paralelas seguramos a rØgua e o esquadro e riscamos as retas, como mostra a figura:

Segmentos proporcionais

Vimos o que acontece com os ângulos quando duas retas parelelas sªo cortadas por uma reta transversal: eles sªo transportados de uma das retas paralelas à outra. Vejamos o que ocorre quando nªo duas mas trŒs retas sªo paralelas: como vocŒ jÆ sabe, os ângulos formados em todas as trŒs sªo iguais. Mas nªo apenas isso; agora tambØm formam-se segmentos.

(lŒ-se: “A linha, B linha”) e B’C’-serªo(meça B’C’; e compare-o com A’B’, que

Na figura a seguir, eles estªo representados por AB e BC. Algo muito interessante aconteceu. Se AB e BC forem iguais (no exemplo AB = BC = 1 cm) e traçarmos qualquer outra reta transversal, entªo os dois novos segmentos A’B’ neste exemplo mede 1,5 cm. Entªo conclua a frase anterior.) retas paralelas

Neste exemplo, o ‰ngulo que foi "transportado" mede 60¼: • o ‰ngulo do esquadro.

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A’B’ e B’C’ tambØm serªo iguais isto Ø, B’C’ = 1,5 = A’B’. Da mesma forma, se traçÆssemos uma quarta reta paralela passando pelo ponto D tal que tambØm CD = 1, entªo quanto mediria C’D’? É claro que, pelo mesmo motivo, C’D’ = 1,5 = B’C’= A’B’.

Podemos enunciar isto da seguinte maneira: quando um feixe (isto Ø, um conjunto de trŒs ou mais retas) de retas paralelas Ø cortado por duas retas transversais, se os segmentos numa das retas forem iguais, (no exemplo, AB = BC = CD = 1), entªo os segmentos na outra reta tambØm o serªo (A’B’=B’C’=C’D’=1,5).

“Mas, e se os segmentos na primeira reta nªo forem iguais? Como no exemplo acima, onde AB = 1 cm e BD = 2 cm o que podemos dizer sobre A’B’ e B’D’ (alØm do fato de que tambØm nªo sªo iguais)? Veja a figura abaixo: se A’B’ = 3 cm, temos B’D’ = 6 cm. Olhe para estes quatro nœmeros da figura:

Dizemos que estes quatro nœmeros sªo nœmeros proporcionaisnœmeros proporcionaisnœmeros proporcionaisnœmeros proporcionaisnœmeros proporcionais, e escrevemos : “1:2 :: 1,5:3”. (LŒ-se: “1 estÆ para 2, assim como 1,5 estÆ para 3). Assim, os segmentos que tŒm estas medidas, na figura representados respectivamente por AB, BC, A’B’ e B’C’, sªo segmentos proporcionais. De um modo geral, definimos: AB e BC sªo segmentos proporcionaissegmentos proporcionaissegmentos proporcionaissegmentos proporcionaissegmentos proporcionais a A’B’ e B’C’ (nesta ordem), se

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