(Parte 2 de 5)

Exemplo 3.7. Calcular o valor da integral R

U 24{|g{g| sendo U ar egiao delimitada

Solucao: Primeiro vamos fazer o grafico da regiao e a tabela de limites dessa regiao.

Curvas funcoes curva ae squerda | =0 curva ad ireita | =1 curva inferior { = |2 curva superior { = s| Agora podemos efetuar os caculos. A curvas ae squerdae ad ireita sao os limites do primeiro sımbolo de integracao e as curvas inferior e superior do segundo. Assim,

Como podemos observar, o valor numerico e o mesmo nos dois casos. Muitas vezes a regiao de integracao nao e delimitada apenas por quatro curvas. Nesse caso, a escolha da variavel independente adequada pode diminuir o trabalho duante o processo de integracao. Vejamos um exemplo.

Exemplo 3.8. Encontrar o valor da integral Z

U g{g| sendo U ar egiao delimitada a) Tomando x como variavel independente. b) Tomando y como variavel independente.

Solucao: Primeiro vamos fazer o grafico da regiao (ver figura 3.4) e a tabela de limites dessa regiao.

Os pontos de intersecao das curvas sao: ( 3>9) e (2>4) para as curvas | = {2, | =6 { e( 1>1) e (1>1) para as curvas | = {2 e | =1 . d) Tomamdo{ como variavel independente. Vemos que a regiao de integracao deve ser subdividida em tres sub-regioes para que o calculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limites ed adap or

Tabela de limites referente ar egiao U 115

Figura 3.4: area delimitada

Assim, a integral dupla R U g{g| serad adap or :Z

{2 g|g{

Vemos que a regiao de integracao deve ser subdividida em duas sub-regioes para que o calculo possa ser efetivado. Portanto, a tabela de limites e dada por

Tabela de limites referente ar egiao U

Assim, a integral dupla R U g{g| serad adap or

Observacao 6. Note que a mudanca da variavel independente diminuiu o trabalho dispensado ao calculo da integral.

a. Tomando { como variavel independente b. Tomando | como variavel independente

Solucao: Aarea delimitada pelas curvas pode ser vista na figura 3.5

Figura 3.5: area delimitada

Inicialmente, vamos encontrar os pontos de intersecao( { = |2

a. tomando { como variavel independente

Tabela de limites referente ar egiao U

curva superior | =1 + { | =1 Ps: Na U2 vamos usar a semetria

g|g{ = 8 b. Tomando | como variavel independente.

3.4. Integrais Duplas em Coordenada Polares

Frequentemente, a regiao U sobre a qual esta sendo calculada a integral dupla em ais facilmente descrita por coordenadas polares do que por coordenadas retangulares. Vamos descrever o processo para o caculo de integrais duplas em coordenadas polares. Veja a figura ??

Particao em coordenadas polares

area de Ul e dada por Dl = { l l{ l. Tomando um ponto ( nl> nl)n oi nteriord e Ul podemos formar um solidoc ujaarea da base e Dl ea ltura i ( nl> nl), de modo que o volume desse solido serad adap or

Assim, o volume sob a superfıcie i ( > )s eraa proximadap elas oma

Yq = qX

Observacao 7. Vimos anteriormente que a particao de uma regiao U por retas paralelas

que nao. Porem, lim lim

=1 e isso implica em g{g| = g g . Assim, a

equivalencia entre a integral dupla em coordenadas retangulares e a integral dupla em

Exemplo 3.10. Escreva a integral, em coordenadas polares, que calcula a area sombreada 3.6

Aarea e em coordenadas polares

Solucao: Og rafico dessas curvas ed adap ela figura 3.7 120

Figura 3.6: area sombreada

Figura 3.7: area delimitada

Agora, op rimeirop asso e encontrar os pontos de intersecao das curvas. Portanto, igualando as equacoes temos assim obtemos

At abelad el imites ed adap or

Limites R1

raio menor =2 raio maior =4 vhq

Aarea da regiao ed adap or

3.5. Exercıcios Gerais

1. Nos items d e e,f aca o grafico, a tabela de limites e escrva a integral que permite calcular a area da regiao U delimitada pelas curvas primeiro tomando { como variavel independente e apos tomando | como variavel independente.

2. Nos problemas a seguir faca o grafico e use coordenadas polares para carcular as integrais1. RRU

4. INTEGRAIS TRIPLAS 4.1. Introducao

As integrais triplas, aplicadas sobre solidos no espaco {|},s ao definidas segundo uma analogia com a definicao das integrais duplas aplicadas sobre uma regiao do plano {|.N ao e nosso objetivo discutir os pormenores da definicao pois estes fazem parte do conteudo de um texto de calculo avancado. Vamos esbocara penasa si deias principais.

(Parte 2 de 5)

Comentários