Aplicações de Limites e Derivadas

Aplicações de Limites e Derivadas

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Pesquisa realizada como pré requisito de avaliação da disciplina de Cálculo, sob orientação da professora Ivonete Colpani, no primeiro semestre do curso de Engenharia Florestal na Universidade do Estado de Mato Grosso-UNEMAT, Campus Universitário de Alta floresta.

ALTA FLORESTA-MT NOVEMBRO DE 2007

ALTA FLORESTA-MT NOVEMBRO DE 2007

1 INTRODUÇÃO3
2 DEFINIÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS4
2.1 LIMITES4
2.2 DERIVADAS5
3 APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS6
4 CONCLUSÃO10

1 INTRODUÇÃO

É de extremada importância para os estudos da disciplina de Calculo. A derivada de uma função é utilizada para diversas finalidades, algumas das quais iremos explorar neste trabalho, porém não é possível generalizar as aplicações que podemos atribuir às derivadas e limites, muitos recursos podem ser criados a partir dos seus conceitos, bastando para isto, a criatividade de cada mente a se manifestar.

A derivada é a medida da declividade de uma reta tangente a cada ponto da função de onde surgiu, ela também é uma função que fornece valores relativos de muita utilidade, podemos ainda lembrar que o ângulo da reta tangente ao ponto da curva inicial pode ser encontrado através da derivada, pois a derivada fornece o valor da tangente deste ângulo.

Enfim, temos muito o que extrair das derivadas, elas nos fornecem vários artifícios para manipular os números em uma função, possibilitando diversas maneiras de extrair informações. Trazem um novo meio, capaz de nos elucidar novas formas de analisar dados numéricos.

O conceito de limite é fundamental em todo o Cálculo diferencial, um campo da matemática que iniciou no século XVII com os trabalhos de Newton e Leibnitz que visava resolver problemas de mecânica e Geometria.

O cálculo diferencial é aplicado em vários campos do conhecimento, como em Física,

Engenharia, Economia, Geologia, Astronomia, Biologia, etc.

Neste trabalho faremos uma exploração da idéia de limite e derivada, demonstrando suas aplicações, no vários segmentos dos campos passíveis de sua aplicação.

2 DEFINICÃO DE LIMITES E DERIVADAS 2.1 LIMITES

Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de uma função à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assim como o comportamento de uma seqüência de números reais, à medida que o índice (da seqüência) vai crescendo, tende para infinito. Os limites são usados no cálculo diferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e a continuidade de funções.

Idéia intuitiva de limite Exemplo: ( Consideremos uma figura de forma quadrada e de área igual a 1.

Vamos desenvolver as seguintes etapas: a.) Preencher metade dessa figura.

b.) Preencher metade do que restou em branco.

c.) Preencher, novamente, metade do que restou em branco.

Continuando esse processo sucessiva e indefinidamente, a área acurada vai preenchendo quase todo o quadrado inicial, isto é, a medida da área vai se aproximando de 1 ou tendendo a 1.

1/2 + 1/4 + 1/8 = 7/8,, 1

Dizemos então que o limite desse processo, quando o número de partes preenchidas tende a um valor maior do que qualquer valor imaginável, é preencher a figura toda, ou seja, obter

Área preenchida: ½

Área preenchida: ½ + ¼ = ¾ uma área preenchida igual a 1. Quando dizemos que a área preenchida tende a 1, significa que ela se aproxima de 1, sem no entanto assumir esse valor. a. Considere o gráfico da função f(x):

Dizemos que o limite da função f(x) quando x tende a “a” é igual ao número real L se, e somente se, os números reais f(x) para os infinitos valores de x permanecerem próximo de L, sempre que x estiver muito próximo de “a”.

Indica-se

2.2 DERIVADAS

Em matemática, a derivada de uma função é o conceito central do cálculo diferencial. A derivada pode ser usada para determinar a taxa de variação de alguma coisa devido a mudanças sofridas em uma outra ou se uma função entre os dois objetos existe e toma valores contínuos em um dado intervalo. Por exemplo a taxa de variação da posição de um objeto com relação ao tempo, isto é, sua velocidade, é uma derivada. Consideremos uma função f ( x ) . A função f é derivável em a, se

f’ (a)= limf(x ) – f( a)
x → 0
x -a

existir o limite, neste caso, o valor f'(a) é chamado derivada de f em a.

3 APLICAÇÃO DE LIMITES E DERIVADAS EX: 1 Calcular as vendas de uma indústria.

no ponto P. Este ponto é denominado de Ponto de Inflexão
y (unidade de milhar)
100V(q)
Côncavo para baixo
80P(6,80)

A figura abaixo mostra o total de vendas (V), em reais, de um determinado produto produzido pela indústria “TAURUS de produtos bélicos” contra a quantia de dinheiro (q) que a indústria gasta anunciando seu produto. Observe que o gráfico muda de concavidade

Côncavo para cima 50

02 4 6 8 10

q (unidade de milhar)

Note que no início as vendas ocorrem lentamente, porém, à medida que aumenta o investimento financeiro da indústria em propaganda, as vendas passam a crescer rapidamente. Porém, chega-se a um ponto P em que o gasto adicional em propaganda gera nas vendas, uma taxa de crescimento menor, chamado de Ponto de Inflexão.

EX: 2 Calcular perdas em uma empresa.

Para uma empresa calcular suas perdas (em milhões de dólares) em razão de maus empréstimos, estas perdas podem ser estimadas pelos seguintes cálculos: f(x) = -t2 + 10t + 30

(0 ≤ t ≤ 10) através destes cálculos a empresa poderá saber qual foi seu prejuízo.

EX: 3 Calcular o lucro de uma fábrica em função da quantidade de mão de obra.

É através dos cálculos de derivadas que poderemos saber o lucro de uma determinada empresa. Usando a seguinte função (L = -Q3 + 198Q + 20) esta função irá nos prover o lucro da fábrica na relação Produção/venda de certo número de produtos fabricado pela mesma em função da quantidade de mão-de-obra (Q).

EX: 4 Calcular taxa de variação e custo no financiamento de um computador.

A derivada mede taxa de variação, ou seja, qualquer taxa de variação do financiamento e custo de um computador seja de hardware ou software pode ser calculado com derivadas. Para calcular a derivada de uma função polinomial, você pode criar um vetor polinômio onde o primeiro termo será o termo independente de x, o segundo x1, o terceiro x2. Para calcular a derivada e só multiplicar o segundo termo por 1, o terceiro por 2, etc.

EX: 5 Calcular produção de uma empresa semanalmente.

Podemos também calcular a produção semanal de uma indústria usando a seguinte função (Q(x) = – x2 + 2.100) x unidades, onde x é o número de operários empregados resolvendo a função, poderemos saber a produção semanal desta empresa.

EX: 6 Calcular a propagação de epidemia

Suponhamos que Alta Floresta seja flagelada por uma epidêmica. Através dos cálculos de limites e derivadas os setores de saúde poderão calcular o número de pessoas atingidas por esta epidemia depois de um certo tempo (t) (medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) usando para isso a seguinte função “f(t) = 64t -3 t” poderá também o setor de saúde calcular qual a taxa da expansão da epidemia após 4 dias. Qual a taxa da expansão da epidemia após 8 dias, e também quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no 5º dia.

EX: 7 Calcular qual o tamanho ideal de uma determinada embalagem.

Suponhamos que uma fábrica esteja produzindo um certo produto e queira saber qual o tamanho ideal da embalagem que terá de ser feita para armazenar este produto, através de fórmulas presentes em limites e derivadas a empresa terá como saber o tamanho da embalagem a ser produzida para o armazenamento do produto, evitando assim gastos desnecessários.

EX: 8 Para um produtor rural calcular a produtividade de sua terra e a produtividade do trabalho.

Considerando como exemplo a seguinte função P(x,y) = 2x0,5 . y0,5 , onde P é a

empregados (em milhares) e y é o número de hectares plantados

quantidade colhida de um determinado produto (em toneladas), x é o número de homens-hora

EX: 9 Calcular a produção e a taxa de crescimento de um produto, em relação ao tempo.

Podemos usar como exemplo a função de produção P = 10 . x 0,2 indica o capital e y o trabalho. O capital cresce com o tempo “t” de acordo com a relação x =

0,32t e o trabalho cresce com o tempo de acordo com a relação y = 0,2 t2 .

EX: 10 Calcular o preço da demanda de produtos em um supermercado por semana.

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